試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學沖刺練習-圓性質(zhì)綜合之求線段長度問題1．如圖，在中，，．以為圓心，為半徑作圓，交于點，交于點，是上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求線段的長．2．如圖，線段為的直徑，點C，D為上的兩點，點D平分，與相交于點E，連接，，延長至F，連接，使．(1)求證：；(2)求證：為的切線；(3)若，且，求線段的長．3．如圖，是的直徑，點為外一點，過點作于點，交于點和點，連接，與相交于點，點為線段上一點，且．(1)求證：為的切線；(2)若點為的中點，的半徑為2.5，，求的長．4．如圖，是的直徑，弦于點H，G為上的一點，連接，交線段于點F，E為的延長線上一點，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長．5．如圖，是的直徑，以為邊作交于點，且．過點作于點，延長交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．6．如圖，半圓的直徑．點在半圓上，連結(jié)，，過點作分別交，于點，，連結(jié)交于點．(1)求證：點是的中點；(2)當與相似時，求線段的長．(3)將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)到點．當點在線段上，求線段的長．7．如圖，是的外接圓，點在上．連接交于點，．(1)如圖1，求證：為的直徑；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在弧上，連接交于點，連接，若，，，求線段的長．8．如圖，為等邊的外接圓，點D在劣弧上．運動（不與重合），連結(jié)．(1)若，求的大?。?2)求證：；(3)若（m為常數(shù)），作點B關于點C的對稱點E，連接，求線段的最小值．9．已知，如圖，為的直徑，點在上，與經(jīng)過點的切線垂直，交于點，連接交于點．(1)求證：平分；(2)連接，若，，求線段的長．10．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過O作交的延長線于點D，交于點E、F是線段的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．11．如圖，線段與相切于點，的一條弦，連接，交于另一點，交于點．(1)如圖1，經(jīng)過圓心，連接，，求證：．(2)如圖2，不經(jīng)過圓心．若，，，求的長．12．如圖，已知為的直徑，與相切于點，交的延長線于點，連接，，，平分交于點，過點作于點．(1)求證：；(2)若的直徑為，求線段的長．13．如圖，在中，，連接，，，過點作，交的延長線于點，與的延長線相交于點，與相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，求線段的長．14．如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長線相交于．弦平分，交直徑于點，連接．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)若，，求線段的長．15．如圖，線段經(jīng)過的圓心O，交于A，C兩點，為的弦，連接，，連接并延長，交于點E，連接交于點F．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學沖刺練習-圓性質(zhì)綜合之求線段長度問題》參考答案1．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵；（1）連接，根據(jù)，，可得，根據(jù)可得，進而得出，即可得證；（2）設與交于點，得出，在中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）連接，，，，又，，，點在上，為的切線；（2）設與交于點，，，，，，在中，，，，．2．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）由點D平分可知，得，由，可知，則，即可證得結(jié)論；（2）由（1）可知，可知，進而可知，則，即可證得結(jié)論；（3）延長交于，連接，先證，得，進而求得，則，，，，則，再證，得，設，則，，列出方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵點D平分，則，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）可知，∴，∵，∴，則，∴為的切線；（3）解：延長交于，連接，∵，∴，∴，∵，∴，則，，∴，，則，由圓周角定理可知，，，∴，∴，設，則，，∴，解得：（負值舍去），∴．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，平行線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關圖形的性質(zhì)，添加輔助線構造相似三角形是解決問題的關鍵．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的性質(zhì)與切線的判定定理，勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．（1）由題意連接，得出，進一步得出即，由此可證為的切線；（2）連接，，先得出，，以及，，進一步得出，勾股定理得出，最后即可得出的長．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）連接，，∵是直徑，的半徑為2.5，∴，，∵，，，∴，，∵，∴，，∵點為的中點，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．4．(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由得到，然后結(jié)合得到，即可證明；（2）求出，，利用解直角三角形求出，得到，，連接，證明出，得到，然后代數(shù)求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵∴∵∴∵∴∴∵是半徑∴是的切線；（2）解：∵的半徑為5，∴∴∵∴，∴∴，如圖所示，連接∵∵是的直徑，∴∴又∵∴∴，即∴（負值舍去）∴∴∵∴∴∴（負值舍去）∴．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．5．(1)見解析(2)【分析】（1）連接．由等邊對等角得出，，等量代換可得出，即可得出，由平行線的性質(zhì)即可得出．（2）連接，．由直徑所對的圓周角等于90度以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再由正切的定義得出，由勾股定理得出，進而可求出，，．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵是半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，．∵為的直徑，∴，．又∵，，∴點是的中點，．∴，∴，在中，，∴．∴，解得．∴．∴．【點睛】本題主要考查了圓的切線證明，等邊對等角，平行線的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角等于90度，等腰三角形三線合一，平行線截線段成比例定理，正切的定義等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）利用圓周角定理得到，利用平行線的性質(zhì)和垂徑定理解答即可得出結(jié)論；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到，利用同圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（3）畫出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，，設，則，，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，，再利用勾股定理列出方程解答即可．【詳解】（1）證明：∵是半圓O的直徑，，．，，，點是的中點；（2）解：當與相似時，分兩種情況：①當時，不符合題意，舍去．②當時，，，，，，，，，．即線段的長為；（3）解：如圖：由(1)知，，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，．在和中，，，，．由①得：，，為的中位線，．設，則，．，，，．．，，，解得：或(負數(shù)不合題意，舍去)，．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握圓的有關性質(zhì)是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，即可證明；（2）根據(jù)圓周角定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理推出，，即可得出結(jié)論；（3）過點B作，垂足為，過點O作，垂足為，連接，根據(jù)，先證明，由圓周角定理，解直角三角形求出的半徑，利用勾股定理建立方程求出，，，，再利用三角形面積公式求出，進而求出，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，進而即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，即,∴為的直徑；（2）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：過點B作，垂足為，過點O作，垂足為，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，設，則，∴在中，，即，整理得：，解得：或（舍去），∴，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得：（負值舍去），∴，在中，，在中，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，∴．【點睛】此題考查圓綜合題，圓周角定理，解直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造直角三角形，記住一些基本圖形、基本結(jié)論．8．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求解；（2）在線段上取點P，使，可得是等邊三角形，從而得到，，進而得到，可證明，從而得到，即可；（3）連接并延長，交于點G，連接，當點位于上時，最小，過點作于點F，過點作于點，設，則，，，，，，由，解得：，，則，在中，由勾股定理得，，代入解得：，則，．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴；（2）證明：如圖，在線段上取點P，使，∵是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：連接并延長，交于點G，連接，當點位于上時，最小，過點作于點F，過點作于點，設，∴∵，∴，，∴，則在由勾股定理得，，∴，∴則在中，由勾股定理得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，，∴，在中，由勾股定理得，，代入解得：，∴而，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，計算復雜，難度較大．9．(1)見解析(2)2【分析】（1）由DC是的切線，，證明，可得，由，證明，從而可得結(jié)論；（2）設，則，然后得到，，證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點G是的切線，，平分；（2）設∴∵∴∴，∴，即∵為的直徑，∴又∵∴∴，即解得或（舍去）∴．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．10．(1)見解析(2)【分析】（1）證明，則，由是的半徑即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，證明，求出，再證明，求出，由，代入即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵為的直徑∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點是的中點，，∴．【點睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．11．(1)詳見解析(2)【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，平行的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．（1）證明，，再根據(jù)，即可得到結(jié)論；（2）設與相交于點，連接，根據(jù)三角函數(shù)得到，設，則，在中，，即，解得的值即可得到答案．【詳解】（1）證明：，．，．，．，，；（2）解：如圖，設與相交于點，連接．，．，．在中，設，則．，．在中，，即，解得，（舍去），．，．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用圓周角定理可得，最后根據(jù)等角對等邊，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是度可得，從而利用（1）的結(jié)論可得，再利用角平分線的定義可得，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖：與相切于點，，，，，，；（2）解：為的直徑，，，的直徑為，，平分，，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，，在中，，（負值已舍）．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解答本題的關鍵．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）由結(jié)合半徑相等，可證出，從而得出四邊形是菱形，由，，可得出，得出是切線；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求出、，進而在中，由勾股定理求出，再根據(jù)，可得，進而得到即可．【詳解】（1）如圖，連接，，，∴，，∴、是等邊三角形，，四邊形是菱形，∴，又，，是的切線；（2）由（1）得，，，在中，，，，，在中，由勾股定理得，，∵，∴，，又，，，，即．14．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，而，則可判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得到平分；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得出，根據(jù)余角的性質(zhì)可得出，然后根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)等角對等邊即可得證；（3）連接，證明，根據(jù)，求出，證明，得出，根據(jù)，得出，設，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接．，．是的切線，，，．．即平分．（2）證明：是直徑，，又，．又，，．．．（3）解：連接．，．又是直徑，．，．，，．又，．設，則，在中，，解得，．，，．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．