試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學沖刺練習：利用矩形的性質求角度1．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，，，且∠ABC=90°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度數；②四邊形ABCD的面積．2．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD.(1)求證：AB＝AF；(2)若AG＝AB，四邊形ACDF為矩形，試求出∠BCD的度數？3．如圖，在矩形ABCD中，以點D為圓心，DA長為半徑畫弧，交CD于點E，以點A為圓心，AE長為半徑畫弧，恰好經過點B，連結BE、AE．求∠EBC的度數．4．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，于點，于點．（1）求證：．（2）若，求的度數．5．如圖，長方形中，點、的坐標分別為、，點為中點；(1)尺規作圖：請作出的角平分線，交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求直線的函數表達式；(3)在線段上是否存在一點P使最小，若存在求出此時的最小值；若不存在請說明理由．6．如圖，已知四邊形是矩形，為對角線．(1)把繞點C順時針旋轉一定角度得到，點A的對應點為E，且在的延長線上，點B的對應點為F，請你在圖中作出．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的大小．7．如圖，在矩形中，對角線相交于點O，，交于F，垂足為E，求的度數．

8．如圖，將矩形繞點旋轉得到矩形，點在上，延長交于點.(1)求證：；(2)連接，若，求的度數．9．如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接，．(1)求證：；(2)當四邊形是矩形時，若，求的度數．10．如圖，直線交軸于A點，交x軸于C點，以A，O，C為頂點作矩形AOCB，將矩形AOCB繞O點逆時針旋轉，得到矩形DOFE，直線AC交直線DF于G點．(1)求直線DF的解析式；(2)求證：OG平分；(3)在第一象限內，是否存在點H，使以G，O，H為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在請求出點H的坐標；若不存在，請什么理由．11．如圖，在矩形ABCD中，E為CD上一點，將沿直線AE翻折，使點D落在BC邊上點處（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，F為AD上一點，且，EF與BD相交于點G，試探究EF與BD的位置關系，并說明理由；（3）設與BD相交于點H，在的條件下，若，，求BD的長．12．如圖1，四邊形是一張長方形紙片，E為BC的中點，F為上一個動點，將紙片沿折疊后，點C、D分別落在、的位置上．（1）在圖1中，與交于點G，若，請你求出的度數．（2）在圖2中，與交于點H，試求的度數．（3）折疊后，得到的重合部分的圖形能否是等邊三角形？若能，直接寫出的度數；若不能，說明理由．13．在矩形中，，是的中點，點是上一點，連接，過點作交于點，連接．(1)如圖（1），點在上運動時的大小是否改變？請說明理由．(2)如圖（2），連接，若，交于點，，，求的值．14．在矩形中，對角線，交于點O，．以為邊作正方形，與交于點P，如圖1所示．(1)求的大小；(2)將正方形繞點O逆時針旋轉得到正方形，與矩形的邊交于點Q，①如圖2，當時，連接，直接寫出的大小；②如圖3，當與不垂直時，連接，試探究的大小；(3)若，求的長．15．【問題探究】（1）如圖1，在矩形中，點E在上，連接，，則的度數為________；（2）如圖2，在中，，點D是上一點，連接，，延長到點E，使得，在下方作，連接，，若，求證：；【問題解決】（3）李師傅有一個如圖3所示的平行四邊形板材，點E是上一點，，連接，點O是的對稱中心，連接并延長交于點F，，作平分交于點G，連接，交于點M，過點M作交于點N，現李師傅要裁出三角形部件和三角形部件，根據使用要求三角形部件的面積與三角形部件的面積要相等．李師傅裁出的三角形部件和三角形部件是否滿足使用要求？并說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學沖刺練習：利用矩形的性質求角度》參考答案1．（1）見解析；（2）①60°，②.【分析】（1）根據AO=CO，BO=DO可知四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，可證四邊形ABCD是矩形（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四邊形ABCD的面積，同時利用矩形的性質，對角線相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC【詳解】解：（1）證明：∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×=【點睛】本題考查了矩形的判定及性質定理的應用，會靈活運用是解題的關鍵.2．（1）見解析；（2）120°.【分析】（1）只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題；（2）只要求出∠ADC=60°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCF，∵G是AD的中點，∴GA=GD，又∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）∵四邊形ACDF是矩形∴AG=GD=FG=CG∵AB=AG，AB=CD∴GD=CD=GC∴△GCD是等邊三角形∴∠GDC=60°∵AD∥CB∴∠BCD=180°-∠GDC=120°【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.3．22.5°【分析】根據題意可得AD=DE，AE=AB，再根據矩形的性質可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，然后根據等腰三角形的性質分別算出∠DAE和∠EAB，再根據叫的和差關系可得答案．【詳解】解：由題意得：AD=DE，AE=AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，∵AD=DE，∴∠DAE=45°，∴∠EAB=45°，∵AE=AB，∴∠EBA=∠AEB==67.5°，∴∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°．考點：矩形的性質；等腰直角三角形4．（1）見解析；（2）18°【分析】（1）根據四邊形ABCD是矩形得出OA=OD，再證△AEO≌△DFO（AAS），即可得出結論．（2）由矩形的性質得出∠BAD=90°，OA=OB，則∠OAB=∠OBA，結合已知求出∠BAE=36°，則∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴，AC=BD；∴OA=OD∵AE⊥BD于點E，DF⊥AC于點F，∴∠AEO=∠DFO=90°，在△AEO和△DFO中，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE=DF，（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠BAE：∠EAD=2：3，∴∠BAE=36°，∵∠AEB=90°∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握矩形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．5．(1)見解析(2)(3)存在；【分析】（1）根據尺規作角平分線的步驟作圖即可；（2）先求出點、點的坐標，然后用待定系數法求函數的表達式即可；（3）作點關于直線的對稱點；連接，交于點；此時三點共線，的值最小；【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：如圖，作直線；∵平分∴在矩形中，∴∴是等腰直角三角形，∵點的坐標為∴∴∵點為中點∴設直線的函數表達式為：將、代入得：解得：∴直線的函數表達式為：（3）解：存在；如圖，作點關于直線的對稱點；連接，交于點；則∴故當三點共線時，的值最小此時∵平分，點的坐標為∴點的坐標為∵∴即：的最小值為【點睛】本題考查了尺規作角平分線、矩形的性質、求一次函數的表達式、線段的最值問題；熟練運用待定系數法求一次函數表達式、用軸對稱的性質轉化線段是解題的關鍵．6．(1)圖見解析(2)【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）利用等腰三角形的三線合一的性質證明，再利用平行線的性質求出，可得結論．【詳解】（1）如圖，即為所求：

（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了作圖—旋轉變換、矩形的性質和等腰三角形的三線合一的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．7．【分析】根據矩形性質可得，再結合可得;再說明，進而得到，最后根據角的和差即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，求得是解答本題的關鍵．8．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據矩形的性質得出，，根據旋轉的性質得出，，再證明即可；（2）根據矩形的性質得出，由全等三角形的性質得出，再計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，由旋轉性質，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數為．【點睛】本題考查矩形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，正確得出全等是解題的關鍵．9．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定，等腰三角形的性質等知識，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．（）由四邊形是平行四邊形，得，即，根據平行線的性質得，又點是邊的中點，所以，然后由三角形的判定方法即可求證；（）由四邊形為矩形，則，，，則，然后由三角形的外角性質和等腰三角形的性質得，再通過平行四邊形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，∵點是邊的中點，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴的度數為．10．(1)(2)見解析(3)存在點H，使以G，O，H為頂點的三角形為等腰直角三角形，點H的坐標是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．【分析】（1）首先根據直線交y軸于A點，交x軸于C點，可得A點的坐標是（0，1），C點的坐標是（2，0）；然后根據將矩形繞O點逆時針旋轉，得到矩形，可得F點的坐標是（0，2），D點的坐標是（﹣1，0）；最后應用待定系數法，求出直線DF的解析式即可．（2）首先作，交于點M，作，交于點N，再判斷出；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出，所以平分，據此解答即可．（3）存在點H，使以G，O，H為頂點的三角形為等腰直角三角形．根據題意，分三種情況：①當時；②當時；③當時；然后根據等腰直角三角形的性質，分類討論，求出所有滿足題意的點H的坐標是多少即可．【詳解】（1）∵直線交y軸于A點，交x軸于C點，∴A點的坐標是，C點的坐標是，∵將矩形繞O點逆時針旋轉，得到矩形，∴F點的坐標是，D點的坐標是，設直線的解析式是，，解得，∴直線DF的解析式是：．（2）如圖1，作OM⊥DF，交DF于點M，作ON⊥CG，交CG于點N，，在和中，（HL），又，，在和中，（HL），，平分．（3）存在點H，使以G，O，H為頂點的三角形為等腰直角三角形．聯立解得∴點G的坐標是，∴，∴OG所在的直線的斜率是：，①如圖2，，當時，設點H的坐標是，則解得∴點H的坐標是．②如圖3，，當時，設點H的坐標是，則解得∴點H的坐標是．③如圖4，，當時，設點H的坐標是，則解得∴點H的坐標是（0.4，0.8）．綜上可得，存在點H，使以G，O，H為頂點的三角形為等腰直角三角形，點H的坐標是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．【點睛】本題考查了一次函數綜合題、等腰直角三角形的性質和應用、待定系數法求直線解析式以及全等三角形的判定和性質的應用，熟練掌握性質定理以及數形結合思想是解題的關鍵．11．（1）見解析

（2）見解析

（3）【分析】（1）可利用矩形的性質及同角的余角相等，通過證明兩組角相等證得三角形相似；（2）通過解直角三角形利用相等線段的轉換求得，進而求解EF與BD的位置關系時垂直；（3）利用，根據，可得四邊形是矩形，進而得，令，，根據≌，得，再根據∽求得，，根據∽，求得，再代入，進而求解．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，，，由折疊的性質可知：，，，∽；（2）解：，理由：在中，，，，，，，，，，即；（3）解：，，，，四邊形是矩形，，令，，≌，，，∽，：：EC，：：a，即，，∽，：：，：：b，，，，解得，舍去，．【點睛】本題主要考查矩形的性質，折疊與對稱的性質，相似三角形的性質與判定，解直角三角形的知識的綜合運用．解題時能正確尋找相似三角形解決問題是關鍵．12．（1）65°；（2）90°；（3）60°或120°【分析】（1）由對頂角可知∠EGF=50°，根據平行線的性質和折疊的性質得到∠GFE=∠GEF，再根據三角形內角和求解即可；（2）過點C′作C′M∥AD，根據平行線的性質可得∠AHC′=∠MC′H，∠C′EB=∠MC′E，再由折疊的性質可得∠D′C′E=∠C=90°，即可得到結果；（3）分當AF＞DF時，當AF＜DF時，兩種情況分別求解．【詳解】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠GFE=∠CEF，∵∠AGC′=50°，∴∠EGF=50°，由折疊的性質可得：∠GEF=∠CEF，∴∠GFE=∠GEF，∴∠AFE=（180°-∠EGF）÷2=65°；（2）過點C′作C′M∥AD，可得：C′M∥BC，∴∠AHC′=∠MC′H，∠C′EB=∠MC′E，由折疊可知：∠D′C′E=∠C=90°，∴∠AHC′+∠C′EB=∠MC′H+∠MC′E=∠D′C′E=90°；（3）當AF＞DF時，∵△EFG為等邊三角形，∴∠FEG=60°，由折疊的性質可得：∠FEC=∠FEG=60°；當AF＜DF時，∵△EFG為等邊三角形，∴∠FEG=60°，∴∠FEC=180°-60°=120°，綜上：重合部分的圖形能是等邊三角形，∠FEC的度數為60°或120°．【點睛】本題考查了折疊問題，等邊三角形的性質，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握性質定理，結合折疊的性質解決問題．13．(1)不變，理由見解析(2)【分析】（1）根據，可知，，，四點共圓，可得；（2）根據同角的余角相等可得，則，再利用兩個角相等證明∽，得，設，則，代入解方程即可．【詳解】（1）解：不變，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，，四點共圓，，的大小不改變．（2）解：，，，，，，，，，，又，∽，，設，則，，，，