Page14一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知全集，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用Venn圖數形結合求解集合.【詳解】由，如下圖示，且，則.故選：C.2.不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】先分和兩種情況討論，當時不等式顯然成立，當時轉化為，根據分式不等式的求解方法求解，最終得到結果.【詳解】由，當時，不等式顯然成立；當時，，，解得：且.綜上，不等式的解集為.故選：D.3.由1，2，3抽出一部分或全部數字所組成的沒有重復數字的自然數集合有（）個元素A.15 B.16 C.17 D.18【答案】A【解析】【分析】根據取出的數字個數進行分類，每一類中一一列舉出來計數即可.【詳解】只取一個元素組成的沒有重復數字的自然數：共3個；只取兩個元素組成的沒有重復數字的自然數：有12，21，13，31，23，32共6個；取三個元素組成的沒有重復數字的自然數：有123，132，213，231，312，321共6個；共有種方法，即由1，2，3抽出一部分或全部數字所組成的沒有重復數字的自然數集合有15個元素，故選：A.4.命題：使的否定為（）A.不等式恒成立B.不等式成立C.恒成立或D.不等式恒成立【答案】C【解析】【分析】根據存在量詞的命題的否定方法可得結論.【詳解】命題：使的否定為恒成立或.故選：C.5.設，則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】由推出關系即可判斷充分不必要條件.【詳解】若，則，，則，所以成立.即；若，當時，，也滿足，但并不相等.故推不出.則是的充分不必要條件.故選：A.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求，代入可得結論.【詳解】令，可得，所以，故，將，代入，得，即.故選：C.7.記不等式?解集分別為、，中有且只有兩個正整數解，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，由分析知，求出集合，進而得出中有且只有兩個正整數解的等價條件，列不等式組即可求解.【詳解】由可得：或，所以或x>1，因為中有且只有兩個正整數解，所以，對于方程，判別式，所以方程的兩根分別為：，，所以，若中有且只有兩個正整數解，則即，可得，所以，當時，解得，此時，不符合題意，綜上所述：a的取值范圍為，故選：B.8.若存在，使，則的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出命題的否定為真時，的范圍，再求其補集即可.【詳解】命題存在，使的否定為，使，若，使為真，則，所以，故若存在，使則，所以的取值集合是.故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知集合，，若，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由可得，結合條件列方程求，結合元素互異性檢驗所得結果.【詳解】因為，所以，又，，所以或，解得或或，當時，，，滿足要求，當時，，，滿足要求，當時，，與元素互異性矛盾，故選：BC.10.已知關于x的不等式的解集是，其中，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得判斷A、D，再將題設轉化為，結合二次函數的性質，應用數形結合的方法判斷B、C.【詳解】由題設，解集為，∴，則，∴，，則A、D正確；原不等式可化為的解集為，而的零點分別為且開口向下，又，如下圖示，∴由圖知：，，故B錯誤，C正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：由根與系數關系得，結合二次函數的性質及數形結合思想判斷各選項的正誤.11.已知，且恒成立，又存在實數，使，則的取值可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據二次函數的性質、一元二次方程的判別式，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】解：∵，不等式對于一切實數恒成立，∴a>04-4ab≤0，即，；①又存在，使成立，則，即，得，②由①②得，即；∵，∴，∴，∴，當且僅當，即時取等號．∴的最小值為，結合選項可知AC正確，故選:AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，則_____【答案】【解析】【分析】化簡集合，，結合交集運算法則求結論.【詳解】由有意義可得，所以，當時，，所以，所以.故答案為：.13.已知關于的不等式恰有一個實數解，則的取值集合為_____【答案】【解析】【分析】結合二次函數圖象可知與直線有且僅有一個交點，利用方程判別式等于0可求.【詳解】設，則的圖象開口向上，如圖，要使關于的不等式恰有一個實數解，則函數與直線相切，即方程即有兩個相等實數根，則，解得.則的取值集合為.故答案為：.14.已知，則的最小值為_______【答案】10【解析】【分析】通過，，的幾何意義（代表直角三角形斜邊），即可求解.【詳解】可以理解為以為直角三角形斜邊，可以理解為以為直角三角形的斜邊，可以理解為以為直角三角形的斜邊，如圖所示,當三斜邊與對角線重合時，取到最小值.又,所以.故答案為：10四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知，.（1）求的取值范圍；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到“和”與“積”的不等關系，求解關于“積”的不等式可得；（2）湊積為定值的形式，將看成整體表示所求式，再利用基本不等式求最值可得；【小問1詳解】因為，所以，當且僅當即時等號成立.令，則，解得（舍去）或.所以，則.故的取值范圍是.【小問2詳解】由，得，所以，即，其中，則.當且僅當，即時等號成立.所以的最大值為.16.根據氣象部門的預報，在距離某碼頭處南偏東方向公里處的熱帶暴雨中心正以公里每小時的速度向正北方向移動，若距暴雨中心公里以內的地區都將受到影響，根據以上預報，從現在起多長時間后，該碼頭將會受到熱帶暴雨的影響？且影響的時間大約有多長？（精確到）【答案】h，1.5h【解析】【分析】設小時后熱帶暴雨中心移動到點,在中，利用余弦定理得到的不等式，解不等式得到結果.【詳解】如圖，設小時后熱帶暴雨中心移動到點,則在中，，，，根據余弦定理，得，整理得，解得：，且，.答：從現在起h后，該碼頭將會受到熱帶暴雨的影響.影響1.5h.17.已知集合,,，且,求的取值范圍.【答案】【解析】【分析】先分類討論A是否是空集，再當A不是空集時，分-2≤a＜0，0≤a≤2，a＞2三種情況分析a的取值范圍，綜合討論結果，即可得到a的取值范圍【詳解】若A=?，則a＜-2，故B=C=?，滿足CB；若A?，即a-2，由在上是增函數，得，即①當時，函數在上單調遞減，則，即，要使,必須且只需，解得，這與矛盾；②當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，要使,必須且只需，解得；③當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，要使,必須且只需，解得；綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題考查了通過集合之間的關系求參數問題，考查了分類討論的數學思想，要明確集合中的元素，對集合是否為空集進行分類討論，做到不漏解．18.已知函數的定義域為，若存在常數，，都有，則稱為上的“利普希茨”函數.（1）請寫出一個“利普希茨”函數，并給出它的定義域和值（2）若為“利普希茨”函數，試求常數的取值范圍【答案】（1），定義域，等（答案不唯一）（2）【解析】【分析】（1）根據“利普希茲條件函數”的定義求解；（2）根據“利普希茲條件函數”的定義，設，將問題轉化為恒成立求解；【小問1詳解】，定義域，等（答案不唯一）【小問2詳解】若函數是“利普希茲條件函數”，則對于定義域內的任意，都有成立，不妨設，則恒成立，因，所以，所以，所以的取值范圍是；19.已知（1）當時，不等式的解為，試求（2）若，當時，有恒成立，試求的最小值（3）設，當時，恒成立，試求的取值范圍【答案】（1）（2）時，無最小值；時，最小值為2，（3）【解析】【分析】（1）由題設的解集為，列方程組求參數即可；（2）討論與零的大小，結合不等式恒成立，分別得到、在上恒成立、在上恒成立，進而分別求出在對應情況下的最小值；（3）討論與零的大小，問題轉化為一元二次不等式恒成立，再分別求出對應的參數范圍即可；【小問1詳解】當時，解集為，所以，解得，【小問2詳解】由時，有恒成立，且，當，則恒成立，滿足題意，此時，無最小值；當，即時，恒成立，即恒成立，又在上遞減，則，故，所以，只需，當且僅當時等號