課題：7.5曲俵/。方程（-）曲俵彳。方程

教學目標：

1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，領會“曲線的方程”

與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理

2.在形成概念的過程中，培養分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數結

合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，以及坐標法、待定系數法等常用的

數學方法

3.培養學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質，

以及主動參與、勇于探索、敢于創新的精神

教學重點：理解曲線與方程的有關概念與相互聯系

教學難點：定義中規定兩個關系（純粹性和完備性）

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教材分析：

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數”的范疇，它們通過直角坐標系

而聯系在一起，“曲線和方程”這節教材，揭示了幾何中的“形”與代數中的“數”

的統一，為“依形判數”和“就數論形”的相互轉化奠定了扎實的基礎.這正

體現了幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響.曲線與方程的相互

轉化，是數學方法論上的一次飛躍.本節教材中把曲線看成是動點的軌跡，蘊

涵了用運動的觀點看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作

曲線的代數反映，又包含了對應與轉化的思想方法

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內容，因而學生用解析法研

究幾何圖形的性質時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析

幾何學習的入門之徑.求曲線的方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應

該認識到，本節內容是解析幾何的重點內容之一

根據大綱要求，本節內容分為3個課時進行教學，具體的課時分配是：第

一課時講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關系；第二課時講解

求曲線方程的一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結、鞏固和深化本

節知識，并解決與曲線交點有關的問題。考慮到本節內容的基礎性和靈活性，

可以對課本例題和練習作適當的調整，或進行變式訓練

針對第一課時概念強、思維量大、例題習題不多的特點，整節課以啟發學

生觀察思考、分析討論為主。當學生觀察例題回答不出“為什么”時，可以舉

幾個點的坐標作檢驗，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導學生看圖，這

就是“從具體（直觀）到抽象”的方法；或引導學生回到最簡單的情形，這就

是以簡馭繁；或引導學生看（舉）反例，這就是正反對比，總之，要使啟發方

法符合學生的認知規律

教學過程：

一、復習引入：

溫故知新，揭示課題

問題：(1)求如圖所示的AB的垂直平分線的方程;

(2)畫出方程x+y=O和方程y=Y所表示的曲線

觀察、思考，求得(1)的方程為丁=%，(2)題畫圖如下

講解：

第⑴題是從曲線到方程，曲線C(即AB的垂直平分線)=點的坐標

(x,y)=方程f(x,y)=0

第(2)題是從方程到曲線，即方程f(x,y)=0=解(x,y)(即點的坐標)=＞曲

線C.

教師在此基礎上揭示課題，并提出下面的問題讓學生思考

問題：

方程f(x,y)=0的解與曲線C上的點的坐標，應具備怎樣的關系，才叫方程

的曲線，曲線的方程？

設計意圖：

通過復習以前的知識來引入新課，然后提出問題讓學生思考，創設問題情

境，激發學生學習的欲望和要求

二、講解新課：

1.運用反例，揭示內涵

由上面得出：“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的

點都在曲線上”后，不急于拋物線定義，而是讓學生判斷辨別

問題：

下列方程表示如圖所示的直線C,對嗎？為什么？

(1)y[x--Jy-0;

(2)x2-y2=0；

(3)|x|-y=O.

上題供學生思考，口答.方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線C的方程.

第(1)題中曲線C上的點不全都是方程五—J5=o的解，如點(T,T)

等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結論；

第⑵題中，盡管“曲線C上的坐標都是方程的解”，但以方程/—y2=o

的解為坐標的點不全在曲線C上，如點(2,-2)等，即不符合“以方程的解為坐

標的點都在曲線上”這一結論；

第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”，

“以方程的解為坐標的點都在曲線上”.事實上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲

線應該是下圖的三種情況：

上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例子,

又觀察、分析了以上問題中所出現的方程和曲線間所建立的不完整的對應關系.

2.討論歸納，得出定義

討論題：在下定義時，針對(1)G-6=o中“曲線上有的點的坐標

不是方程的解”以及(2)x2-y2=0中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”

的情況，對“曲線的方程應作何規定？

學生口答，老師順其自然地給出定義.這樣，我們可以對“曲線的方程”

和“方程的曲線”下這樣的定義：

在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實

數解建立了如下關系：

(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(純粹性)

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.(完備性)

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線

設計意圖：

上述概念是本課的重點和難點，讓學生自己通過討論歸納出來，老師再說

清楚這兩大性質（純粹性和完備性）的含義，使學生初步理解這個概念

3.變換表達，強化理解

曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個關于x,y的二元方程的解

可以作為點的坐標，因而二元方程的解也描述了一個點集，記作F

請大家思考：如何用集合C和點集F間的關系來表達“曲線的方程”和“方

程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述以上定義

關系（1）指集合C是點集F的子集，關系（2）指點集F是點集合C的子集.

這樣根據集合的性質，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程

的曲線”，

⑴CuE

即：一\oC=F

(2)FeC

設計意圖：

通過集合的表述，使學生對曲線和方程的關系的理解得到加深和強化，在

記憶中上也趨于簡化.

三、講解范例：

例1解答下列問題，且說出各依據了曲線的方程和方程的曲線定義中的

哪一個關系？

6點根（3,-4）,加2（-2遙,2）是否在方程為/+3；2=25的圓上?

⑵已知方程為/+；/=差的圓過點％（J7,附，求m的值.

學生練習，口答；教師糾錯、小結

依據關系（1）,可知點在圓上，“2不在圓上.

依據關系（2）,求得加=±3五

例2證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是V+y2=25.

由學生自己閱讀課本解答，教師適時插話，強調證明要緊扣定義，分兩步

進行.

給出推論，升華定義：

（1）兩曲線G：/（北歷=0,。2：△（乂）'）=0的交點的坐標必為方程組

fi(x,y)=o

的實根

f2(x,y)=0

(2)兩曲線G：y=/(x)，C2：y=o(x)的交點的橫坐標必為方程

/(%)=0(x)的實根

四、課堂練習：

1.如果曲線。上的點滿足方程/(x,y)=o,則以下說法正確的是()

A.曲線。的方程是八不力=0

B.方程尸(*,y)=0的曲線是C

C.坐標滿足方程以％。=0的點在曲線C上

D.坐標不滿足方程尸(x,舊=0的點不在曲線C上

分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：(1)曲線上的點的坐

標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；(2)以這個方

程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有

點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線

解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D

2.判斷下列結論的正誤，并說明理由.

(1)過點1(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為產0;

(2)到x軸距離為2的點的直線方程為六-2;

(3)到兩坐標軸的距離乘積等于1的點的軌跡方程為x片1;

的頂點4(0,-3),B(1,0),C(-1,0),〃為%中點，則中

線/。的方程為尸0

分析：判斷所給問題的正誤，主要依據是曲線的方程及方程的曲線的定義，

即考查曲線上的點的純粹性和完備性.

解：(1)滿足曲線方程的定義.??.結論正確

(2)因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個；尸2,即不具備完備性.

結論錯誤.

(3)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應為1x1-Iy|=1,

即x尸土1.

...所給問題不具備完備性

???結論錯誤

(4)中線是一條線段，而不是直線，

，產0(-3WK0),

二所給問題不具備純粹性.

結論錯誤.

3.方程(3A-4J^12)?[7og2(AH-2y)-3]=0的曲線經過點4(0,-3)、B(0,

57

4C(—,---)、D(4,0)中的()

34

A.0個B.1個C.2個D.3個

分析：方程表示的兩條直線3『4『12=0和戶2廠9=0,但應注意對數的真

數大于0,

戶2了>0

解：由對數的真數大于0,得戶2y>0.

.?"(0,-3)、C(己5,——7)不合要求

34

將8(0,4)代入方程檢驗，不合要求.

將〃(4,0)代入方程檢驗，合乎要求.

故選B.

4.已知點A(-3,0),B(0,V5)>C(4,-----),D(3sec夕，V5tan

3

，)，其中在曲線5--9>2=45上的點的個數為()

A.1B.2C.3D.4

分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿

足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上.

解：將點A(-3,0)、B(0,右)、C(4,-----)、D(3sec0,垂)tan

3

代入方程5/一9;/=455X2-9J2=45檢驗，只有點力和點6滿足方程.

故選B.

5.如果兩條曲線的方程￡(x,y)=0和y)=0,它們的交點材(瞼%),求

證：方程A(x,y)+A4(x,力=0表示的曲線也經過"點.(人為任意常數)

分析：只要將"點的坐標代入方程.

￡。+入K(x,0=0,看點"的坐標是否滿足方程即可

證明：..,〃(■%,外)是曲線￡(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點，

Fi(xo,ya)=0,Fi(劉,㈤=0.

Pi(xo,㈤+)U,%)=0(XGR)

MAO,%)在方程E(X,y)+AK(x,y)=0所表示的曲線上.

評述：方程F\{x,y)+\Fi(x,y)=0也稱為過曲線R(x,y)=0和E人x,y)=0的

交點的曲線系方程

五、小結：“曲線的方程”、“方程的曲