20XX年全國高中數學青年教師展評課函數的單調性教學設計(新

疆奎屯三中)

一、教學內容解析

函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號

語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，

函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都要經歷直觀感受、文字描述和嚴格定義三

個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分

析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法

依據.

函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角

函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質和應用、解決各種問題中都有著廣

泛的應用.函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，對于進一步探索、研究函

數的其他性質有很強的啟發與示范作用.函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數

學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結

合思想的重要素材.

二、教學目標

按照教學大綱的要求，根據教材和學情，確定如下教學目標：

1.從實際問題出發，使學生通過觀察、思考，直觀感知函數的單調性.通過探究，討論

函數圖像的變化趨勢與y值隨自變量x的變化情況之間的關系.讓學生體驗“任意”二字的

含義，將圖形語言與自然語言建立聯系.在此過程中培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論

證的良好思維習慣.

2.從具體的二次函數y在區間(0,+8)上為增函數入手，通過學生對“y值隨x的

增大而增大”的逐層深入認識，將自然語言轉化為數學符號語言，教師再加以合理引導，順

利突破本課第一個難點。使學生從形與數兩方面理解增、減函數的概念，掌握運用函數圖像

和單調性的定義判斷函數單調性的方法.在此，讓學生領會數形結合的數學思想方法，經歷

從具體到抽象，從特殊到一般,從感性到理性的認知過程.

3.通過對增、減函數概念的深入挖掘，初步掌握證明函數單調性的方法與步驟，培養學

生歸納、概括、抽象的能力和語言表達能力，提高學生的推理論證能力.

三、學生學情分析

學生在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數的基礎上對函數的增減性有一個初

步的感性認識，已具備了一定的觀察事物能力和抽象思維能力，但對于感性思維向理性思維

的過渡仍有一定的障礙，對于自然語言向符號語言的轉化，學生會覺得比較困難.另外，單

調性的證明是學生在函數學習中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證

能力是比較薄弱的.

四、重、難點分析

重點：增、減函數概念的形成及單調性的初步應用.

難點：增、減函數的概念形成以及根據定義證明函數的單調性.

五、教學策略分析

本節課是函數單調性的起始課，根據新課改的教學理念，結合本節課的教學內容和學

生的認知水平，主要采用讓學生自主探究、獨立思考、合作交流、探究成果展示及教師啟發

引導的教學方式進行教學.同時使用多媒體輔助教學，增強直觀性，提高教學效果和教學質

量.

在學生的學法上我重視讓學生利用圖形直觀啟迪思維，完成從感性認識到理性思維的

質的飛躍.讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題

和分析解決問題的能力.

六、教學過程

(-)創設情境

引例

某品牌電熱水壺，燒開一壺水需要6分鐘，水開后自動斷電，50分鐘后冷卻至室溫.

(1)你能描述一下，水溫隨時間的變化時如何變化的嗎？

(2)你能用圖像表示出這種變化關系嗎？

(3)你能將“圖像的變化趨勢”與“水溫隨著時間的增加而變化”相結合起來嗎？

這是一個實際問題，在描述上述變化關系時，把定義域分成了兩個區間去研究.函數圖

像上升、下降的趨勢反應的是函數的一個基本性質-----函數的單調性.

(通過樸素的實際問題，讓學生把增、減函數的圖形語言與自然語言對應起來，同時

為理解函數的單調性是函數的局部性質打下伏筆.)

(-)自主探究

1.個人獨立完成或學習小組合作完成.

任意寫出一個函數的解析式及定義域，畫出草圖，任意列出一些自變量和相應的函數

值，將“圖像的上升、下降趨勢”與“y值隨x的變化”結合起來.

2.展示探究成果.

探究成果預設：

y=2x(xeR)y=—{x|x^O)

X<0

Xy

-3-4

-2-3

-1-2

0-1

10

21

32

-5-0.2

-4-0.25

-3-0.33

y=2x(x￡R),在(一oo,+8)上，y值隨x的增大而增大，圖像

-2-0.5

是上升的.

-1-1

y=—當xe(-8,0)時，y值隨x的增大而

-0.5-2

減小，圖像是下降的；當xe(0,+oo)時，y值也隨x的增大

而減小，圖像也是下降的.

教師追問：能不能說y的圖像在整個定義域上是下降的？

X

能不能說整個定義域上y值隨x的增大而減小？

3.教師用兒何畫板演示二次函數y=/的函數值y隨X的變

化血受化的也程，開仕總選取目義里給出相反日勺y值，讓學生冉次感

受圖像上升與y隨x的增大而增大相對應；圖像下降與y隨x的增大而減小相對應.

(三)抽象出增、減函數的定義

1.問題引導：究竟如何理解“y隨x的增大而增大”呢？

學生探討，得出“y隨x的增大而增大”可以用符號語言表示為“當當時，都有

/(王)</區)”■

函數y=Y,在xe(0,+8)上滿足，當再<*2時，/(%,)</(x2),則y=x?在

(0,+8)上是增函數.

2.一般的，對于函數y=/(x),在定義域的某個區間(a,b)上，如何說明它是增函數

呢？

讓學生歸納出增函數的定義：

一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,

如果對于定義域/內的某個區間D上的任意兩個自變量項，/，當王時，都有

/(%,)</(%2).那么就說/(x)在區間D上是增函數.

用圖像刻畫增函數.

3.對比增函數的定義，由學生歸納出減函數的定義.

一般地，設函數y=.f(x)的定義域為/,

如果對于定義域/內的某個區間D上的任意兩個自變量再，々，當當<%2時，都有

/(%,)>f(x2),那么就說y=/(x)在區間D上是減函數.

用圖像刻畫減函數。

4、函數的單調性定義

如果函數y=/(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=/(x)在這

一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y=/(x)的單調區間.

5.比較增函數、減函數的定義.

注意：

①函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

②必須是對于區間D上的任意兩個自變量再，七，沒有例外.

6、深化增、減函數的概念。

讓學生找到增(減)函數定義中的關鍵詞有哪些.

7、概念辨析

問題(1):函數y=/(x)在定義域的區間3")上有無數個自變量，/(x)的值隨自變

量x的增大而增大.能不能說明y=/(x)在區間(a,切上是增函數？

問題(2):函數y=/(x)在定義域的區間(a,/?)上有兩個自變量陽，％2,當再*；/時,

有/(項)</U2)，能不能說明y=/(x)在區間D上是增函數？

(四)例題講解

例1.課本P2s如圖，是定義在閉區間-5,5］上的函數y=/(x)的圖象，根據圖象說

出y=/(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=/(x)是增函數還減函數.

一5-2135

類型：根據函數圖象說明函數的單調性.

練習1:根據下列函數的圖像，指出其單調區間.

兩個單調遞增區間能并在一起嗎？比較以下三個函數。

例2.課本P”物理學中的玻意爾定律p=K(k正為常數)告訴我們，對于一定量的氣

V

體，當體積V減小時，壓強p將增大。試用函數的單調性證明之。

類型：根據函數單調性定義證明函數的單調性.

說明：這兩道例題介紹了

(1)判斷函數單調性的兩種方法：根據圖像觀察，根據定義證明；

(2)證明函數單調性的步驟：

①取值，并規定大小；

②作差/(芭)一/(々)，并判斷差值的正負；

③下結論.

2

練習2：證明函數/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數。

X

證明：設七，》2是(一°°，°)上的任意兩個實數，且項<%2，

則/(匹+)

X[x2X]x2xxx2

由Xi,乙e(-8,0),得x/2>0,又為<%2，x2-X1>0

于是/(%))-f(x2)>0,即/(X])>f(x2)

2

所以，函數/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數。

X

思考：對于定義域/內某個區間D上的任意兩個自變量2，％2,當王<%2時，以下條

件能判斷y=/(x)的單調性嗎？

①(X,-x2)[/(%,)-f(x2)]>0；

②(玉一x2)[/(%))-f(x2)]>0;

③------1——-——>0

/Ui)-f(x2)

④

（五）本課小結

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共

同完成小結.

①概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

②證明方法和步驟：取值并規定大小、作差并判斷差值的正負、下結論.

③數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.

（六）作業布置

1.習題L3第1,2題。

2.歸納以下函數的單調性。

y=kx+b(k*。);

y=ax1+bx+c,

1

y=_.

X

3.預習作業：

你知道二次函數的最值嗎？最值的含義是什么？

你知道什么樣的函數存在最值嗎？

（七）板書設計

課后反思：

i.給出生活實例和函數單調性的圖形語言，調動學生的參與意識，通過直觀圖形得出

結論，滲透數形結合的數學思想。問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生

興趣的開始。這里，通過問題，引發學生的進一步學習的好奇心。

2.從具體的二次函數到一般函數，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的

理解，得出函數單調性的數學語言。教師再用圖像說明，分析定義，提問等辦法，滲透數形

結合分析問題的數學思想方法。

3.通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展

的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜

悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習

氛圍的形成。

4.讓學生體驗數學知識的發生發展過程應該成為這節課的一個重要教學目標。函數的

單調性的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描

述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有

價值的數學教育載體。

函數的單調性--課堂練習單

探究：

任意寫出一個具體函數的解析式.

(1)畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢.

(2)用列表法列出一些自變量x的值，并計算出相應的y值，觀察x增大時,y值如何變化.

(3)你能不能將x增大時y值的變化情況與圖像的特征結合起來？

Xy

Xy

概念辨析：

問題(1):函