PAGEPAGE10第八節離散型隨機變量的均值與方差2024考綱考題考情1．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。(2)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差。2．均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b。(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)。3．兩點分布與二項分布的均值、方差XX聽從兩點分布X～B(n，p)E(X)p(p為勝利概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)1．均值E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態。2．已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可干脆按定義(公式)求解。若所給隨機變量聽從兩點分布或二項分布等，則可干脆利用它們的均值、方差公式求解。一、走進教材1．(選修2－3P68A組T1改編)已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1解析E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3)。故選A。答案A2．(選修2－3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產中出現的廢品數分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是________。解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1。E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因為E(Y)<E(X)，所以乙技術好。答案乙二、走近高考3．(2024·浙江高考)設0<p<1，隨機變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當p在(0,1)內增大時()A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小解析由題可得E(ξ)＝eq\f(1,2)＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，所以當p在(0,1)內增大時，D(ξ)先增大后減小。故選D。答案D三、走出誤區微提示：①期望、方差的性質不熟導致錯誤；②二項分布的數學期望公式用法不當；③求錯分布列，導致E(ξ)出錯。4．已知兩個隨機變量X，Y滿意X＋2Y＝4，且X～N(1,22)，則E(Y)，D(Y)依次是________。解析由X～N(1,22)得E(X)＝1，D(X)＝4。又X＋2Y＝4，所以Y＝2－eq\f(X,2)，所以E(Y)＝2－eq\f(1,2)E(X)＝eq\f(3,2)，D(Y)＝eq\f(1,4)D(X)＝1。答案eq\f(3,2)，15．在一次聘請中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題。乙能正確完成每道題的概率為eq\f(2,3)，且每道題完成與否互不影響。記乙能答對的題數為Y，則Y的數學期望為________。解析由題意知Y的可能取值為0,1,2,3，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，則E(Y)＝3×eq\f(2,3)＝2。答案26．某學生在參與政治、歷史、地理三門課程的學業水平考試中，取得A等級的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且三門課程的成果是否取得A等級相互獨立。記ξ為該學生取得A等級的課程數，則ξ的數學期望E(ξ)的值為__________。解析ξ的可能取值為0,1,2,3。因為P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(37,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(58,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(24,125)，所以E(ξ)＝0×eq\f(6,125)＋1×eq\f(37,125)＋2×eq\f(58,125)＋3×eq\f(24,125)＝eq\f(9,5)。答案eq\f(9,5)

考點一離散型隨機變量的均值【例1】(2024·貴陽監測)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經過這兩條路徑所用的時間互不影響，且經過L1和L2所用時間的頻率分布直方圖分別如圖①和②。現甲選擇L1或L2在40分鐘內從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內從A地到B地。(1)求圖①中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到B地，甲和乙應如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到B地的人數，針對(1)中的選擇方案，求X的分布列和數學期望。解(1)(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1，解得a＝0.03，用Ai表示甲選擇Li(i＝1,2)在40分鐘內從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i＝1,2)在50分鐘內從A地到B地，則P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲應選擇L1。又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙應選擇L2。(2)用M，N分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時間內趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值為0,1,2。由題意知，M，N相互獨立，所以P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54，所以X的分布列為X012P0.040.420.54所以E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5。求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的全部可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算。【變式訓練】隨著網絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化。某調查機構隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網購，2名傾向于選擇實體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網購，3名傾向于選擇實體店。(1)若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率；(2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網購的男性購物者的人數，求X的分布列和數學期望。解(1)設“隨機抽取2名，其中男、女各一名，至少1名傾向于選擇實體店”為事務A，則eq\o(A,\s\up6(－))表示事務“隨機抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網購”，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25)。(2)X全部可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)。所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10)。考點二二項分布的均值與方差【例2】(2024·陜西質檢)為了解共享單車在A市的運用狀況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中隨機抽取了200人進行分析，得到如下列聯表(單位：人)。常常運用間或運用或不運用合計30歲及以下703010030歲以上6040100合計13070200(1)依據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為A市運用共享單車的狀況與年齡有關？(2)①現從所選取的30歲以上的網友中，采納分層抽樣的方法選取10人，再從這10人中隨機選出3人贈送實惠券，將頻率視為概率，求選出的3人中至少有2人常常運用共享單車的概率；②將頻率視為概率，從A市全部參與調查的網友中隨機選取10人贈送禮品，記其中常常運用共享單車的人數為X，求X的數學期望和方差。參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d。參考數據：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解(1)由列聯表可知，K2＝eq\f(200×70×40－60×302,130×70×100×100)≈2.198。因為2.198>2.072，所以能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為A市運用共享單車的狀況與年齡有關。(2)①依題意，可知所選取的10名30歲以上的網友中，常常運用共享單車的有10×eq\f(60,100)＝6人，間或運用或不運用共享單車的有10×eq\f(40,100)＝4人。則選出的3人中至少有2人常常運用共享單車的概率P＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3)。②由列聯表可知選到常常運用共享單車的網友的頻率為eq\f(130,200)＝eq\f(13,20)，將頻率視為概率，即從A市全部參與調查的網友中隨意選取1人，恰好選到常常運用共享單車的網友的概率為eq\f(13,20)。由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(13,20)))，所以E(X)＝10×eq\f(13,20)＝eq\f(13,2)，D(X)＝10×eq\f(13,20)×eq\f(7,20)＝eq\f(91,40)。二項分布的期望與方差1．假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計算量。2．有些隨機變量雖不聽從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量聽從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)。【變式訓練】電子商務在我國發展迅猛，網上購物成為許多人的選擇。某購物網站組織了一次促銷活動，在網頁的界面上打出廣告：高級口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味)。小王點擊進入網頁一看，只見有許多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見詳細口味，由購買者隨機點擊進行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶，且各種口味的瓶數相同，每點擊選擇一瓶后，網頁自動補充相應的口香糖)。(1)小王花10元錢買三瓶，請問小王收到貨的組合方式共有多少種？(2)小王花10元錢買三瓶，由小王隨機點擊三瓶，請列出有小王喜愛的草莓味口香糖的瓶數ξ的分布列，并計算其數學期望和方差。解(1)若三瓶口味均不一樣，有Ceq\o\al(3,8)＝56(種)；若其中兩瓶口味一樣，有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,7)＝56(種)；若三瓶口味一樣，有8種。故小王收到貨的組合方式共有56＋56＋8＝120(種)。(2)ξ全部可能的取值為0,1,2,3。因為各種口味的高級口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數相同，有8種不同口味，所以小王隨機點擊一次是草莓味口香糖的概率為eq\f(1,8)，即隨機變量ξ聽從二項分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8)))。P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))3＝eq\f(343,512)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))2＝eq\f(147,512)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))1＝eq\f(21,512)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))0＝eq\f(1,512)。所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(343,512)eq\f(147,512)eq\f(21,512)eq\f(1,512)數學期望E(ξ)＝np＝3×eq\f(1,8)＝eq\f(3,8)，方差D(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,8)×eq\f(7,8)＝eq\f(21,64)。考點三均值與方差在實際決策中的應用【例3】(2024·廣東六校聯考)某市大力推廣純電動汽車，對購買用戶依照車輛出廠續駛里程R(單位：千米)的行業標準，予以地方財政補貼，其補貼標準如下表：出廠續駛里程R/千米補貼/(萬元/輛)150≤R<2503250≤R<3504R≥3504.52024年底某部門隨機調查該市1000輛純電動汽車，統計其出廠續駛里程R，得到頻率分布直方圖如圖所示，用樣本估計總體，頻率估計概率，解決如下問題：(1)求該市每輛純電動汽車2024年地方財政補貼的均值；(2)某企業統計2024年其充電站100天中各天充電車輛數，得如下頻數分布表：車輛[5500,6500)[6500,7500)[7500,8500)[8500,9500]天數20304010(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)2024年2月，國家出臺政策，將純電動汽車財政補貼逐步轉移到充電基礎設施建設上來，該企業擬將轉移補貼資金用于添置新型充電設備。現有直流、溝通兩種充電樁可供購置，直流充電樁5萬元/臺，每臺每天最多可以充電30輛車，每天維護費用500元/臺；溝通充電樁1萬元/臺，每臺每天最多可以充電4輛車，每天維護費用80元/臺。該企業現有兩種購置方案：方案一，購買100臺直流充電樁和900臺溝通充電樁；方案二，購買200臺直流充電樁和400臺溝通充電樁。假設車輛充電時優先運用新設備，且充電一輛車產生25元的收入，用2024年的統計數據，分別估計該企業在兩種方案下新設備產生的日利潤(日利潤＝日收入－日維護費用)。解(1)依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為補貼/(萬元/輛)344.5概率0.20.50.3所以該市每輛純電動汽車2024年地方財政補貼的均值為3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(萬元)。(2)由頻數分布表得每天須要充電車輛數的分布列為輛數6000700080009000概率0.20.30.40.1若采納方案一，100臺直流充電樁和900臺溝通充電樁每天可充電車輛數為30×100＋4×900＝6600，可得實際充電車輛數的分布列為實際充電車輛數60006600概率0.20.8于是估計方案一下新設備產生的日利潤為25×(6000×0.2＋6600×0.8)－500×100－80×900＝40000(元)。若采納方案二，200臺直流充電樁和400臺溝通充電樁每天可充電車輛數為30×200＋4×400＝7600，可得實際充電車輛數的分布列為實際充電車輛數600070007600概率0.20.30.5于是估計方案二下新設備產生的日利潤為25×(6000×0.2＋7000×0.3＋7600×0.5)－500×200－80×400＝45500(元)。隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據。一般先比較均值，若均值相同，再用方差來確定。【變式訓練】某投資公司在2024年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車。據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種狀況發生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項目二：通信設備。據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種狀況發生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)。針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由。解若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)所以E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(萬元)。若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)所以E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(萬元)。D(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，D(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000。所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩妥。綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協作例1運用)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個指標，為了了解某市空氣質量狀況，從去年每天的PM2.5值的數據中隨機抽取40天的數據，其頻率分布直方圖如圖所示。現將PM2.5的值劃分為如下等級PM2.5值[0,100)[100,150)[150,200)[200,250]等級一級二級三級四級用頻率估計概率。(1)估計該市在下一年的360天中空氣質量為一級天氣的天數；(2)在樣本中，依據分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數據，再從這8個數據中隨機抽取5個，求一級、二級、三級、四級天氣都有的概率；(3)假如該市對環境進行治理，治理后經統計，每天PM2.5值X近似滿意X～N(115,752)，則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？解(1)由樣本空氣質量PM2.5的數據的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表：PM2.5值[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]頻率0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，假如該市維持現狀不變，則該市下一年的某一天空氣質量為一級天氣的概率為0.25，因此在360天中約有360×0.25＝90天。(2)在樣本中，依據分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數據，則這8個數據中一級、二級、三級、四級天氣的數據分別有2個、3個、2個、1個。從這8個數據中隨機抽取5個，則這四種天氣都有三種狀況：一級天氣的數據有2個，其余的均為1個；二級天氣的數據有2個，其余的均為1個；三級天氣的數據有2個，其余的均為1個。共有的狀況有：Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,1)＝24種。而從8個數據中隨機抽取5個，有Ceq\o\al(5,8)＝56種狀況。故所求概率為eq\f(24,56)＝eq\f(3,7)。(3)假如該市維持現狀不變，則該市的PM2.5值的均值約為E(Y)＝25×0.125＋75×0.125＋125×0.375＋175×0.25＋225×0.125＝131.25。假如該市對環境進行治理，則該市的PM2.5值X的均值為E(X)＝115，因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25。2．(協作例3運用)某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件。假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準。(1)已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數學期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：eq\a\vs4\al(3533855634,6347534853,8343447567)用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望。(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為推斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由。注：①產品的“性價比”＝產品的等級系數的數學期望/產品的零售價；②“性價比”大的產品更具可購買性。解(1)因為E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＋7b＝3.2，,a＋b＝0.5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.2。))(2)由已知，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙廠產品的等級系數X2的數學期望等于4.8。(3)乙廠的產品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產品的等級系數的數學期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為eq\f(6,6)＝1；因為乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為eq\f(4.8,4)＝1.2。又1.2>1，所以乙廠的產品更具可購買性。概率統計綜合問題是高考應用型問題，解決問題須要經驗收集數據、整理數據、分析數據、處理數據、得出有用的結論幾個困難過程。假如這幾個過程書寫步驟缺失則會造成丟分；假如數據處理不當則會陷入浩大的數據運算中，因此解決這類問題首先須要依據題目條件提取有用數據，然后依據統計思想對數據進行相關處理、運算，并依據肯定的書寫步驟精確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述精確無誤，下面就如何從概率統計綜合問題中快速提取數據，并作出正確處理及模型構建供應四類典例展示。類型一頻率分布直方圖數據的提取、處理及運算【例1】某市某中學的環保社團參照國家環境標準制定了該市空氣質量指數與空氣質量等級對應關系，如下表(假設該區域空氣質量指數不會超過300)。該社團將該市在2024年100天的空氣質量指數監測數據作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計為概率。(1)請估算2024年(以365天計算)全年該市空氣質量優良的天數(未滿一天按一天計算)；(2)該市將于2024年12月25、26、27日舉辦一場國際會議，若這三天中某天出現5級重度污染，則該天須要凈化空氣費用10萬元，出現6級嚴峻污染，則該天須要凈化空氣費用20萬元，假設每天的空氣質量等級相互獨立，記這三天凈化空氣總費用為X萬元，求X的分布列及數學期望。解(1)由直方圖可得2024年(以365天計算)全年該市空氣質量優良的天數為(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110。(2)由題可知，X的全部可能取值為0,10,20,30,40,50,60，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(24,125)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))1＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(108,500)＝eq\f(27,125)，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,10)×eq\f(4,5)＝eq\f(49,1000)，P(X＝40)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(4,5)＝eq\f(27,1000)，P(X＝50)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＝eq\f(3,1000)，P(X＝60)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，X的分布列為X0102030405060Peq\f(64,125)eq\f(24,125)eq\f(27,125)eq\f(49,1000)eq\f(27,1000)eq\f(3,1000)eq\f(1,1000)E(X)＝0×eq\f(64,125)＋10×eq\f(24,125)＋20×eq\f(27,125)＋30×eq\f(49,1000)＋40×eq\f(27,1000)＋50×eq\f(3,1000)＋60×eq\f(1,1000)＝9(萬元)。頻率分布直方圖是考查數據收集和整理的常用依據，駕馭頻率分布直方圖中常見數據的提取方法是解決這類問題的關鍵。類型二莖葉圖數據的提取、處理及運算【例2】(2024·武漢調研)甲、乙兩名運動員參與“選拔測試賽”，在相同條件下，兩人6次測試的成果(單位：分)記錄如下：甲867792727884乙788288829590(1)用莖葉圖表示這兩組數據，現要從中選派一名運動員參與競賽，你認為選派誰參賽更好？說明理由(不用計算)。(2)若將頻率視為概率，對運動員甲在今后3次測試中的成果進行預料，記這3次測試的成果高于85分的次數為X，求X的分布列和數學期望E(X)及方差D(X)。解(1)莖葉圖如圖：由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好。(2)由題意得，甲運動員每次測試的成果高于85分的概率是eq\f(1,3)，3次測試的成果高于85分的次數X聽從二項分布，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，X全部可能的取值為0,1,2,3，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,27)，X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)。莖葉圖供應了詳細的數據，找準各組數據共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關鍵。假如全部數據過大，在計算平均數時，可以將全部數據同時減去一個數字再計算，減去一個數后方差不變，另外除了要駕馭各類數據的計算方法以外，還要能從供應的數據的趨勢分析預料結果。莖葉圖數據很詳細，常聯系古典概型進行考查。類型三表格數據的提取、處理及運算【例3】(2024·洛陽高三統考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元。假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，現從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：甲公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數101510105乙公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數51010205(1)現從記錄甲公司的50天送餐單數中隨機抽取3天的送餐單數，求這3天送餐單數都不小于40的概率。(2)若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數學期望E(X)；②小王準備到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，假如僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學學問為小王做出選擇，并說明理由。解(1)設抽取的3天送餐單數都不小于40為事務M，甲公司記錄的50天中，有10＋10＋5＝25天送餐單數不小于40，則P(M)＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196)。(2)①設乙公司送餐員的送餐單數為a，當a＝38時，X＝38×6＝228，當a＝39時，X＝39×6＝234，當a＝40時，X＝40×6＝240，當a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，當a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254，所以X的全部可能取值為228,234,240,247,254。故X的分布列為X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E(X)＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241.8。②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數為38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39.7＝238.8元。由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元。因為238.8<241.8，所以舉薦小王去乙公司應聘。處理表格數據的關鍵是搞清表格中各行、各列數的意義，特殊表格中最終一行或最終一列中的數據多為合計(或總計)。類型四折線圖中數據的提取、處理及運算【例4】(2024·廣州高三調研)某基地蔬菜大棚采納無土栽培方式種植各類蔬菜。依據過去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周。依據統計，該基地的西紅柿增加量y(千克)與運用某種液體肥料的質量x(千克)之間的關系為如圖所示的折線圖。(1)依據折線圖，是否可用線性回來模型擬合y與x的關系？請計算相關系數r并加以說明(精確到0.01)。(若|r|>0.75，則線性相關程度很高，可用線性回來模型擬合)(2)蔬菜大棚對光照要求較大，某光照限制儀商家為該基地供應了部分光照限制儀，但每周光照限制儀運行臺數受周光照量X限制，并有如下關系：周光照量X(單位：小時)30<X<5050≤X≤70X>70光照限制儀最多可運行臺數321若某臺光照限制儀運行，則該臺光照限制儀周利潤為3000元；若某臺光照限制儀未運行，則該臺光照限制儀周虧損1000元。以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應