第四章三角形

4.1認(rèn)識三角形(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過觀察、想象、推理、交流等活動，開展空間觀念、推理能力和有條理地

表達(dá)能力；

2、能證明出“三角形內(nèi)角和等于180°”，能發(fā)現(xiàn)“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”；

3、按角將三角形分成三類。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)；三角形內(nèi)角和定理推理和應(yīng)用。

學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書62-65頁

(2)思考①三角形的角之間的關(guān)系②三角形的分類

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)

三角形中角的關(guān)系：(1)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是；(2)直角三角形的兩個(gè)銳角

三角形的分類：按角分為三類：三角形；三角形和三角形。

(-)學(xué)習(xí)過程

例I證明三角形的內(nèi)角和為180c

例2在AABC中，(1)/。=82°,/八=42°,則/8=

(2)/4+/8=5/。,那么/。=

(3)在aABC中，NC的外角是120。，N3的度數(shù)是NA度數(shù)的一半，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)

變式訓(xùn)練：在AABC中(1)/3=78°,/4=25°,則/。=

⑵假設(shè)NC=55°,/8-乙4=10°,那么乙4二，/B=

例3AABC中，NA:N8:NC=1:2:3,試判斷此三角形是什么形狀？

變式訓(xùn)練：ZXABC中，N4-N3=90°,N3=2NC,試判斷此三角形是什么形狀？

例4如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD±AB于點(diǎn)D,

N1與NA有何關(guān)系N2與N硼？

例5如圖，乙4=60°,ZB=30°,ZC=20°,求N8OC的度數(shù)。

變式訓(xùn)練：如圖在銳角三角形ABC中，BE、CD分別垂直AC、AB,

假設(shè)乙4=40°,求N8HC的度數(shù)。

BC

拓展；1、如下圖，求NA卜/8+NC+N￡>bNE的度數(shù)。

2、如圖在aABC中，乙4=/1,/2=/e/44。=44。,求乙4。8的度數(shù).

回憶小結(jié)：1、三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；2、三角形

按角分為三類：

（1）銳角三角形（2）直角三角形（3）鈍角三角形

3、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

4.1認(rèn)識三角形（2）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，發(fā)學(xué)空間觀念、推理能力

和有條理地表達(dá)能力；

2、結(jié)合具體實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識三角形的概念及其根本要素，掌握三角形三邊關(guān)系：“三

知形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊二

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系：”三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差

例4如下圖，在小河的同側(cè)有A.B,C三個(gè)村莊，圖中的線段表示道路，某郵遞員從A村送信到B村,

總是走經(jīng)過C村的道路，不走經(jīng)過D村的道路，這是為什么呢？

請利用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識加以證明。

拓展：I、假設(shè)設(shè)是△ABC的三邊，那么|。+〃+4+|。一〃-4=

2、6"。是aABC的三邊，a=2,b=5,且三角形的周長是偶數(shù)，（1）求c的值；（2）判斷AABC的

形狀。

回憶小結(jié)：

掌握三角形三邊關(guān)系：“三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊”,

4.1認(rèn)識三角形（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過觀察、想象、推理、交流等活動，開展空間觀念、推理能力和有條理地表達(dá)能力;

2、了解三角形的角平分線、中線、高線，并能在具體的三角形中作出高線。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、角平分線的概念

2、三角形的中線、高線。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：高線的畫法以及三個(gè)定義做計(jì)算

學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

（一）預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

（1）預(yù)習(xí)書68-72

（2）思考：什么是三角形的角平分線？中線？高線？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)

畫出以下圖三角形的三條高

(二)學(xué)習(xí)過程

1、在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做

2、在三角形中，的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。

3、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，之間的線段叫做三角形的高。

例I(I)如圖1,D為SAABC的變BC邊的中點(diǎn)，假設(shè)SAADC=I5,那么S/,ABC=

⑵如圖2,AD、BE分別是△ABC中BC、AC邊上的高，假設(shè)NC=70°,/1=20°,那么N2=

變式訓(xùn)練：如圖在AARC中,RD平分/4以二/。=66°,/48。=240,那么乙4三

例2如圖，在AABC中，NABC與NACB的平分線交于點(diǎn)O,試說明:

(1)ZBOC=180°-^(Z4BC+

(2)ZBOC=90°+-ZA

2

變式訓(xùn)練：如圖在aABC中，I是AABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

BC

N8/C=130°,則NH4C為（）

A、40°B、50°C、65°D、80°

例3如圖，在AABC中，CF、BE分別是AB、AC邊上的中線，假設(shè)AE=2,AF=3,且AABC的

周長為15,求BC的長。

變式訓(xùn)練：如圖，在AABC中，AB=AC,AC邊上的中線BD把三角形的周長分為12和15兩局部,

求aABC各邊的長。

拓展：1、（1）如圖，假設(shè)AD為AABC底邊BC的中線，那么S"/）=:

（2）兩個(gè)等底1同底）三角形面枳之比等于它們的..之比；兩個(gè)等高（同高）三角形面枳之比等于

它們的—之比;

（3）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上

DF=FC,CE=2EBoS肯0尸=M,S四邊形在仃=〃（其中n>m）,那么

%邊形A8CZ）=-----------

2、如圖1在AABC中，AD_LBC于點(diǎn)D,AE平分NBAC(NC>NB)

⑴試探究NE4O與NC23的關(guān)系;

（2）假設(shè)F是AE上一動點(diǎn)

①假設(shè)F移動到AE之間的位置時(shí)，F(xiàn)D1BD,如圖2所示，此時(shí)NEFO與NC與的關(guān)系如何？

②當(dāng)F繼續(xù)移動到AE延長線上時(shí)，如圖3所示FD1BC.①中的結(jié)論是否還成立，如果成立說明

理由，如果不成立，寫出新的結(jié)論。

回憶小結(jié)：（1）三角形的角平分線、中線、高線的定義；

（2）三角形的角平分線、中線、高線是線段.

4.2圖形的全等

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解全等圖形、全等多邊形、全等三角形.

2.平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形根本運(yùn)動對全等圖形的影響.

3.掌握全等多邊形性質(zhì)與識別方法，全等三角形的性質(zhì).

4.簡單應(yīng)用全等多邊形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

全等多邊形的性質(zhì)與識別方法；全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用.

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形根本運(yùn)動對全等圖形的影響.

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

㈠引入

觀察教材P73圖3-21幾組圖形。

（二）學(xué)習(xí)過程

閱讀課本P73-75填空:兩個(gè)圖形就是全等圖形。全等圖形的和

都相同。

下面，我們看看圖形的運(yùn)動對全等圖形有何影響？

活動請同學(xué)們在方格紙中任意畫一個(gè)多邊形，先將這個(gè)多邊形沿某一方向平移一定距離（與原圖形

無重疊）；再將原多邊形繞形外一點(diǎn)順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一定角度（與原圖形無重疊）；然后將原圖形

沿形外某格線對稱：最后將這些圖形剪下來，將其疊合.你能發(fā)現(xiàn)什么。通過這個(gè)活動過程，說明了什么

問題？

說明圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的圖形運(yùn)動，位置發(fā)生了變化，但形狀和大小卻沒有改變，圖形運(yùn)

動前后的兩個(gè)圖形是全等的；反過來，也就是說，兩個(gè)全等的圖形經(jīng)過圖形運(yùn)動一定能重合.

請你說說什么是全等多邊形?什么是全等多邊形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)角、對應(yīng)邊?你認(rèn)為全等多邊形有

何特征?

全等多邊形對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等.

如圖1,四邊形ABCD與四邊形EFGH全等，

可記為四邊形ABCDg四邊形EFGH,請指

出對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)角、對應(yīng)邊.

全等多邊形的識別方法:如果兩個(gè)多邊形對

應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等，那么這兩個(gè)多邊形全

等.

三角形是特殊的多邊形，所以，全等三角形的對應(yīng)邊、

對應(yīng)角分別相等；如果兩個(gè)三角形的

、__________分別用等，那么這兩個(gè)多邊形

全等.

例1如圖2,將4ABC繞其頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

20"后得到AADE.圖2

(l)AABC與4ADE的關(guān)系如何？

⑵求/BAD的度數(shù).

分析：將△ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE,故AADE是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的，假設(shè)將AADE逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)20°,那么能與aABC重合，所以aABC與4ADE是會等的.由學(xué)生自主思考、分析解答.

探索：請同學(xué)們將兩張紙疊起來，剪下兩個(gè)全等三角形，然后將疊合的兩個(gè)三角形紙片放在桌面上,

從平移、旋轉(zhuǎn)、對稱幾個(gè)方面進(jìn)行擺放，看看兩個(gè)三角形有?些怎樣的特殊位置關(guān)系？并畫出這些位置

關(guān)系的代表性圖形.

4.3探索三角形全等的條件〔1〕

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷探索三角形全等的“邊邊邊”的條件的過程.

2,了解三角形的穩(wěn)定性.

3.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

三角形全等的條件.

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

尋求三角形全等的條件

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(一)、預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)回憶前面研究過的全等三角形.

(2)預(yù)習(xí)課本P157T58

(二)、學(xué)習(xí)過程

△ABCgZXA'B'C',找出其中相等的邊與角.

圖中相等的邊是：AB=A*B、BOB'C'、AC=A'C.

相等的角是：ZA=ZAZ、ZB=ZBf、ZC=ZC/.

(1)提出問題：你能畫一個(gè)三角形與它全等嗎？怎樣畫？

1提示：可以先量出三角形紙片的各邊長和各個(gè)角的度數(shù)，再作出一個(gè)三角形使它的邊、角分別和

的三角形紙片的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.這樣作出的三角形一定與的三角形紙片全等).

這是利用了全等三角形的定義來作圖.那么是否一定需要六個(gè)條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在

我們就來探究這個(gè)問題.

12）小明家衣櫥上兩塊全等的三角形玻璃裝飾物，其中一塊被打碎了，媽媽讓小明快速配一塊回

來，如果只有一把尺子，小明該怎么辦？

討論下面幾種情況：

1.給一個(gè)條件：

只給定一條邊時(shí)：

只給定一個(gè)角時(shí);

2.給出兩個(gè)條件可能是：①一邊一內(nèi)角；②兩內(nèi)角；③兩邊.

可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都保證一定全等.

給出三個(gè)條件畫三角形，你能說出有幾種可能的情況嗎？

歸納：有四種可能.即：三內(nèi)角、三條―、兩邊一內(nèi)角、兩一邊.

在剛剛的探索過程中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三內(nèi)角不能保證三角形全等.下面我們就來逐一探索其余的三種情

況.

一個(gè)三角形的三條邊長分別為6cm、8cm、10cm.你能畫出這個(gè)三角形嗎？把你畫的三角形剪下與同

伴畫的三角形進(jìn)行比擬，它們?nèi)葐幔?/p>

1.作圖方法：

先畫一線段AB,使得AB=6cm,再分別以A、B為圓心，8cm、10cm為半徑畫孤，兩弧交點(diǎn)記作C,

連結(jié)線段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它們的邊長分別為AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.

2.以小組為單位，把剪下的三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)都能夠重合.這說明這些三角形都是全等的.

這反映了一個(gè)規(guī)律：

的兩個(gè)三角形全等，簡寫為或.

用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘成的框架，它的形

狀是可以改變的.三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的__________.

例1］如圖，I、如圖，ZXABC中AB=AC,I)為BC中點(diǎn)

求證：①△ABI)g/\ACD.

@ZBA1)=ZCAI)

@AD±BC

證明：

變式訓(xùn)練：

如圖，AC=FE、BC=DE,點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，AD=FB.要用“邊邊邊”證明△ABCgZXFDE,

除了中的AC二FE,BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個(gè)條件？

AC=BD,求證：ZA=ZD

拓展延伸

推導(dǎo)以下結(jié)論，

(DZD=ZB；⑵AE〃CF.

0

2、如圖，A、E、F、C四點(diǎn)共線，BF=DE,AB=CD.

⑴請你添加一個(gè)條件，使ADECgZXBFA：

⑵在⑴的根底上，求證：DE〃BF.

3、：AB=AC,D為aABC內(nèi)部一點(diǎn)，且BD=CD.

連接AD并延長，交BC于點(diǎn)E.試找出圖中的?對全等的三角形，并證明你

的結(jié)論。

小結(jié)：

1、證明三角形全等的一般步驟：

①把非直接條件〔公共邊、公共角、對頂角，平行線，平行四邊形等圖形中的隱含條件〕轉(zhuǎn)化為

直接條件〔三角形中的對應(yīng)相等的邊或角〕

②在△—與4—中--------—

2、證明不在同一個(gè)三角形中的邊與角相等時(shí)，不要忘記證它們所在的三角形全等

4.3探索三角形全等的條件(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、探索出三角形全等的條件“ASA”和“AAS”并能應(yīng)用它們來判定兩個(gè)三角形

是否全等。

2、體會利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的過程。

3、能夠有條理的思考和理解簡單的推理過程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言說明問題。

4、敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難，并能通過合作交流解決遇到的問題。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)

掌握三角形全等條件“ASA”和“AAS”，并能應(yīng)用它們來判定兩個(gè)三

角形是否全等。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)

探索“AAS”的條件

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

如圖，在AABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，Z\ABD和4ACD全等嗎？

你能說明理由嗎？A

2、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課A

提問：一張三角形的紙片，被斯成三局部，究竟用那局部可/\

畫出原圖一樣的三角形？/\

探究練習(xí)i.BZ_I_A

兩角和它們的夾邊D0

將學(xué)生分組小組分工合作完成以下問題：

畫一個(gè)4ABC使它滿足以下條件：

第一組:ZA=90°,ZB=30°,AB=10cm

第二組：ZA=60°,ZB=45°,AB=9cm

學(xué)生動手操作，完成問題后，小組交流比擬，看看能得到什么結(jié)論？學(xué)生表述，老師板書：

對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(簡寫為或者)

探究練習(xí)2.

如果“兩角及一邊''條件中的邊是其中一角的對邊，比方三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和45’,一條邊

長為10cm,情況會怎樣呢？

(1)如果角60°所對的邊為10cm,你能畫出這個(gè)三角形嗎？

(2)如果角45。所對的邊為10cm,那么按這個(gè)條件畫出的三角形都全等嗎？

結(jié)論對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

簡寫為__________________________________

思考；假設(shè)兩個(gè)三角形具備兩角和其中一個(gè)角的對邊分別相等，哪么這兩個(gè)二角形全等，你認(rèn)為對嗎？

能舉例說明嗎？

3.舉例應(yīng)用：

例1.如圖，AO二DO,ZA0B與ND0C是對頂角，還需補(bǔ)充A.________________n口條件

—,就可根據(jù)“ASA”說明/△AOB0

△DOC；或者補(bǔ)充條件_______________=________________,就可根據(jù)

“AAS”，說明△AOB會/XDOC。（假設(shè)把“A0R0”去掉，答案又會有

怎樣的變化呢？）

CD

變式訓(xùn)練：如圖：BD=CE,n1B=NC,ZXABD與4ACE全等嗎？為什么？

>4X

一

例2、如圖，0P是NM0N的角平分線,C是0P上一點(diǎn),CA±OM,CB±ON,垂足分別為A、B；AAOC^A

BOC嗎？為什么？

M

A/P

————N

變式訓(xùn)練：B

:如圖，ABRC,"ND.試說明：Z1=Z2.人

D

二Ac

拓展延伸

如圖，AABC中，D是AC上一點(diǎn)，BE/7AC,BE-AD,AE分別交BD、BC丁,&F、G.

⑴圖中有全等三角形嗎？請找出來，并證明你的結(jié)論.C

⑵假設(shè)連結(jié)DE,那么DE與AB有什么關(guān)系？并說明理由.4

A

4.3探索三角形全等的條件［3）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、明確SAS公理的內(nèi)容，能用SAS證明兩個(gè)三角形全等。

2、通過SAS公理的運(yùn)用提高學(xué)生的邏輯思維能力，通過觀察幾何圖形培養(yǎng)學(xué)生識圖能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知

識解決實(shí)際問題的能力。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：通過動手操作得出“SAS”可以判定兩個(gè)三角形全等.

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：通過操作發(fā)現(xiàn)“兩邊及其?邊的對角對應(yīng)相等”不能成為三角形全等的條件.

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)；

一.回憶引入：

師：到目前為止，你能用咖些方法來判定三角形全等？

生：_______________________________________

師：ASA,AAS同是兩角一邊，有什么區(qū)別？

師：請看下面的圖形，Z1=Z3,BE=CF你能只添加一個(gè)條件證出AABCgADEF嗎？

二.學(xué)習(xí)過程：

提出問題：

據(jù)前面的探索過程可知，全少需要三個(gè)條件，除上述三種情況外還有哪種情況？

兩邊與一角對應(yīng)相等，可以分幾種關(guān)系？

1、兩邊及其夾角對應(yīng)相筆；

2、兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等。

我們可以通過什么途徑來驗(yàn)證以上條件能否得出全等結(jié)論？

實(shí)踐探索1：兩邊及其夾隹對應(yīng)相等

請同學(xué)們畫一個(gè)三角形，兩邊分別為20cm、16cm,且夾角為40度。

小組比擬交流圖形能否重合。a-'

nB

思考：假設(shè)改變圖中的角度和邊長也能重合嗎？

明晰：的兩個(gè)三角形全等。（或___________）

例1：小明不小心打翻了墨水，將自己所畫的三角形涂黑了.你能幫小明想想方法，畫一個(gè)與原來完

全一樣的三角形嗎？說說怎么做？

變式訓(xùn)練；

小明做了一個(gè)如下圖的風(fēng)箏，其中/EDH=/FDH,

ED=FD,將上述條件標(biāo)注在圖中，小明不用測量就能知道

EH=FH嗎？與同桌進(jìn)行交流，還有哪組線段相等？并說明理由。

實(shí)踐探索2：兩邊及其中一邊對角對應(yīng)相等

請同學(xué)們畫一個(gè)三角形，兩邊分別為20而、16cm,且一邊的白角為40度。

小組比擬交流圖形能否重合。

明晰：兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。

例2、

工人師傅把兩根鋼條AC,BD連在一起可以做成一個(gè)測量工

件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），只要量得CD的長度就可知工件

的內(nèi)徑AB是否符合標(biāo)準(zhǔn)。A

你認(rèn)為制作卡鉗需要滿足什么條件，并說明理由。

A、AO=COB、BO=DO

C、AC=BDD、AO=CO且BO=DO

例3.如圖:BC

①AB二A'B',BOB'C',那只要再知道—=—，就可以根據(jù)“SAS”

得到△ABC"B'C'.

②AB=A'Bz,ZBAC=ZB,A'C',那只要再知道—.=—，就可以根據(jù)“SAS”

得到△ABCWZ\A'B'L.

③NC=/C'，那只要再知道____=,=，就可以根據(jù)"SAS”

得到△ABCg^A，B'C'

變式訓(xùn)練：AI

如圖：假設(shè)AB=DE,BF=EC,ZB=ZE,那

ABCDEF全等嗎？/

拓展延伸

1.如圖，AB=AC,AD=AE,Zl=Z2.AABD

△ACEo

:點(diǎn)A、F、E、Cffi同一條直線上，AF=CE,

BE//DF,BE=DF.求證：AB/fCDDC

(第2題)

3、如圖，在△ABC中，NB=2NC,AD是AABC的角平分線，N1=NC,求證AC=AB+BI)

4.3探索三角形全等的條件(4)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能靈活選擇方法判定三角形全等；

2.通過獨(dú)立：思考、小組合作、展示質(zhì)疑，體會探索數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，開展合情推理能力；3.極度熱情、

高度責(zé)任、自動自發(fā)、享受成比。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用直角三角形全等的條件解決一些實(shí)際問題。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：熟練運(yùn)用直角三角形全等的條件解決一些實(shí)際問題。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

一、復(fù)習(xí)思考

（1）、判定兩個(gè)三角形全等的方法：

（2）、如圖，Rt^ABC中，直角邊是、,斜邊是

⑶、如圖，AB_LBE于B,DE_LBE于E,

①假設(shè)NA=ND,AB=DE,那么4ABC與4DEF（填“全等”或

“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）

②假設(shè)NA=ND,BC=EF,那么4ABC與ADEF（填“全等”或

“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）

③假設(shè)AB=DE,BC=EF,那么△ABC與4DEF（填“全等”或

“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）

④假設(shè)AB=DE,BC=EF,AC=DF那么aABC與（填“全等”或“不全等”）根據(jù)

［用簡寫法）

（二）學(xué)習(xí)過程:

線段a,c（a<c）和一個(gè)直角a,利用尺規(guī)作一個(gè)ABC,

使NGNa,AB=c,CB=a.

按步驟作圖：a

①作NMCN=Na=90。.

②在射線CM上截取線段CB=a.

③以B為圓心，c為半徑畫弧，交射線CN于點(diǎn)A.2

④連結(jié)AR

（2）把△AZTC'剪下來放到AABC上，觀察△A'3'C'與AABC是否能夠完全重合？

⑶歸納；由上面的畫圖和實(shí)驗(yàn)可以得到判定兩個(gè)直角三角形全等的一個(gè)方法

斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形（可以簡寫成“”或“"）

⑷用數(shù)學(xué)語言表述上面的判定方法

在RtAABC和Rt△A'8'C'中，

BC=BC'

ARtAABC^RtA

AB=

(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法“—

“"、""、""、還有直角三角形特殊的判定方法“

例1、如圖2,B、E、F、C在同一直線上，AFlBCfF,OE_L8c于

A8=DC',BE=CF,你認(rèn)為A8平行于CO嗎？說說你的埋由.

例2、：如圖在4ABC和AA'C'中，CD、C'>分別是高，并且AC=ArC',CD=C'D',ZACB

=NA'CBz。求證：△ABCgZ\A'B'C'。

變式練習(xí)

1、假設(shè)把例題中的/ACB=NA'C'B'改為AB=A'B',△ABC與△△'B'C'全等嗎？請說明思路。

變式2：假設(shè)把例題中的NACB=NA'C'B'改為BC=B'C,Z\ABC與4A'B'C全等嗎？請說明思

路。

變式3：請你把例題中的NACB=NA'C'B'改為另一個(gè)適當(dāng)條件，使△ABC與

△A，C'仍能全等。試說明證明思路。

拓展延伸：

如圖1,E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且DE_LAC于E點(diǎn)，BF_LAC于F點(diǎn)，假設(shè)AB=CD,AF=CE,BD

交AC于M點(diǎn)。(1)求證：MB=MD,ME=MF;(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動至圖2所示的位置時(shí)，其余條件不變，上

述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，給予證明。

4.4用尺規(guī)作三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解尺規(guī)作圖的含義及其歷史背景。

2、會作一個(gè)角等于角，并了解作法理由。

3、在分別給出的兩角夾邊、兩邊夾角和三邊的條件下，能夠利用尺規(guī)作三角形。

4、作線段的垂直平分線，并了解作法理由。

5、能結(jié)合三角形全等的條件與同伴交流作圖過程和結(jié)果的合理性。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：根本尺規(guī)作圖

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：作一個(gè)角等于角，作線段的垂直平分線的作法分析過程。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書169~172頁

(2)學(xué)具：圓規(guī)、直尺

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

：a

求作：AB,使AB=a

：乙a

求作：ZAOB,使NAOB=/a

(二)學(xué)習(xí)過程：

1.作一個(gè)三角形與三角形全等

(I)三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形.

：線段a,c,Zao

求作：AABC,使得BC=a,AB=c,ZABC=Za0

a

作法與過程：

I.作一條線段BC=a,

2.以B為頂點(diǎn)，BC為一邊，作角NDBC二Na；

3.在射線BD上截取線段BA=c：

3.連接AC,△ABC就是所求作的三角形。

給出示范和作法，讓學(xué)生模伉教師可以在黑板上做一次示范，讓學(xué)生跟著一起操作，并在畫完圖后,讓

學(xué)生再自己操作一遍.而在下面的作圖中，就讓學(xué)生小組內(nèi)討論、交流，通過集體的力量完成，教師再給

以一定的指導(dǎo)。

(2)三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形.

：線段Na,NB,線段c°

求作：AABC,使得NA=/Q,NB=NB,AB=C。

作法：1.作=Za；

2.在射線____上截取線段=c;

3.以為頂點(diǎn)，以為一邊，作N_____=ZP,

交于點(diǎn).△ABC就是所求作的三角形.

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，探索作圖的過程，對可以自己作出圖形的學(xué)生，要求他們在小組內(nèi)交流，用自

己的語言表述作圖過程。教師要注意提醒學(xué)生在作圖過程中，是以哪個(gè)點(diǎn)為圓心，什么長度為半徑作圖。

(3)三角形的三邊，求作這個(gè)三角形.

：線段a,b,Co

求作：AABC,使得AB=c,AC=b,BC=aa

ab

在完成三個(gè)作圖后，同學(xué)們要比擬各自所作的三角形，利用重合等直觀的方法觀察所作的三角形是否全

等。在此根底上，利用已經(jīng)獲得的三角形全等的條件來說明大家所作的三角形一定是全等的，即說明作

法的合理性。

45利用三角形全等測距禽

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能利用三角形的全等解決實(shí)際問題，體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系;

2、能在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能利用三角形的全等解決實(shí)際問題。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書173?174頁

(2)回憶：證明三角形全等的方法有哪些？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè):

①全等三角形的性質(zhì)：兩三角形全等，對應(yīng)邊_______,對應(yīng)角

②如圖：AADC^ACBA,那么,AB=

③如圖；ZXABD@ZXACE,那么,AD=

(二)學(xué)習(xí)過程：

如圖：A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測鼠A,B間的距離，但繩子不夠長。他

叔叔幫他出了一個(gè)這樣的主意：

先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C,連接AC并延長到

D,使CD=AC；連接BC并延長到E,使CE=CB；連接DE并測量出它

的長度；

(I)DE=AB嗎？請說明理由

(2)如果DE的長度是8m,那么AB的長度是多少？

變式練習(xí)：

1.如圖，山腳下有A、B兩點(diǎn)，要測出A、B兩點(diǎn)的距離。

(1)在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B點(diǎn)的點(diǎn)0,連接N

C,使AO=CO,請你能完成右邊的圖形。

(2)說明你是如何求AB的距離。

2.如圖，要量河兩岸相對兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D,使CD=BC,再作

出BF的垂線DE,使A、C、E在一條直線上，這時(shí)測得DE的長就是AB的長，試說明理由。

3.如圖，A,B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，完成以下圖并求出A、B

的距離

拓展練習(xí)：U，

如圖，四邊形ABCD中,AB〃DC,BE、CE分別平分NABC、NBCD,且點(diǎn)E在AD上。求證:BC=AB+DC。

第四章三BC角

形回憶與思考

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)進(jìn)一步了解全等圖形、全等三角形的概念和性質(zhì)：

(2)能夠識別全等三角形中對應(yīng)的元素；

(3)會正確使用全等符號標(biāo)注兩個(gè)三角形全等：

(4)能靈活運(yùn)用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”來判定三角形全等；

(5)會用三角形全等的條件推理和計(jì)算有關(guān)問題。

二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：能夠識別全等三角形中對應(yīng)的元素;靈活運(yùn)用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”來

判定三角形全等

難點(diǎn):靈活運(yùn)用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”來判定三角形全等。

三、學(xué)習(xí)過程

(-)知識回憶

1、全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的特征：大小相等，形狀相同.

3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；

全等三角形周長相等，面積相等.

4、三角形全等的判定：重疊法(定義法)，SAS,ASA,AAS,SSS,HL(RTZ\)1請根據(jù)判定方法依

次分別畫圖(圖上標(biāo)出標(biāo)記)，寫出幾何符號推理語言).

注意：(1)”分別對應(yīng)相等”是關(guān)鍵；

(2)兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；

(3)三角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

5、要證明兩條線段或兩個(gè)角相等，最常用的方法之一是利用全等三角形去證明，因此，首先篩選或構(gòu)

造恰當(dāng)?shù)娜切危顾C明的線段或角分別為這兩個(gè)三角形的對應(yīng)元素，然后證明這兩個(gè)三角形全等.

根底練習(xí)

1、選擇

(1)在八43。和AA'8'C‘中，AB=AB\ZB=ZB,補(bǔ)充條件后，仍不一定能保證

MBC=MBC\這個(gè)補(bǔ)充條件是()

(A)BC=BC,