高中數(shù)學(xué)數(shù)列公式大全

一、數(shù)列的概念及表示法

1.%與￡的關(guān)系

S(〃=1),

若數(shù)列匕』的前〃項(xiàng)和為則/=,。…

￡S7-1(Z7J2).

2.已知￡求不時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分〃=1和“22兩種情

況討論，特別注意外=S-S―中需〃22.

(2)由=a推得a”當(dāng)〃=1時(shí).a：也適合“劣式”,

則需統(tǒng)一“合寫”.

(3)由5.-5…=條推得/，當(dāng)n=1時(shí).a不適合“外式”,

則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫")，即a”=

VS(〃=1),

6n—S'(〃22).

二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式

(1)an=+(〃-1)(7：

n(77—1)dn(臺(tái)+a)

(2)Sr=na,4

22

2.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a”=a#r(n-ni)d(n,"@N").

(2)若｛d｝是等差數(shù)列,且〃+/=m+/7(h/,m,〃￡N*),則

3kIaIQrr,I￡?,??.

⑶若匕』是等差數(shù)列，公差為，則｛全,｝也是等差數(shù)列，公

差為2d

(4)若｛aJ,是等差數(shù)列，則仿/+的3q￡N*)也是等

差數(shù)列.

(5)若匕/是等差數(shù)列,貝”3kf3l<+2m>，，*(k,加且成

公差為例/的等差數(shù)列.

3.與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)

⑴若匕』是等差數(shù)列，則.:也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與⑵｝

首項(xiàng)相同.公差是MJ公差的;

(2)若｛/｝是等差數(shù)列.反，S-S3T分別為匕」的前朋項(xiàng)，前

2m項(xiàng),前3%項(xiàng)的和,則￡,Sim-Sm,￡"一￡,成等差數(shù)列.

(3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì).

工若項(xiàng)數(shù)為2〃，則5潢一S百=nd,.

3臂d+i

2若項(xiàng)數(shù)為2/7—1?則S,美=(/7—1)3nfS奇=〃③,S音—S連=

5奇_n

心‘毒=一.

⑷兩個(gè)等差數(shù)列｛aJ,｛兒｝的前〃項(xiàng)和2?幾之間的關(guān)系為自

bn

=二？

4.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式為S”=na：+n'":1'd可變形為

Z,

d,,d'人dd?.2,

Sr=~n-\~a^—-\n,令/=可，B=a,—~,則粒=4〃+8〃.

乙乙z/

當(dāng)力WO,即dWO時(shí).S是關(guān)于"的二次函數(shù).(〃，S”)在二

次函數(shù)y=A^+Bx的圖象上，為拋物線y=A^+Bx上一群

孤立的點(diǎn).利用此性質(zhì)可解決前"項(xiàng)和S的最值問(wèn)題.

三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1.等比數(shù)列相關(guān)公式

⑴通項(xiàng)公式

通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的推廣

1”一m

ar=aiqa=a^q

（揭示首末兩項(xiàng)的（揭示任意兩項(xiàng)之間

關(guān)系M的關(guān)系）

（2）前〃項(xiàng)和公式

&(1—d)

(qW1)

1~Q□V.

na1(q=1)

a：—a“q

(g#1)

1-g

、/7alIq=1).

2.等比數(shù)列的單調(diào)性

設(shè)等比數(shù)列匕1的首項(xiàng)為科，公比為q.

⑴當(dāng)g＞1,a：＞0或0＜小1,a＜0時(shí)，數(shù)列匕,｝為遞增數(shù)列;

（2）當(dāng)力1,&＜0或0＜小1,臺(tái)＞0時(shí)，數(shù)列｛a｝為遞減數(shù)列;

⑶當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列MJ是（非零）常數(shù)歹打

（4）當(dāng)g=—1時(shí)，數(shù)列｛/｝是擺動(dòng)數(shù)列.

四、數(shù)列求和

1.一些特殊數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

(1)1+2+3H---卜〃=入〃5+1)；

2

(2)2+4+6+,,,+2/7=/7(/7+1)；

(3)1+3+5+…+(2r?—1)=n；

(4)1￡+22+32H--F/1)(2〃+1)；

6

(5)13+23+33H--F〃3=、2(〃+])2.

4

2.常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)

數(shù)列（〃為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法

”為非零常j

n\(n-[vk二)J1111

n(〃+Zr)My?r)~\~k

數(shù))

11，1]、

4——1J4/72—122n—12/7+L

1]

〔近+W+1J