七年級上

第一章從自然數到有理數

知識點：

1.自然數：注意(1)()是最小的自然數，它表示沒有，不要遺漏。(2)表示不同作用的數有不同的性質，

表示計數和測量的數可以進行數的運算，而表示標號或排序的數有時有指代作用，即對事物起區別作用，

一般不能進行計算，這也是區別數的表示作用的重要性。剖析用于計數和測量的數往往與量詞相連，而

用于標號和排序的數往往與順序有關，在閱讀是應特別注意體會這一點。

例：世界上最長的跨海大橋——杭州灣大橋于2003年6月8日奠基，這座設計FI通車量為8萬輛,

全長36千米的6車道公路斜拉橋，是中國大陸的第一座跨海大橋，方案在5年后建成通車。

你在這段文字中看到了哪些數？它們都屬于哪一類數？

⑴屬于計數如8萬輛、5年后、6車道

⑵表示測量結果如全長36千米

⑶表示標號和排序如2003年6月8日、第一座等

以下語句中用到的數，哪些屬于計數？哪些表示測量結果？哪些屬于標號和排序？

(1)2002年全國共有高等學校2003所。(標號和排序計數)

(2)小明哥哥乘1425次列車從北京到天津，然后乘15路公交車到了小明家。(標號和排序標號

和排序)

(3)香港特別行政區的中國銀行大廈高368米，地上70層，至1993年為止是世界上第5高樓。(測

量結果，計數，標號和排序，標號和排序)

一、有理數的概念：1)正整數、零和負整數統稱為整數；

2)正分數、負分數統稱為分數；

3)整數和分數統稱為有理數。(0既不是正數，也不是負數)

隨堂測試一：

1、把以下各數分別填在表示它所屬的括號里：

312

-5.3,+31,--,0,-7,—,2005,-1.39.

413

(1)正有理數：{……}

(2)負有理數：{……}

(3)整數：f……)

(4)分數：{……}

(5)非負有理數：{……}

2、請你任意寫出一個自然數；一個負分數.

二、1、數軸的概念：規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸。

2、相反數的概念：假設兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相

反數，也稱這兩個數互為相反數。注意：零的相反數是零。

3、在數軸上，表示為相反數(0除外)的兩個點，位于原點的兩側，并且到原點的距

離相等.

(例如：-100和100的點分別位于遠點的左側和右側，到原點的距離都是100個長度

單位。)

隨堂測試二：

1、點A,B,C,D,E在數軸上的位置如下圖，請你把各點所表示的數填入相應的括號內.

-----------,-------—?-------------￡-------1_2_?--------1-----------1--------1—?

A、(-3(-Dca(1)。、345()E、()

2、畫一條數軸，在數軸上表示一2,3,-4.5以及它們的相反數。

3、如果一個數與它的相反數相等，那么這個數是-

4、數軸上表示一個數的點在“-2.5”的右邊，并且距離“-2.5”4個單位長度，求這個數。

三、1、絕對值的概念：我們把一個數在數軸上對應的點到原點的距離叫做這個數的絕對值。

(例如：數軸上表示-5的點到原點的距離是5,所以-5的絕對值是5。記作「5|=5o)

2、一般地，一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對

值是零；互為相反數的兩個數的絕對值相等。

隨堂測試三：

1、如果說一個數與它的絕對值相等，那么這個數是.

2、任何數的絕對值都是()

A正數B負數C非負數D非正數

3、絕對值小于2的整數有。絕對值不大于3的負整數有__________。

4、、大于3.142的負整數有個；小于2.9的止整數有個；大于一9.5的負整數有個.

5、(1)假設Ia|=3,那么a=

(2)某同學學習編程以后，編了一個關于絕對值的程序，當輸入一個數值后，屏幕輸出的結果總比該

數的絕對值小1,某同學輸入-7后，把輸出的結果再次輸入，那么最后屏幕輸出的結果是多少？

4

6、計算：⑴卜8|+|+5|⑵2⑶,1x|+6|(4)

1472

四、一般地，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數。

例題：1.在數軸上表示以下各對數，并比擬它們的大小：

⑴2和7；⑵-6和-1；(3)-6^-36：(4)-0.5和-1.5

2.求上述各對數的絕對值，比比擬大小，問上面各對數的大小與它們的絕對值的大小有什么關

系？

結論：兩個正數比擬大小，絕對值達的數大；兩個負數比擬大小，絕對值大的數反而小。

隨堂測試四：

1、比擬以下各組數的大小：

139

(1)-4與+3(2)0與-2.4(3)-0.3與一一(4)一一與一

343

2、在數軸上，表示-5,,—24，0,0.125,-(1-),工L-的點中，在原點右邊的點有()

333551f136

(A)4個；(B)3個；(02個；(1))1人

3、大于-3.5且小于2的整數是。

4、畫一條數軸，在數軸上表不1,-2.5,-4以及它們的相反數，并比擬這些數的大小，按從小到大的

順序用“心邊接起來.

第一單元檢測練習

一、精心選一選

1.如果高出海平面20米，記作+20米，那么-30米表示()

(A)缺乏3()米；(B)低于海平面30米；(C)高出海平面30米；(【))低于海平面20米

2.仔細思考以下各對量：

①勝二局與負三局；②氣溫上升3°C與氣溫下降3°C；③盈利5萬元與支出5萬元；

④增加10%與減少20%。其中具有相反意義的量有()

(A)l對(B)2對(03對(D)4對

3.以下說法錯誤的選項是()

(A)整數和分數統稱有理數；山)正分數和負分數統稱分數；

(C)正數和負數統稱有理數；⑴)正整數、負整數和零統稱整數。

4.零是：A.最小的有理數B.最小的正整數C.最小的自然數D.最小的整數()

5.以下數軸的畫法中，正確的選項是()

6.以下各對數中，互為相反數的是()

1?33

(A)一上和0.2(B)—和2(C)-1.75和(D)卜2|和2

2324

7.大于一2.6而小于3的整數共有()

A.7個B.5個C.6個D.4個

8.以下說法正確的選項是

A.假設兩數的絕對值相等，那么這兩數必相等B.假設兩數不相等，那么這兩數的絕對值一定不相等

C.假設兩數相等，那么這兩數的絕對值相等D.兩數比擬大小，絕對值大的數大

9.冬季三個城市的最高氣溫分別是TO。C,1。C,-7°C,把它們從高到低排列是()

A、-10°C,-7°C,1°CB、-7°C,-10°C,1°C

C、1°C,-7°C,-10°CD、rC,-10°C,-7°C

26.將以下各數在數軸上表示出來.

—4.5,5,0,—3,1—,1o

2

27.出租車司機小李某天下午營運全是在東西向的人民大道上進行的.?如果規定向東為正，他這天下午

行車里程1單位：千米)如下：

+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.

(I)將最后一名乘客送到目的地時，小李一共行了多少千米？

(2)假設汽車耗油量為0.2升/千米，這天下午小李共耗油多少升？

努力試一試

I.式子5—卜一1|能取得的最大值是，這時。

2.觀察下面一列數，探求其規律：

(1)請問第7個，第8個，第9個數分別是，一

(2)第2012個數是？如果這列數無限排列下去，與哪個數越來越接近？

3.如圖，圖中數軸的單位長度為1。請答復以下問題：

①如果點A、B表示的數是互為相反數，那么點C表示的數是.

②如果點E、B表示的數是互為相反數，那么點D表示的數是___________，圖中表示的5個點中，

點表示的數的絕對值最小，是.

第二章一…卜，一一有理數的運算

DEACB

1.用正負數表示相反意義的量

2.正數和負數

像+,,+12,1.3,258等大于0的數(“+”通常不寫)叫正數。

2

3

像-5,?2.8,等在正數前面加“一”(讀負)的數叫負數。

4

【注】0既不是正數也不是負數。

例題：|在知識競賽中,如果+15表示加15分，那么扣20分表示。

習題：|設向東行駛為正,那么向東行駛30m記做，向西行駛20m記做，原地不動記做，一5m表示向行

駛5m,+16m表示向行駛16m.。

作業:(1)收入一2000元，表示。

(2)如果下降8米記為一8米，那么上升15米記為。

3.有理數

(1)整數：正整數、零和負整數統稱為整數。

分數：正分數和負分數統稱為分數。

有理數：整數和分數統稱為有理數。

(2)有理數分類

1)按有理數的定義分類2)按正負分類

rr正整數<「正整數

Y

整數0正有理數

有理數負整數有理數正分數

正分數0負整數

分數負有理數

負分數負分數

------1124

例1：把一一,+5,-6.3,0,6.9,一一，2—，-7,210,0.031,-43,-10%填在相應的括號內。

------2135

正有理數集合：｛…｝整數集合：｛

非負數集合:?一｝負分數集合：｛

耐:把以下各數填在適當的位置2.444,234,-7.43,0.01,19

1-----18179

作業：1一；，-20,1000.1^0^21,0,—2航次),5%,負數有個，正數有個，整數有個，正

分數有個，非負整數有人)

|例2：|以下說法正確的選余小

(1)一個數，如果不是6L必定就蘢負冢(2)正有理數是正整數和正分數的統稱。

(3)一個有理數不是分數就是正數。(4)整數不是奇數就是偶數。(5)。是最小的有理數。

練習：|以下說法正確的選項是:()

A3.1415926不是分數B正整數和負整數統稱為整數。

C奇數是正數D有理數包括整數和分數

作業：|以下說法錯誤的選項是()

A—0.6是分數B0不是正數也不是負數C0是自然數，不是整數D沒有最小的有理數

網引找規律填空

(1)3,-3,3,—3,3,-3>,,...

111

(2)1,—，一.,，，，....

357

笫199個數分別是。

練習:(1)1,—3,5,—7,9,—11,,,...

⑶I1234

⑵「5'丁『不，，

第100個數分別是。

4.數軸

(1)規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。

麗7］在數軸上畫出表示以下的點

財丁|寫出數軸上A,B,C,D,E各點表示的數

(2)數軸能形象地表示數，所有的有理數都可用數軸上的點表示，但數軸上的點所表示的數并不都是

有理數.

例題:

寫出大于一4而不大于2的所有的整數，并在數軸上表示出來。

習題：

(1)假設數軸上的點A向右移動2個單位長度后，又向左移動1個單位長度，此時正好對應一8

這個點，那么原來A點對應的數是。

(2)數軸上與原點距離小于4個單位長度的整數點有個，分別是。

(3)在數軸上，把表示3的點沿著數軸向負方向移動5個單位，那么與此位置相對應為數是。

作業：

以下結論正確的有()個：

①規定了原點，正方向和單位長度的直線叫數軸②最小的整數是0

③正數，負數和零統稱有理數④數軸上的點都表示有理數

A.0B.1C.2I).3

(3)在數軸上比擬有理數的大小

1)在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

2)由正、負數在數軸上的位置可知：正數都有大于0,負數都小于0,正數大于一切負數。

例題：

在數軸上畫出以下各點，它們分別表示：+3,0,-3-,1-,—3,—1.25并把它們用“V”

42

連接起來。

習題：

(1)以下說法錯誤的選項是()

A.沒有最大的正數，卻有最大的負數B.數釉上離原點越遠，表示數越大

C.0大于一切非負數【).在原點左邊離原點越遠，數就越小

(2)寫出兩個比一2大的負有理數。

根據有理數a,b,c在數軸上的位置，比擬a,b,c,0的大小。

—1-----------1——t-------------1------------------------>

ab0c

5.相反數

(1)只有符號不同的兩個數稱互為相反數，如一5與5互為相反數。(代數意義)

(2)從數軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數叫做互為相反數。(幾何意

義)

(3)。的相反數是0。也只有0的相反數是它的本身。

(4)相反數是表示兩個數的相互關系，不能單獨存在。

回冕］—7的相反是。

練習：

(1)-2,的相反數是。

3

(2)以下說法正確的選項是()

A一個數比它的相反數小，那么這個數是正數。B符號相反的兩個數互為相反數。

C互為相反數的兩個數可能相等。D一個數的相反數不可能大于它本身。

寫出以下各數的相反數，并在數軸上表示出來。

(5)相反數的求法：數a的相反數是一a。

|例題：|(1)0.1與d互為相反數，那么“二。(2)U-1的相反數是。

練習：

(1)假設-X的相反數是-7.5,那么x=0

(2)如果m的相反數是最大的負整數，n的相反數是-2,那么m+n=。

作業：|假設a-l的相反數是-2,那么a=。

(6)多重符號化簡

多重符號化簡的結果是由“一”號的個數決定的。如果“一”號是奇數個，那么結果為負；如果是偶

數個，那么結果為正。可簡寫為“奇負偶正九

例題：卜(-3.5)=-(+8)=

練習：-(+5)的相反數是。

2

--的相反數與a的相反數相等，那么a=。

3

作業：卜0=-3-0=5.2

6.絕對值

(1)在數軸上表示數a的點離開原點的距離，叫做數a的絕對值。

(2)一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零.

例題：卜-8|二

數軸上表示-2.5的點到原點的距離。

練習：|(1)假設間=2,那么a二o

⑵|-3,|的相反數是。

2

(3)到原點5個單位長度的點是。

14)假設|m|=-m,那么m是.假設|mI=m,那么m是0

作耐寫出?以下個數的絕對值,并在數軸上表示出來。

(3)絕對值的主要性質

一個數的絕對值是一個非負數，即aK),因此，在實數范圍內，絕對值最小的數是零.

(4)兩個相反數的絕對值相等.

例題：|假設|x+2|=0,那么x:

習題：

(1)假設|x+2|+|y-3|=0,那么x=,y=.

(2)假設|a|=4,|b|=3,且a<b,試求a、b的值。

(3)以下說法正確的選項是

①任何一個有理數的絕對值一定是大于。的。②一個有理數的絕對值不小于它自身。

③如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等。④絕對值等于本身的數是非負數。

⑤絕對值最小的有理數不存在。⑥任何數的絕對值都不小于原數。

(4)|x+5|的最小值是。

作業：

(1)寫出絕對值不大丁3的所有整數

(2)假設|x|=14|,那么x=.

⑸有理數大小比擬原那么

正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數。

兩個負數，絕對值大的反而小

例題：|(1)比擬大小0-0.001-5-1-41

(2)因為|_曰|一：，所以，

習題:

(1)實數a,b在數軸上的位置如下圖，是比擬a,-a,b,-b的大小關系。

b702ai

12)比擬大小①---和---②-卜3|和---

893

(3)大于-3且不大于5的整數有個，其中奇數有個。

⑴將有理數0,-3.14,2.7,-4,0.15按從小到大的順序排列起來，并用“〉”連接。

(2)假設xvyv。,那么-xy,x-y,|x||y|

7.有理數的加法

⑴有理數加法法那么

1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3)互為相反數的兩個數相加得零。

4)一個數與。相加,仍得這個數。

國1計算

,2、3

(-4)+(-7)=(一一)+-=-9.5+0=

38

習題：

(1)以下說法正確的選項是

①假設兩個數的和為正數，那么這兩個數都是正數。②兩人有理數相加，和一定大于每一個加數。

③兩個有理數的和可能為0c④兩個有理數的和可能等于其中一個加數。

⑤假設a與-2互為相反數，那么a+(-2)=0。

(2)如果岡=2,|y|=3,那么①x,y同號，x+y=②x,y異號,x+y=

(i)計算

(+6.5)+(-4.1)=(-2.1)+(-3.9)=

m+0=m+(-m)=

(2)用算式表示:

①溫度?10°C上升了30c到達

②0.25的相反數與?0.75的絕對值的和。

③絕對值不大于-4.3的所有整數的和。

(2)有理數加法的運算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

例題：

(I)計算

⑵某校購回面粉1()袋，每袋5。千克，入庫時又重新稱量，結果如下，(超過的千克數記為正數，缺乏

的千克數

記為負數)。+0.8,-0.5,+1.1,0,-03,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6<>

問；①該校共買進面粉多少千克?②平均每袋面粉重多少？③平均每袋面粉比標準量多還是少？

練習：

(I)計算：

(2)出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的大道上進行的，如果規定向東為正，向西為負,

他這天下午的行車里程如下(單位:千米):+15,-3,+14,-II,+10,-12,+4,-15,+16,“8。①將

最后一名乘客從到目的地時，小李距最初的出發點多少千米？②假設汽車的耗油量為a升每千米，那么

這天下午小李的車共耗油多少升?

(1)如果a,b互為相反數,那么a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b;。

(2)(-1)+3+(-5)+7+…+95+(-97)+99=。

8.有理數的減法

減去一個數等于加上這個數的相反數。a-b=a+(-b)

例題：

⑴計算：3-(-5)(-5)-|-5|

(2)比0小4的數是。

習題：

(I)室內溫度是16℃,室外溫度是-7°C,室內溫度比室外溫度高。

(2J以卜說法止確的選項是。

①在有理數的減法中，被減數不一定比減數或差大。②兩個相反數想減得零。

③零減去一個數，仍得這個數。④負數減去正數，差為負數。

⑤較小的數減去較大的數，所得的差一定為負。

(3)①A、B兩點間的距離是多少？②A、C兩點間的距離是多少？

望多兩點間的距離與表示這兩點的數有什么關系？

(1)計算：

0-(-5)-(-12)-(+9)

[2)[3)[4)[6)

(2)某日哈爾濱等五城市最高氣溫與最低氣溫記錄如下表，哪個城市的溫差最大？哪個城市的溫差最

小？

城市哈爾濱長春大連北京沈陽

236123

最高氣溫(℃)

-12-10-22-8

最低氣溫(℃)

9.有理數的加減混合運算

(1)省略加號和的形式：在一個和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫。

例如：把?8+(+10)+(-6)+(-4)寫成省略加號和的形式為-8+10-6-4。

讀作“負8,正10,負6,負4的和”也可讀作“負8加10減6減4。

(2)適當的應用加法運算律。

例題：

(1)把-2-1+3)?(?5)+(?4)+(+3)寫成省略括號的形式。

(2)把-5S+4-7按“和”的意義讀作。按“運算”意義讀作，

練習：

(1)-7,-12,+2的代數和比他們的絕對值的和小。

(2)a=-l,b=2,c=-3,d=4?求a-b-cid

⑶計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9-10-11-12+---+2005+2006-2007-2008

作業：

(1)計算：2004-(2008+|2004-2008|)

(2)用算式表示

①-6的相反數比10的相反數小2的數的和。

②-0.3的絕對值的相反數與3.5的相反數的差。

10.有理數的乘法

(1)有理數的乘法法那么

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與零相乘都得零。

例題：

(I)計算：

(2)如果|a|二2.|b|=3,且abvO,求3a+2b的值。

練習：

(1)以下說法正確的選項是。

①一個數與1的積等于它本身。②一個數與-1的積是它的相反數。③如果ab=O,那么一定有a=b=O.

④一個有理數和它相反數的積一定為負。⑤積比每個因數都大。

(2)如果|x|=0.99,|y|=0.09,且xyX),那么x+y=。

(3J在-2,3,-4,5中任取兩個數相乘，所得的積坡大是。

作業：|是否存在這樣的兩個數,他們的和和他們的積相等，如：2+2=2X2O其實這樣的數有很多，如：

l+(-l)=lx(-l),請再寫出三組這樣的式子。

22

(2)幾個不等于零的數相乘，積的正負號由負因數的個數決定，當負號的個數為奇數時，積為負；當

負號的個數為偶數時，積為正。

幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。

麗

-7X8X(-9)X10X0=

(1)(10-11)X(11-12)X(12-13)X…X(99-100)=

(2)如果三個數的積為負數，那么這幾個數中有個負因數。

(3)乘法運算律

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

例題：

[1)(-7)X(-2)+(-12)X(-7)-13)X(-7)=

⑵H44]X(-36)=

練習：

(I)在2X(-6)X5=-6X(2X5)中運用了()

A乘法交換律B乘法結合律C乘法結合律和乘法交換律D乘法分配律

(2)用簡便方法計算：

①9*(-6)

②(_421)J-；0.25x(_7g)_28.5x25%=

111

③--

22^33^419x20

作業:

(1)假設a,b異號，那么|l?ab|=。

11.有理數的除法

(1)倒數：乘積為1的兩個數互為倒數。

【注】0沒有倒數。

例題：

求以下各數的倒數。

8,0.5,2—,一,1,—1

38

練習：

(U假設一個數的倒數等十它本身，那么這個數是。

(2)以下說法正確的選項是。

①只有1的倒數等于它的本身。②一3.5的倒數是3.5。③零沒有倒數。④0.1的倒數是10。

⑤任何一個有理數a的倒數都等于,。⑥兩個數的積等干1,這兩個數互為倒數。

a

(2)有理數除法法那么1：除以一個數等于乘以這個數的倒數。

【注】0不能做除數。=aSwO)

b

(3)有理數的除法法那么2：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

零除以任何一個不等于的數，都得零。

例題：

(1)計算：(-32)+(-8)=0+(一0)=

(2)當x=時，￡—沒有意義。

x+5

練習：

(1)：a,b互為倒數，c,d互為相反數，x的絕對值是2,求2--(。+4)十耳一竺”的值。

abab

(2)當乂=時，ULV|—-3的值為0。

x+3

2

(3)某人到保險公司辦理火災保險，保險金為其房屋價值的一，按規定，每元保險金里交付1分5厘

3

1即保險費率為1.5%)這人一W應交付保險費184元，問：其房屋的價值是多少元？

作業;|(I)計算；

(2)體育課上，全班男同學進行百米測驗，達標成績為15秒，下面是第一組8名男生的成績記錄，其

中“+”表示成績大于15秒。-O.8.,+1.0,-1.2,-0.7,+0.5,-0.5,+0.1。①這個小組的男生達標率是多

少？②這個小組的平均成績是多少秒？

12.有理數的乘方

(1)求幾個相同因數積的運算，叫做乘方。

n個

(2)乘方的結果叫做第,a叫做底數，n叫做指數。

例題：

(1)在(一3)4中，指數是，底數是，累是。

在一3“中，指數是，底數是，累是。

c22

(2)把以下各式寫成轅的形式(-6)(-6)(-6)(-6)=--X-X-=

333

練習：

(I)-25表示()

A5個-2相乘B5個2相乘的相反數C2個-5相乘D2個5相乘的相反數

⑵W…⑶=,仔丫=

3⑺I3J

(3)有理數乘方法那么：

正數的任何次塞都是正數，負數的奇次賽是負數，負數的偶次算是正數，0的任何非0次賽都是

例題：

(1)計算：

⑵(-1產=(-1產“=(n為正整數)

練習：

(1)|x+5|+(y-2)2=0,那么x=y==

(2)32°°3的末位數字是。

(3)一根繩子，第一次減去一半，第二次減去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的繩子的長度

為。

(4)3加><52|><7>的個位數字是。

作業：

(1)假設X,y為有理數，以下各式成立的是()

⑵拉面師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，在捏合，再拉，反復幾次，就把很粗的面條拉

成了許多根很細的面條，這樣捏合到第次后拉出128根面條。

13.科學記數法

(1)一般的，10的n次幕，在1的后面有n的0。

(2)一個大于0的數就記成4X10〃的形式。其中是正整數。像這樣的記數法叫做科學記

數法。

(3)用科學記數法表示一個數時，10的指數等于原數的整數位數減1。(或等于小數點向右移動的位數。

例題：

(1)把以下各數用科學記數法表示

①300000=@40800000=③4879.5;@-369000000=

(2)下面是用科學記數法表示的數,那么原來的數是什么？

練習：

⑴25.8萬用科學記數法表示o

(2)光的傳播速度是3OO()OOkm/s,太陽照射到地球上大約需要500s,那么太陽島地球的距離用科學記

數法可表示為。

14.有理數的混合運算

(1)先算乘方，再算乘除，最后算加減。

(2)同級運算，按照從左至右的順序進行。

(3)如果有括號，就先算小括號里的，§再算中括號里的，然后算大括號里的。

計算：①(一3"91/3②一4、(一1|卜凡一方+!一5

練習:

11)有理數a等于它的倒數，有理數b等于它的相反數，求〃2岫+/009的值。

(2)假設m,n互為相反數,那么5m+5n-5=。

(3)用3,-5,7,-13這四個數，進行加、減、成、除運算，每個數字用一次，使其結果為24

W7

IT舁：---1----1-----1----r???H----1---=

909080801010

15.近似數和有效數字

(1)準確數：完全符合實際的數。

(2)近似數：和準確數非常接近的數。近似數和準確數接近的程度叫做精確度。

(3)一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的

數字起到精確到的位數止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。

(4)近似數的精確度有兩種形式：1)精確到哪一位，2)保存幾個有效數字。

例題：

(1)按要求對以下各題去近似值

①0.005308(保存三個有效數字)②0.49996(精確到0.001)

③120000(保存2個有效數字)?2.996xlO4(保存3個有效數字)

⑤7386000001精確到百萬位)⑥3.1549x10〉(精確到百位)

⑦78.98萬(精確到萬位)

(2)以下各數均為近似數，分別精確到哪一位，有幾個有效數字。

①0.0280②4.876x104③550

④0.028⑤30萬?48760

⑶近似數2.30表示的精確度a的范圍是()

A2.295Wa<2.305B2.25<a<2.35C2.295<aW2.305D2.25<a<2.35

第三章：實數

本章的知識網絡結構：

知識梳理

一.數的開方主要知識點：

【1】平方根：如果一個數x的平方等于a,那么，這個數x就用做a的平方根；也即，當工2=。(。20)

時，我們

稱x是a的平方根，記做：x=±y/a(a>0)因此：

當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；

當a>0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做：x=±右。

當aVO時，也即a為負數時，它不存在平方根。

2、(V^)~=(a>0

3、

例1.

(1)的平方是64,所以64的平方根是；

(2)的平方根是它本身。

(3)假設人的平方根是±2,那么x=；J語的平方根是

(4)當x時，J3—2x有意義。

(5)一個正數的平方根分別是m和m-4,那么m的值是多少？這個正數是多少？

(6)后=7.348,假設五二0.7348,那么x:

【算術平方根】：

(1)如果一個正數x的平方等于a,即/=〃，那么，這個正數x就叫做a的算術平方根，記為:

“JZ”，讀作，“根號a"，其中，a稱為被開方數。特別規定：0的算術平方根仍然為0。

(2)算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：V^>0(?>0)o

(3)算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數共同構成了

平方根。因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數，它只表示為：右；而平方根具有兩

個互為相反數的值，表示為：土耳。

例2.

(1)以下說法正確的選項是()

A.1的立方根是±1；B."=±2；(C)、廊的平方根是±3；(D)、0沒有平方

根；

(2)以下各式正確的選項是0

A、78?=±9B、|3.14-勾=4一3.14C、4^=-973D、石一石=形

(3)J(—3-的算術平方根是。

(4)假設4+C有意義，那么J7TT=o

⑸aABC的三邊分別是a,b,c,且。力滿足J不巧+(〃一4尸=0,求c的取值范圍。

(6)：A=gx+y+3是x+y-3的算術平方根，B=X~2y^x+2y是x+2)，的立方根。求A-B的平方

根。

(7)(提高題)如果x、y分別是4一十的整數局部和小數局部。求x-y的值.

【立方根】

(1)如果x的立方等于a,那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：0讀作，3次根

號a。注意：這里的3表示的是開根的次數。一般的，平方根可以省寫根的次數，但是，當根的

次數在兩次以上的時候，那么不能省略。

(2)平方根與立方根：每個數都有立方根，并且一個數只有一個立方根；但是，并不是每個數都有平

方根，只有非負數才能有平方根。

(3)"=解)3=

例3.

(1)64的立方根是

(2)假設標=2.89,”^=28.9,那么b等于()A.1000000B.1000C.10D.10000

(3)以下說法中：①±3都是27的立方根，②獷=)，，③國的立方根是2,④y(±8)2=±4。

其中正確的有()

A、1個B、2個C、3個D、4個

【無理數】

(1)無限不循環小數的小數叫做無理數；它必須滿足“無限”以及“不循環”這兩個條件,在初中階

段，無理數的表現形式主要包含以下幾種：(1)特殊意義的數，如：圓周率乃以及含有汗的一

些數，如：2-4，3萬等；(2)開方開不盡的數，如：枝，石,沙等；(3)特殊結構的數：如：

2.01001000100001…(兩個1之間依次多1個0)等。應當要注意的是：帶根號的數不一定

是無理數，如：我等；無理數也不一定帶根號，如；"

（2）有理數與無理數的區別：（1）有理數指的是有限小數和無限循環小數，而無理數那么是無限不

循環小數（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數

那么不能寫成分數形式。

例4.（1）以下各數：①3.141、②0.33333……、③Ji-S、④n、⑤士,2.25、⑥一一、

3

⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次姆加2）、其中是有理數的有

是無理數的有。（填序號）

（2）有五個數:0.125125…，0.1010010001…,-4，"，貶其中無理數有（）個

A2B3C4D5

【實數】

（1）有理數與無理數統稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實

數是0,最大的負整數是-1。

12）實數的性質：實數a的相反數是-a；實數a的倒數是工（aWO）：實數a的絕對值|a|之°）,

a[-a（a<0）

它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。

（3）實數的大小比擬法那么：實數的大小比擬的法那么跟有理數的大小比擬法那么相同：即正數大于0,

0大于負數；正數大于負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。（在數

軸上，右邊的數總是大于左邊的數J。對于一些希根號的無埋數，我們可以通過比擬它們的平方或

者立方的大小。

（4）實數的運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法那么和運

算順序與有理數的一致。

例5.

（1）以下說法正確的選項是（）；

A、任何有理數均可用分數形式表示；B、數軸上的點與有理數一一對應；

C、1和2之間的無理數只有正；D、不帶根號的數都是有理數。

（2）a,b在數軸上的位置如下圖，那么以下各式有意義的是（）

A^y/a-baB、9cihbc、Ja+〃D、-a

(3)比擬大小(填“>”或

V20,7^/6_______6",

3屈，-V3Lt

22

(4)數/7,-2,-3的大小關系是()

A.-y/7<-3<-2B.-3<-y/7<-2C.-2<一"<-3I).-3<-2<一/

⑸將以下各數：2,4,g,T-石，用“v”連接起來;

(6)假設時=3,啟=2,且ab<0,那么：a-b

(7)計算:

(8)：(x-7)2=121,()，+1)，=—0.064,求代數式JT與一J1+101+#245y的值。

(9)(提高題)觀察以下等式：答復以下問題:

+異+；11

1+11?-1@八1?+—1+1—-=,1+-1--------1--

2r223222+1

③H小一=1^

33+1

(1)根據上面三個等式的信息，請猜測Ji+!+-V的結果:

V4252

(2)請按照上式反響的規律，試寫出用n表示的等式。

課后練習:重點考查題型：

一、考查題型：

1.一1的相反數的倒數是

2.|4+3|而1=0,那么實數(a+b)的相反數

3.數一3.14與一口的大小關系是

4.和數軸上表示數一3的點A距離等于2.5的B所表示的數是

5.在實數中刀，一|,0,#,-3.14,小無理數有()

(A)1個(B[2個(C)3個(D)4個

6.一個數的絕對值等于這個數的相反數，這樣的數是()

(A)非負數(B)非正數(C)負數(D)正數

7.假設xV—3,那么Ix+3I等于])

(A)x+3(B)—x—3(C)—x+3(D)x—3

8.以下說法正確是()

(A)有理數都是實數(B)實數都是有理數

(B)帶根號的數都是無理數(D)無理數都是開方開不盡的數

二、考點訓練：

*1.判斷題:

(1)如果a為實數，那么一a一定是負數；()

(2)對于任何實數a與b,|a-b|=|b—，恒成立；()

(3)兩個無理數之和一定是無理數；()

(4)兩個無理數之根不一定是無理數；()

(5)任何有理數都有倒數；()(6)最小的負數是一1；〔)

(7)a的相反數的絕對值是它本身；()

(8)假設|a|二2,|b|=3且ab>0,那么a—b=-1；()

2.把以下各數分別填入相應的集合里

22

—I—31,21.3,-1.234?~~,0,

ctg450,1.2121121112.....中

無理數集合(}負分數集合{}

整數集合{}非負數集合{}

*3.l<x<2,那么|x—317(1-x)2等于()

(A)-2x(B)2(C)2x(D)-2

4a，b互為相反數，3d互為倒數，m的絕對值是2,求疆+4x3cd~

(a-3b)2+Ia2-4|

*5.=0,求a+b二。

三、解題指導:

1.以下語句正確的選項是()

(A)無盡小數都是無理數(B)無理數都是無盡小數

(O帶報號的數都是無理數(D)不帶報號的數一定不是無理數。

2.和數軸上的點一一對應的數是()

(A)整數(B)有理數(C)無理數(D)實數

3.零是()

(A)最小的有理數(B)絕對值最小的實數(C)最小的自然數(D)最小的整數

4.如果d是實數，以下四種說法：

(1)a?利|aI都是正數，(2)IaI=-a,那么a一定是負數，

(3)a的倒數是［，(4)a和一a的兩個分別在原點的兩側，幾個是正確的()

a

(A)0(B)1(C)2(D)3

*5.比擬以下各組數的大小