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高中數學：圓錐曲線解答題突破!

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Xy

1.已知橢圓U萬+，=1(。＞b＞0)的左、右焦點分別為七，弓，過點尸】的直線與橢圓。交于M,N兩點QGMN

a2b2

4平

的周長為8,直線丫=碰橢圓。截得的線段長為三

(1)求橢圓。的方程；

(2)設4"是桶圖上兩動點，線段"E的中點為P，的斜率分別為小儼2(。為坐標原點)，且伙|勺=-3,

求1。戶的取值范圍.

【答案】⑴；+；-⑵im

1解析】

(1)根據題意卜―B，,■?a=2.

x2y224/

把＞'=x代入攤圓方程*+^=1得，xJ

4bz4+h

4V42

因為直線丫-x被橢圓,截得的線段長為

7

4bz菽4J47

所以1審+3=＞'解勘3，

所以橢圓，的方程為：+＞：-1.

43

(2)設府必)以，匕)，P(v,).yJ,由卜此=-：,得3*產2+外科=0,

當,1/?的斜率不存在時，，=々，yt=-y2,3x：-4y：=0,J^3xj+4yJ-12

???*；=2,這時iOP：=、Z

當A"的斜率存在時，設直線"：1'=""+小，由得卜彳士也：入屋：

(3+4火％2+8kmx+4m?-12=0,

由d＞嘛/v44+3?

^km4mz_此

X1+X2=',”,23產2=,，結合嗎、+4yM=。得

3+4〃3+4二

2m2=4八3之3②

o

k

,3x、+x22k3

由①②知m#0且mz'而，%=k%+m=2元,

,??4〃z92m2-3933

1。"|=9+幾=—2+2=---2-J=2----2N7

m4m*m4m_4m2

展

綜上的取值范圍為.；、￡

v2X21,

2.已知橢圓'：*7+尸=1（。>b>0J的離心率為/短軸長為2\,5

CD求橢圓°的方程;

（2）設過點MO用的直線,與橢圓。交于M、，V兩點，「是橢圓。的上焦點祠：是否存在直線,，使得

LM"=SdM"?若存在，求出直線/的方程；若不存在，清說明理由.

/X2

【答案】（1）彳+丁=1

C）存在直線'：6X,,盧y+4/=I域6x+、0，-4、壽=啥題意.

【解析】

（1）?r：=2，6=\口，且有1=卜2+。2,

解得J=4,/=3,

???楠圓'的方程為'：+：:1.

43

（2）由題可知’的斜率一定存在，設/為丫=心+4,設必），"（X必）,

y=h+4

y*X2n(3〃2+4)x2+24kx+36=0

聯立4+3=1

A(2+fc)Z-144(3kZ+4)>0I

24k

3",為線段4V的中點,

/.X2=2XI.....?

Qk

將④代入②解得、=-：,>+1……⑤

O

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218

將@代入⑤得，=中]4…?

,36

將⑤代入⑥解得k=于……⑦

將⑦式代入①式檢場成立，

?-?k=±；，即存在直線，：6*、：5y+4/=0或"+、5y"5=喑題意

V2

3.已知橢圖C。+正=l(a>b>0)的左，右焦點分別為點M在橢圓。上滑動，若/MFJ湎租的最大

值是1且有且僅有2個不同的點時使得為直角三角形.

(1)求橢圓’的方程；學一科網

(2)過網°』)的直線'與橢副關于點華與雌交于點<?。設6=加加="而京證：'+“為定值，并求

該定值.

/y3

t答案】(D；|+'l=1!<2)證明見解析

1解析】

(D由對稱性知，M在短軸端點時，AA巧用為化△且4M尸2=90二

1

S

=rfimAX-22c力二加=4,b=c=2，。2=8，

橢圓方程為：[+[=】?

84

(2)顯然/斜率不為0,設直線Lx=l(y-l),聯立方程組得：

?(y-l)3+2/=8=>(?+2)/-2?y+/-8=0

2?尸—8

設為(孫乃),362J])，=乃+乃=尸+2J必=；'+.

令尸=0=X=T=Q(T,0)

QA=XPA=>[=431-1)=4=—■—

升1

話:夕麗=必=—)=〃=金二

必7

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[+〃=且_+2_=2M乃-5+R=8

>1-1%-1乃乃-(乃+R+13

x2y21

4.已知橢圓0：/+廬=l(a>b>0)的焦距為2、仇且經過點｛g-?

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)斜率為k的直線，與橢圓。交于不同的兩點M、N,若橢圓上存在點P，使得四邊形OMPN為平行四邊形

(其中。是坐標原點)，求平行四邊形。MPN的面積

[答案】(1)不+/=1(2)S=Q

1解析】

(1)由題意可知橢圓的左、右焦點分別為"「、3期，七(、區°)，

又橢副經過點小M-；),所以i"J+|%|=2%

即卜尸一鄉一:二.3-廠廣+小二？.，

71

斫以2a七十2=4,即c=2,

2

又廣—。?-J=1，所以橢圖的標;隹方程為4+y^-1.

y=fcx+m

(2)設直線鈉方程為>'=kx+m,由』+/=1，消去.,得

4J

(41c2+1*+8Amz+4m2-4=0.設見”“',,

則有4=(8am'/-4(4/+l)(4m2-4)>0,即4爐+1>m2,

4m2-4

叉,+4k■

-8/fm

因為四邊形。MPN為平行四邊形，所以nr="M+DW,故,=，+\=".一，，

伙+I

-8km2m

卜(kx..+m)=h~-42m=------.

4k2+14k1+1

-Bfrm2m

所以+1療+/，

-8km2

由點.在橢圓上可得I小工」,2m2j化簡得4m2=4公+1

——%——+(一一)=1

4蝕,+1

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22-8fcm24m2-416（4lf2-mz11?1）

而（~72廣二%+々）-a產2=（￡n）-4XTH—T=--------;-------

伙+1快+1（4fc2+1）

2

,7216x3m3

又因為4nT—4K+1,所以勺）=--1―=~2,

16mm

斯以及_叼1=［「

所以IMM=、i+％x2|.

Iml

又點倒直線，的距離"

y1十A

11-------2J3|m|13

故」°MN的面積、」OMN=21MMd=八I.Q向］+.廣