Page14湖北省武漢市2024-2025學年高一數學上學期10月考試卷試卷滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則集合A真子集個數為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到，從而求出真子集個數.【詳解】，共有4個元素，故集合A的真子集個數為.故選：C2.已知集合，，則（）A.2,+∞ B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合A、B，再求.【詳解】因為函數在單減，在上單增，所以，要使函數有意義，只需，解得，所以，所以3.集合，下列不能表示從A到B函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD選項，求出值域均為集合的子集，且對每一個，有唯一確定的與其對應；C選項，求出值域不是集合的子集，故C不能表示從A到B的函數.【詳解】A選項，，當時，，且對每一個，有唯一確定的與其對應，故A能表示從A到B的函數；B選項，，當時，，且對每一個，有唯一確定的與其對應，故B能表示從A到B的函數；C選項，，當時，，故C不能表示從A到B的函數；D選項，，當時，，且對每一個，有唯一確定與其對應，故D能表示從A到B的函數；故選：C4.命題“對，”為真命題的一個充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出命題為真命題時的充要條件，然后再結合選項進行選擇即可．【詳解】因為，等價于，恒成立，設，則．所以命題為真命題的充要條件為，所以命題為真命題的一個充分不必要條件可以為a≥1．故選C．【點睛】解題的關鍵是得到命題為真命題時的充要條件，由于求的是命題為真時的一個充分不必要條件，故所選的范圍應是充要條件對應范圍的真子集，考查對充分條件、必要條件概念的理解．5.一元二次不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，一元二次不等式對任意恒成立，可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由題意可知，一元二次不等式對任意的恒成立，所以，，解得.故選：D.6.命題使得成立，若是假命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是假命題，則命題的否定為真命題，寫出命題的否定，利用分離參數的方法求解即可．【詳解】命題，使得成立，若是假命題，則命題的否定為：，成立，為真命題．所以在上恒成立，由，當且僅當時取得等號，所以.故選：A7.若正實數、滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍是（）．A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】因為正實數、滿足，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因為不等式有解，則，即，即，解得或.故選：A.8.設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，.已知函數，則函數的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據基本不等式求得，進而由高斯函數可得結果.【詳解】因為對任意，，則，即，所以函數的值域為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的為（）A.集合，若集合有且僅有2個子集，則的值為B.若一元二次不等式的解集為，則的取值范圍為C.設集合，，則“”是“”的充分不必要條件D.若正實數，，滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據各選項中的條件逐一分析，對于選項A，結合條件可知集合中只有一個元素，分類討論和兩種情況，求出的值，即可判斷A選項；對于選項B，一元二次不等式的解集為，可得，求出的取值范圍，即可判斷B選項；對于選項C，根據子集的含義和充分不必要條件的定義，即可判斷C選項；對于選項D，根據基本不等式求和的最小值，即可判斷選項D.【詳解】解：對于A，因集合有且僅有2個子集，則集合中只有一個元素，當，，符合題意；當，，綜上所述，可得，，故A選項不正確；對于B，因一元二次不等式的解集為，已知為一元二次不等式，可知，可得且，故B選項正確；對于C，當時，，當時，或，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故C選項正確；對于D，因正實數滿足，則，當且僅當，即時取等號，故D選項正確.故選：BCD.10.已知不等式的解集是，則下列四個結論中正確的是（）A.B.C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】由三個“二次”的關系可知，相應方程有兩個相等的實根，結合韋達定理就可判斷.【詳解】由題意．，∴，所以A正確；對于B：等號當且僅當，即時成立，所以B正確；對于C：由韋達定理，知，所以C錯誤；對于D：由韋達定理，知，則，解得，所以D正確；故選：ABD．11.下列選項中正確的是（）A.若，則最小值為4B.若，則的最大值為C.若，則的最小值為2D.若，且，則的最大值為7【答案】ABD【解析】【分析】A選項，直接使用基本不等式即可；B選項，變形后使用基本不等式；C選項，使用基本不等式，但不滿足等號成立的條件，C錯誤；D選項，設，則，，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，從而得到的最大值.【詳解】A選項，若，則，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故A正確；B選項，若，則，故，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，但無解，故最小值取不到，C錯誤；D選項，設，則，，則，因為，所以，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，D正確.故選：ABD【點睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時，常常需要變形，比如湊項法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用集合法，將是的必要不充分條件轉化為兩集合間真包含關系，列出關于的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】因為，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等號不同時成立，解得，所以實數的取值范圍是，故答案為:.【點睛】解決根據充分條件和必要條件條件求參數取值范圍的問題：一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的包含、相等關系，列出關于參數的不等式(組)求解.13.若函數的定義域為，則函數的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】根據抽象函數的定義域，利用替換思想求解即可.【詳解】因為的定義域為，所以，所以，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.14.已知存在，不等式成立，則實數a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】問題轉化為即可，，由，令，，問題轉化為求的最大值，根據二次函數的性質求出的最大值，從而求出的范圍即可．【詳解】若存在，不等式成立，即即可，，由，令，，問題轉化為求的最大值，而，的最大值是2，故，故，故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查函數的有解問題，一般通過變量分離，將不等式有解問題轉化為求函數的最值問題：1.有解；2.有解.四、解答題，本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）求；（2）若是的必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，利用并集和補集的概念求出答案；（2）根據必要條件得到，從而得到不等式，求出m的取值范圍.【小問1詳解】等價于，解得，，故，則或；【小問2詳解】是的必要條件，故，，，故，解得，故m的取值范圍是16.（1）已知不等式的解集為，求的最小值．（2）設不等式的解集為A，若，求實數a的取值范圍．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）為方程的兩個根，由韋達定理得到兩根之和，兩根之積，再利用基本不等式求出最小值；（2）分與兩種情況，得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】（1）由題意得為方程的兩個根，由韋達定理得，則，因為，所以，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為4；（2），當時，，解得，當時，要滿足，則，解得，故實數a的取值范圍是.17.2019年某開發區一家汽車生產企業計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，生產（百輛），需另投入成本萬元，且,由市場調研知，每輛車售價為6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.（1）求出2019年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（2）2019年年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？求出最大利潤？【答案】（1）；（2）產量為百輛時，該企業所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.【解析】【分析】（1）分與兩種情況分別求出的表達式后，將其寫成分段函數的形式即可．（2）當時，利用二次函數的性質求出的最大值，當時，利用對勾函數的性質求出的最大值，再比較即可得到的最大值和相應的的取值．【詳解】（1）當時，，當時，.綜上所述，．（2）當時，，所以當時，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減；所以當時，所以當，即年年產量為百輛時，該企業所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.18.已知．（1）當，時，求的取值范圍；（2）當，時，求時的取值集合．【答案】（1）或；（2）答案見解析；【解析】【分析】（1）根據分式的性質，利用分子常數化，轉化為基本不等式進行求解即可．（2）將分式不等式等價轉化為一元二次不等式，討論參數的取值范圍進行求解即可．【詳解】解：（1）當，時，，，當時，即，，當且僅當，即時取等號；當時，，，當且僅當，即時取等號；所以的取值范圍為或（2）當時，，即，，①當時，解集為；②當時，解集為或；③當，即，解集為；④當，即時，解集為；⑤當，即時，解集為；19.已知實數集，定義．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素個數為9，求的元素個數的最小值．【答案】（1）（2）或者.（3）13【解析】【分析】（1）根據集合的新定義直接求解即可；（2）根據可得，然后分中4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負進行討論即可；（3）分中沒有負數和中至少有一個負數兩種情況進行討論即可求解.【小問1詳解】;【小問2詳解】首先，；其次中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負.記，不妨設或者--①當時，，相乘可知，從而，從而，所以；②當時，與上面類似的方法可以得到進而，從而所以或者.【小問3詳解】估值+構造需要分