新課標高中數學教材必修1-5知識點總結

高一數學必修1知識網絡

集合

⑴元素與集合的關系：屬于（￡）和不屬于（史）

（2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

集合與元素

（3）集合的分類：按集合中元素的個數多少分為：有限集、無限集、空集

（4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質描述）、圖示法、區間法

子集：若x€A=>XGB,則AcB,即4是硒子集。

h若集合A中有〃個元素，則集合順子集有2”個，真子集有（2"-1）個。

、十2、任何一個集合是它本身的子集，即AqA

關系3、對于集合4,及C,如果AqB,且那么AqC

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合<真子集：若Aq8且A工8（即至少存在七w8但飛任A）,則4是8的真子集。

集合相等：=A=B

集合與集合交集定義：4cB={x/xwA月.xe耳

性質：AcA=A,Ac0=0,Ac8=BeA,Aq8oAcB=4

乂金f定義：AuB={x/xeAsExeBj

性質：Au4=4=A,A\JB=A,AuAuB=B,AqBoAuB=B

運算4

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-C4rd(AcB)

定義：CL,A={x/xeU^xiA}=A

補集〈性質：(C“A)cA=0,(C〃A)uA=U,CU(CVA)=A,「(AcB)=(C〃A)5c〃B),

Q(Ai」B)=(Q,A)c(Q8

函數

映射定義：設A，3是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個元素x.

在集合8中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應/?:->8為從集合A到集合8的一個映射

傳統定義：如果在某變化中有兩個變量不），,并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，

按照某個對應關系f,y都有唯一確定的值和它對應。那么），就是*J函數。記作y=fix）.

近代定義：函數是從?個數集到另一個數集的映射。

1定義域

函數及其表示\函數的三要素〈值域

對應法則

解析法

函數的表示方法《列表法

、圖象法

傳統定義：在區定［。力］上,若。《刁。24，如/（同）則/'（工）在上遞增,［〃，］是

遞增區間：如/'（力）>/（12），則？（x）在儲力在遞減,⑸是的遞減區間。

單調性J

導數定義：在區間［a例上,若〃x）>0,則/'（X）在［”力］上遞增,［"例是遞增區間：如/（x）<0

則/?（x）由a例上遞減,［a0是的遞減區間。

最大值：設函數產/（尤）的定義域為/，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的xw/,都有

函數5（2）存在卻“使秋TroAM。則稱M是函數尸/（.r）的最大值

函數的基本性質最值

最小值：設函數y=/（x）的定義域為/，如果存在實數N滿足：（1）對于任意的工力，都有

（2）存在x（）w/,使得/i（.roAM則稱N是函數、，=/（x）的最小值

（l）/（-x）=-/（x）.xw定義域￡>,貝妙"）叫做奇函數，其圖象關于原點對稱。

奇偶性4（2）/（-x）=/（x）,xe定義域D則/?"）叫做偶函數，其圖象關于y軸對稱。

奇偶函數的定義域關于原點對稱

周期性：在函數T（x）的定義域上恒有/1+丁）=/（入）（7工0的常數）則〃幻叫做周期函數，丁為周期;

加勺最小正值叫做/■（工）的最小正周叫簡稱周期

（1）描點連線法：列表、描點、連線

向左平移a個單位：凹=y,-vi-?=x=>y=/(x+a)

平移變換<【可右平移a個單位：y\=y，同+a=xny=f（x-a）

向上平移匕個單位：.v）=x.）］+b=yny-A=,f（x）

向K平移方個單位：-h=y=>y+b=f（x）

'橫坐標變換：把各點的楨坐標X］縮短（當”>1時）或伸長（當0〈“（1時）

到原來的1/M倍（縱坐標不變），即.=wx=y=f（we）

伸縮變換,縱坐標變換：把各點的縱坐標為伸長（A>1）或縮短（0<旅1）列原來的A倍

（橫座標不變），即川=），/（x）

函數圖象的畫法

（2）變換法.

關于點（M）,）0）對稱依言x。n制=尹0一=2、()一尸f(2A-O-X)

l.y+71=2.￥0b,l=2>0->'u?Ju

x+.q=2卜］=2依一三

關于直線A=X（）對稱:

>=y\\yi=y?八”

對稱變換

潸=2川=｛混卻一產即一產/（x）

關于直線產兒對稱:

關于直線產工對稱：卜；國"尸尸（x）

附：

一、函數的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數大于等于零：3、對數的真數大于零；4、指

TT

數函數和對數函數的底數大于零且不等于1：5、三角函數正切藥數y=tanx中k7r+—(kGZ);

余切函數)，=(：01工中；6、如果函數是由實際意義確定的解析式，應依據自變量的實際意義確定其取

值范圍。

二、函數的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數法；4、函數方程法；5、參數法；6、配方法

三、函數的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法;3、-列別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法

四、函數的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法

五、函數單調性的常用結論：

1、假設/(X),g(X)均為某區間上的增〔減〕函數，那么/(X)+g(X)在這個區間上也為增〔減〕

函數

2、假設/(幻為增〔減〕函數,那么一/(工)為減〔增〕函數

3、假設/(幻與g(x)的單調性相同，那么)，=/[g(x)]是增函數；假設/(x)與g(x)的單調性

不同，那么)，=/[g(x)]是減函數。

4、奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反。

5、常用函數的單調性解答：比擬大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。

六、函數奇偶性的常用結論：

1、如果一個奇函數在x=0處有定義，那么/(0)=0,如果一個函數)，=/(?既是奇函數又是

偶函數，那么/(x)二0〔反之不成立〕

2、兩個奇〔偶〕函數之和〔差〕為奇〔偶〕函數；之積(:商〕為偶函數。

3、一個奇函數與一個偶函教的積〔商〕為奇函數。

4、兩個函數》=/(〃)和，，=^。)復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合的

數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。

5、假設函數f(x)的定義域關于原點對稱，那么f(x)可以表示為

/(X)=-r/(x)+/(-x)i+-r/(x)-f(-x)],該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函

22

數的和◎

零點:對于函數.丫=八9,我們把便f(x)=0的實數x叫做函數>=/1)的零點。

定理:如果函數y=f(x)在區間明切上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有/(a)/3)<0.

零點與根的關系5那么，函數y=f(x)在區間［a.刃內有零點。即存在ce(。㈤，使的'(c)=0,這個c也是方

即(x)=0的根。(反之不成立)

關系:方程/(、)=。有實數根o函數y=/(x)有零點o函數y=f(x)的圖象與x軸有交點

函數與方程5⑴確定區間［%b］,驗斯a)?f(b)<0,給定精確度￡：

(2)求區間(a,刀的中點c;

函數的應用3

(3)計軻(c)：

二分法求方程的近似解4①若f(c)=0,則c就是函數的零點：

②茍'(a)■/(c)<I).則令力=c(此時零點xe(A.b)):

③司'(c)-f(b)<0,則令。=c(此時零點e(c.b))；

(4)判斷是否達到精確度￡：即若<￡.則得到零點的近似值。(或b)；否則重更2~4。

幾類不同的增長函數模里

函數模型及其應用用已知函數模型解決問題

建立實際問題的函數模型

根式:“7.〃為根指數，a為被開方數’

分數指數第

指數的運弊《-cJ+$(a>O,/*,swQ)

指數函數《性演《=cifS(a>O,swQ)

(czZ?)r=arbs(a>(),Z?>O,reQ)

定義：一般圮好巴函數y=々*(a>O口qK1)”“做才旨致函數。

指數函數

件質：見表1

「對數：X=1Q￡〃/V,c為底數，N為其數

log(Ay?2V)=log^M+log^TV;

基本初等函數、<z

M

logq—=logqM-log〃Z;

X寸數的運算」N

生員?

對數函數VtJ"=nlog^M;(a>O,ah1,M>O,TV>O)

換底公式：logb=I。2v匕(a,c>O且〃，<?X1、。>O)

lQg<a

定義：一般地把函數y=log,,>。且ax1)1叫做對數函數

對數函數《

性所：見表1

定義：一般地，函數.y=x『川做常函數，x處白變量，。燦布數。

短函數、

性度;見表2

表

指數函數y=〃(〃>0,對數數函數y=log〃x(a>0,aw1)

1

定

義xeRXG(0,-KO)

域

值

>?0,向yeR

域

0<a<1

J\0<tf<1

圖?

象a>1

>-

5ss]

tt1一

過定點（0/）過定點（1,0）

減函數增函數減函數增函數

xc(-<x,0)時.ye(t+oo"E0)時，>'(=(().1)X￡(O,1)時.yG(0,+co)xF(0,1泗寸，yF(-00,0)

xe(0,+co)時，ye(0,1)xe(0,+<o)時，>'G(1,+co)XG(1,~KO)時，ye(Yo,0)xe(l,+oo)時，ye(0,+co

性

質

Iy=log產

J

1一乂

l1

^L

■.I-S??-f

-^ra<b

a<ba>b1

a>b

表2寐函數y=A：a（a€R）

aJ

a<00<a<1a>1a=1

q

kaj)/

p為奇數)62/(1.0

?ty.

""1—奇函數

g為奇數:/S，T)/

/

[(1,1)?

p為奇數a.

V...j

g為偶數

H-------1-------1-------4??

-/

P為偶數

偶函數

q為奇數-J------------------------------5——1--------

------1------>>?1,1)/aj)

第一象限

減函數增函數過定點(0,1)

性質

高中數學必修2知識點

一、直線與方程

〔1〕直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角C特別地，當直線與X軸平行或重合時，我

們規定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是0°<180°

〔2〕直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即

Z=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當a￡[(T,90)時，左之()；當a￡(90,180°)時，k<0；當a=90°時，k不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：k=）,一'（七/犬2）

注意下面四點：（1）當芭二々時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2）攵與Pi、P2的順序無關；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；

⑷求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

〔3〕直線方程

①點斜式：y-y}=k（x一內）直線斜率k,且過點（升,y）

注意：當直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是y=yi。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因/上每一點的橫

坐標都等于所以它的方程是

②斜截式：y=kx+ht直線斜率為左直線在y軸上的截距為力

XX}

③兩點式：~~~—=1％/工,,兇￥y2〕直線兩點（%,yj,（招,）1）

%-y超一%

④截矩式：-+^=i

ab

其中直線/與x軸交于點（〃,（））,與y軸交于點（0,。），即/與X軸、），軸的截距分別為。

⑤一般式：Ax+8>+C=0〔4,8不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

乎行于入?軸的直線；）,=?〔〃為常數）；平行于），軸的直線；x=a為常數〕；

〔5〕直線系方程：即具有某一共同性質的直線

〔一〕平行直線系

平行于直線4工+綜丁+孰=0〔、,穌是不全為。的常數〕的直線系：A/+綜y+c=（）Cc

為常數〕

〔二〕過定點的直線系

〔i〕斜率為左的直線系：）'一%=上（無一%））,直線過定點（.7,%）；

（ii〕過兩條直線4:Ax+gy+a=（）,4i&x+&y+c2=。的交點的直線系方程為

（4d+4），+Cj+2（A,x+8,y+a）=0〔％為參數〕，其中直線4不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直

當/]：y=Z|X+仿，，2：y=42%+〃2時，

/]〃/2<=>匕=&，〃|工仇；h上I?=印？=7

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

〔7〕兩條直線的交點

/）:Ax+Bj+G=0/2:AyX-vB2y+C2=0相交

交點坐標即方程組14"+B|）'+G=°的一組解。

A2X+B2y+C2=0

方程組無解Q/I〃，2;方程組有無數解<=>/]與4重合

[8〕兩點間距離公式：設八（內,凹），8（々,為）是平面直角坐標系中的兩個點，

那么IAB\=至一南+⑷-4

〔9〕點到直線距離公式：一點P（x―福）到直線:At++C=0的距離M喧C|

^A2+B2

〔10〕兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

〔1〕標準方程(“一々)2十(y-〃)2=/，圓心(4,力),半徑為r;

〔2〕一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

當。2+￡2-4尸>0時，方程表示圓，此時圓心為半徑為r=l、B=

[2,2)2

當。2+￡之-4尸=0時，表示一個點；當。2+石2-4/〈0時，方程不表示任何圖形。

〔3〕求圓方程的方法：

一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，假設利用圓的標準方程，

需求出a,b,r：假設利用一般方程，需要求出D,E,F：

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，根本上由以下兩種方法判斷：

〔1〕設直線/:4v+By+C=0,圓C：G-a)2+()，—〃r=/,圓心C(〃/)到/的距離為

\Aa+Bb+C\t那么有/與Cffl離；d=ro/與C相切；dv〃o/與C相交

VA2+B2

12]設直線/:Ax+By+C=O,圓C:(x—af+(y-人>=/,先將方程聯立消元，得到一個一元二

次方程之后，令其中的判別式為△,那么有

△<0<=>/與C相離；△=()<=>/與。相切；△>()<=>/與C相交

法：如果圓心的位置在原點，可使用公式》0+)少0=都去解直線與圓相切的問題，其中(工0，)’0)表

示切點坐標，r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

①圓入2+丁2二,，圓上一點為(X(),yo),那么過此點的切線方程為*o+y)b=，,(課本命題).

②圓(X-a)2+()也2=凡圓上一點為的，y0)t那么過此點的切線方程為(切"力僑力+(次勿伙句=/(課本命題

的推廣).

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔"〕之間的大小比擬來確定。

222221

設圓G:(x-ax)+(y-/>,)=r,C2:(x-?2)+(y—b2)=R

兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔1〕之間的大小比擬來確定。

當時兩圓外離，此時有公切線四條；

當6?=7?+〃時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條：

當b-rvav?+/?時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;

當“二氏一其時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線:

當dv/?-r|時，兩圓內含；當1=0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

〔1〕棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCOE—A'B'C力E'或用對角線的端點字母，如五棱柱A。’

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形：側面、對角面都是平行四邊形：側棱平行且相等；平行

于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三樓錐、四校錐、五楮錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐P-AZ'C'DZ'

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的極面與底面相似，其相似比等于頂點到板面距離與

高的比的平方。

〔3〕棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底而之間的局部

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側楂交于原棱錐的頂點

〔4〕圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的畫面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。

〔5〕圓錐；定義：以直角三角后的--條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底而是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

〔6〕圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去橫圓錐，極面和底面之間的局部

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點：③側面展開圖是一個弓形。

〔7〕球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖〔光線從幾何體的前面向后面正投影〕；側視圖〔從左向右〕、

俯視圖〔從上向下）

注：正視圖反映了物體J?下、左右的右置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軾平行的線段仍然、與y平行，長度為原來的一羊。

4、柱體、錐體、臺體的外表積與體積

〔1〕幾何體的外表積為幾何體各個面的面積的和。

〔2〕特殊幾何體外表積公式〔c為底面周長，h為高，力為斜高，I為母線〕

S直棱柱側面積=chS圓柱側=2mhS正極錐惻面積二萬加'S圓錐側面積=7irl

S正梭臺蛹i枳=g（C]+c2）h,S網臺側面枳=（r+R）6

S陰柱表=2為（尸+/）S酬表=勿（一+/）S/臺表=獷（/+”+即+R-）

〔3〕柱體、錐體、臺體的體積公式

J

VI.=+VFs+S）h『臺=-（s+VFs+S)h=-7r(r+rR+R2)h

E

r=n

一.....?41

〔4〕球體的外表積和體積公式：V球=3乃內；S球面=4乃R2

4、空間點、直線、平面的位置關系

⑴平面

①平面的概念：A.描述性說E月；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、0、Y表示，如平面a〔通常寫在一個鏡角內〕；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關系：點4在平面。內，記作Awa；點A不在平面。內，記作4任。

點與直線的關系：點A的直線/上，汜作：AW/;點A在直線/外，記作A&/;

直線與平面的關系：直線/在平面a內，記作/Ua；直線/不在平面a內，記作/仁Q。

〔2〕公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。

〔即直線在平面內，或者平面經過直線〕

應用：檢臉桌面是否平；判斷直線是否在平面內

用符號語言表示公理1:Aw/,Aw/.Aea,Awa=>/ua

〔3〕公理2:經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定^一平面；兩平行直線確定^一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據②它是證明平面重合的依據

〔4〕公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面a和B相交，交線是a,記作aD0=a。

符號語言：PwA，BnA「B=/,Pw/

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，印證假設干個點共線的重要依據。

〔5〕公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

〔6〕空間直線與直線之間的位JL關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

②異面直線性質：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面向不過該店的直線是異面直線

@異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點。，分別引直線內〃a,b、Hb,那么把

直線"和"所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線。和人所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是〔0°,

90°],假設兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：〔1〕判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理

[2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的

位置R、證明作出的南即為所求角C、利用三角形來求角

〔7〕等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

〔8〕空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面內——有無數個公共點.

宜城不在平面內（相交——只有一個公關點.

（或直線在平面外J平行一一沒有公關點.

三種位置關系的符號表示：acaaPIa=Aa〃a

〔9〕平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；a/70

相交—有一條公共直線。QnB=〃

5、空間中的平行問題

〔1〕直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行，那么該直線與此平面平行。

線線平行一線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=>線線平行

〔2〕平面與平面平行的判定及其性質

兩個平面平行的判定定理

(1)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

〔線面平行T面面平行〕，

〔2〕如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。

〔線線平行T面面平行〕，

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行，

兩個平面平行的性質定理

〔1〕如果兩個平面平行，那么更一個平面內的直線與另一個二面平行。〔面面平行T線面平行〕

(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。〔面面平行T線線平行〕

7、空間中的垂直問題

〔1〕線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直，

②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角〔從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形〕

是直二面角〔平面角是直南〕，就說這兩個平面垂直。

12〕垂直關系的判定和性質定理

①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面，

性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規定為0。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線出〃平行的直線力，形成

兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

〔2〕直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規定為0。。②平面的垂線與平面所成的角：規定為90"

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的絲魚，叫做這條直.線和這個

平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算

在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，

在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：〔1〕斜線上一點到面的垂線；〔2〕過斜線上的一點或過斜線

的平面與面垂直，由面面垂直性質易得垂線。

〔3〕二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，