高中數學中的小概率事件

一、小概率事件的概念

在概率論中我們把概率很接近于0,（即在大量重復試驗中出現的頻率非常

低）的事件稱為小概率事件，一般多采用0.0”0.05兩個值，即事件發生的概率

在0.01以下或0.05以下的事件（PW0.05或PW0.01）,稱為小概率事件，這

兩個值稱為小概率標準。

在正態分布中。代表標準差,以代表均值x=n即為圖像的對稱軸。隨機變量出

現在期望減3倍標準差到期望加3倍標準差區間內的概率是0.9975,即3。原

則：

數值分布在（口一。口+⑴中的概率為0.6526

數值分布在（u—2ou+2o）中的概率為0.9544

數值分布在（u—3gpi+3o）中的概率為0.9974

可以認為，Y的取值幾乎全部集中在（上36口+3啊區間內，超出這個范圍

的可能性僅占不到0.3%,所以出現在此區間外的事件是小概率事件。

小概率事件發生的概率很小，那么它在一次試驗中實際幾乎不會發生，在數

學上，我們稱這個原理為小概率事件原理。小概率事件原理是概率論中具有實際

應用意義的基本理論，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少數次試驗中

小概率事件A居然發生了，就有理由認為情況不正常，事件A不應該發生。

二、小概率事件的應用

（1）直接應用小概率的臨界值

20.（12分）為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準點率，減少居

民乘車候車時間.為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進行統計.乘客候車時間受公交車準

點率、交通擁堵情況、節假日人流量增大等情況影響.在公交車準點率正常、交通擁堵情況

正常、非節假日的情況下，乘客候車時間隨機變量X滿足正態分布NS"：）?在公交車準點率

正常、交通擁堵情況正常、非節假日的情況下,調查了大量乘客的候車時間，經過統計得到如

圖頻率分布直方圖.

（1）在直方圖各組中，以該組區間的中點值代表該組中的各個值，試估計〃，小的值:

（2）在統計學中，發生概率低于千分之三的事

件叫小概率事件，一般認為，在正常情況下，一次試

驗中，小概率事件是不能發生.的.在交通擁堵情況正

常、非節假日的某.天，隨機調查了該站的10名乘客

的候車時間，發現其中有3名乘客候車時間超過15

分鐘，試判斷該天公交車準點率是否正常，說明理由.

(參考數據：M.38,V2L4=4.63,726^=5.16,

0.84137^.2898,0.84136~0.35460.15873=X).0040，0.1587^0.0006

P(〃一6<X<“+5)=0.6826P(H-28<X<〃+25)=0.9544

尸(〃—3b<X<〃+36)=0.9973)

解析：

1.1^=0.1x2+0.2x6+0,4x10+0.2x14+0.1x18=10

O2=2X(82X0.1+42X0.2)+(10-10)XQ.4=19.2

2.*0=10+4.38=14.38

設10名乘客中有3名乘客候車時間超過15分鐘的事件為A。

P(X>14.38)=(1-0.6826)/2=0.1587

P(A)=Cfo(0.1587)3(0.8413)7=0.143>0.003,所以準點率正常。

（2）利用小概率事件與不可能事件的區別

小概率事件幾乎不可能發生，但這并不說明它不會發生，只要獨立的試

驗次數無限增多，那么小概率事件就會發生，所以小概率事件不是不可能事

件。

例題:

改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為

主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用

情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A,B兩種支付方式都

不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況

如下：

付金額(1000,2000]大于2000

（元?

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,B兩種支付方式

都使用的概率；

（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這

2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；

（III）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A

的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元.根據

抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人

數有變化？說明理由.

解析：（I）由題意知，樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人，僅使用B的

學生有10+14+1=25人，A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.

故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.

所以從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的

概率估計為，上=0.4.

100

(II)次的所有可能值為0,1,2.

記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金

額大于1000元”，事件。為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生

上個月的支付金額大于1000元”.

由題設知，事件C,。相互獨立，且P(C)="^=0.4,尸(￡>)=好里=0.6,所

3025

以P(X=2)=P(C￡>)=P(C)P(￡>)=0.24,P(X=1)=P(CD\JCD)

=P(C)P(5)+P(C)P(O)=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)X0.6=0.52，

p(X=0)=P(CP)=P(C)P(P)=0.24.

所以大的分布列為

X012

P0.240.520.24

故那數學期望￡(X)=0x0.24+1x0.52+2x0.24=1.

(Ill)記事件￡為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付

金額都大于2000元”.

假設樣本僅使用A的學生中，本月支付金額大于2000元的人數沒有變化，則

由上個月的樣本數據得P(E)=4=—.

C%4060

答案示例1：可以認為有變化.理由如下：

PCE)比較小，概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生，就有理由認為

本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：

事件提隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生的，

所以無法確定有沒有變化.

此題中就是對小概率事件的不同處理態度。根據小概率事件發生的概率極小,

幾乎不可能發生，但是現在發生了，那極有可能是樣本出現了變化，因此答案1

正確。而小概率事件不是不可能事件，他可以發生，因此答案2正確。

(3)小概率事件在假設檢驗中的應用

基于小概率反證法來研究樣本間存在差異情的原因。而反證法的思路是先提

出假設檢驗，然后運用適當的統計方法來求解該檢驗成立的概率。通過概率計算

判斷，如果概率很小，是一個小概率事件，那么提出的假設就不成立。

例題:

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此

進行動物實驗，試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩

只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排

下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止

試驗，并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，

若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若

施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若

都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和B，

一輪試驗中甲藥的得分記為Xo

1.求X的分布列；

2.若甲藥、乙藥試驗開始時都賦予4分p「(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計

得分為i時，

最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Pi=0,P8=l，Pi=ap—+bpi+cpi+i

(i=l,2，…,7)

其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=1)?假設a=0.5,p=0.8.

(i)證明：例+i-0}(i=O,l,…,7)為等比數列;

(ii)求P4,并根據P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析：

(1)取7=(I-a步&T)=。-向a,=(1-aXl-向+3

所以X的分布列為；

X-101

P「一印\-^lap-a-pa-aft

(2)0)證明:a=04b=0.5,c=0.1,<i|5pt=+pM(i-1,2,-,7).

P+-P,=43-pQ.i=L2,….7,

P,+1—P,

；?3-P,}(i=O.L…,7)為等比數列.