1-6.一艘正在沿直線行駛的電艇，在發動機關閉后，其加速度方向與速度方向

相反，大小與速度平方成正比，即du/d，=-K/,式中4為常量.試證明電艇

在關閉發動機后又行駛x距離時的速度為u二％-心。其中先是發動機關閉時

的速度。

分析：要求口=心)可通過積分變量替換〃二包r包，積分即可求得。

dtdx

、丁dvdudxdu“

i止：——=-------=v——=-Kv2

dtdxdtdx

du,

——=-Kdx

v

In—=-Kx

J為ifJo%

2-4.分析：用隔離體法受力分析，人站在底板上靜止不動，底板、人受的合力

分別為零.

解：設底板、人的質量分別為M,m,

以向上為正方向，如圖2-4(a)、(b),

分別以底板、人為研究對象，

則有：T}+T2-F-M^=0

T3+F'-mg=0

F為人對底板的壓力，尸為底板對人的

彈力。

F二F'

又：T2=73=9

則7；=4=(M；〃z)g=245(N)

由牛頓第三定律，人對繩的拉力與7；是一對

作用力與反作用力，艮］大小相等，均為245(N)o

2-9分析：受力分析，由牛頓第二定律列動力學

方程。

證明：如圖2—9(b)、(c),分別以M、M+m為研

究對象，設M、M+m對地的加速度大小分別為外(方

向向上)、生(方向向下)，則有：對比有：

Mg、'+m)g

(b)(c)圖2-9

h=-a.r

21

對M+m,有:

(M+ni)g-f'=(M+m)a2

又"=r

mgr-2Mh

則：電二

(M+/n)r

則質量重的人與滑輪的距離:

,,.1、m力+gg/o此題得證。

h=〃+—。,廠=------

2'M+m

2-26.質量為M的木塊靜止在光滑的水平面桌面上，質量為,速度為％的子

彈水平地射入木塊，并陷在木塊內與木塊一起運動。求（1）子彈相對木塊靜止

后，木塊的速度和動量；（2）子彈相對木塊靜止后，了彈的動量；（3）在這個

過程中，子彈施于木塊的沖量。

分析：由木塊、子彈為系統水平方向動量守恒，可求解木塊的速度和動量。由動

量定理求解子彈施于木塊的沖量。

解：（1）由于系統在水平方向上不受外力，則由動量守恒定律有：

=（"I+M）v

所以木塊的速度：u動量：Mu二

ni+Mm+M

2

（2）子彈的動量：mv=-^-

，n+M

（3）對木塊由動量定理有：I=Mv=M-^~

m+M

2-35.一質量為m、總長為/的勻質鐵鏈，開始時有一半放在光滑的桌面上，而

另一半下垂。試求鐵鏈滑離桌面邊緣時重力所作的功。

分析：分段分析，對0A段取線元積分求功，對0B段

為整體重力在中心求功。

解：建立如圖坐標軸

選一線元dx,則其質量為dm=—dx。

I

鐵鏈滑離桌面邊緣過程中，0A的重力作的功為

4g(一/-x)dm--mgl

OB的重力的功為

A11,1

A,=—mgx—/=—mgl

3

故總功A=A+4=-mg，

8

3-5一質量為加的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如

題圖3-5所示.軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為八整個裝置架在光滑的固定

軸承之上.當物體從靜止釋放后，在時間/內下降了一段距離S,試求整個輪軸

的轉動慣量（用加、r、t和S表示）.

分析：隔離物體，分別畫出輪和物體的受力圖，由轉動定律和牛頓第二定律及運

動學方程求解。

解：設繩子對物體（或繩子對輪軸）的拉力為T,

則根據牛頓運動定律和轉動定律得：

「ng-T=ma①

Tr=]p②

由運動學關系有：a=r。③

由①、②、③式解得：J=in（g-a）r2/a④

又根據已知條件v()=0

S=^-at2?a=⑤

2r

將⑤式代入④式得:

題圖3-5

3-20—均質細桿，長L=l〃z,可繞通過一端的水平光滑軸0在鉛垂面內自由轉

動，如題圖3-20所示。開始時桿處于鉛垂位置，今有一子彈沿水平方向以

v-lOmr7的速度射入細桿。設入射點離。點的距離為之心，子彈的質量為細

4

桿質量的"。試求：（1）子彈和細桿開始共同運動的角速度。（2）子彈和細桿共

5-16—物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.06m,周期為2.0s,當t=0時位移為

0.03/77,且向軸正方向運動，求：

(1)t=0.5s時，物體的位移、速度和加速度；

(2)物體從x=-0.03加處向x軸負方向運動開始，到達平衡位置，至少需要多

少時間？

分析通過旋轉矢量法確定兩位置的相位從而得到最小時間。

解：設該物體的振動方程為X=4COS(&+9)

依題意知：(0=171IT-7irad/s,A=0.06m

據°=±cos-1期得0=±乃/3(racl)

A

由于v0>0,應取(p=一兀i3{rad)

可得：x=0.06COS(M-TT/3)

(1)，=0.5s時，振動相位為：(p=m—兀13=4；6vcul

據工二48$?v=-Aa)s\v\(p,a--Aco1cos(p=-a)2x

得x=0.052〃z,v=一0.094/〃/s,a=-0.512mIs2

(2)由A旋轉矢量圖可知，物體從x=-0.03mm處向x軸負方向運動，到達平

衡位置時，A矢量轉過的角度為△°=5乃/6,該過程所需時間為：

△t=b(pl(t)=0.833s

6-6一平面簡諧波沿x軸正向傳播，波的振幅4=10CM,波的角頻率

co=17vradls,當/=1.0s時，x=10。%處的〃質點正通過其平衡位置向y軸負

方向運動，而工=20077處的質點正通過y=50。〃點向v軸正方向運動.設該

波波長4>10cm,求該平面波的波方程.

分析通過旋轉矢量圖法，結合X=106777點和X=2OCM點，在t=1.05的運動狀

態，可得到波長和初相。

解：設平面簡諧波的波長為4,坐標原點處質點振動初相為0,則該列平面簡

諧波的表達式可寫成y=0.lcus(7加一2TZX/4十⑼(S/)。/=1.0s口寸

x=10(7/7處y=0.1cos[77一2乃(0.1/4)+歸=0

因此時。質點向y軸負方向運動，故71-24(0.1/Q+Q=9(I)

而此時，力質點正通過y=0.05〃?處，有y=O.lcos|7〃-2〃(O.2//l)+0|=0.05,

且質點人向y軸正方向運動，故74-24(0.2/4)+°=-；4(2)

由(1)、(2)兩式聯立得4=0.24/〃，0=-171/3所以，該平面簡諧

波的表達式為：y=0.1cos[7>77——

0.123

6-9有一平面簡諧波在介質中傳播，波速〃=IOOm/s,波線上右側距波源0(坐

標原點)為75nl處的一點P的運動方程為y=0.30cos(2加+1/2)(9)，

求：(1)波向x軸正向傳播的波方程；

(2)波向x軸負向傳播的波方程.

解：(1)設以x=0處為波源，沿軸正向傳播的波方程為：

y=Acos[<y(r-x/u)+(p()]

在上式中，代入x=75m,并與該處實際的振動方程y=0.30cos(2m+%/2)比較

可得：A=0.3m,co=27力,Go=2]，可得：y=0.30cos(2加-x)(S/)為所

求

⑵設沿軸負向傳播的波方程為：y=Acos^oQ+x/〃)+%]

在上式中，代入x=75相，并與該處實際的振動方程y=0.30cos(2加+乃/2)比較

_27r

可得：A=0.3〃?M=2,工廠,0o=一)，可得：y=0.30cos[2^-TT+x](S/)

為所求

7-14已知/⑴)是氣體速率分布函數。N為總分子數，，n為單位體積內的分子

數,。試說明以下各式的物理意義。

⑴砥V)小⑵/(I，)小(3)JNf(vylv(4)J：vf(v)clv

V(

V：也

⑸「2/3)小(6)J/(v)Jv

V|V(

分析根據速率分布函數/")二型中的各個物理量的概念(有的問題需結合積

Ndv

分上下限)比較容易理解各種公式的含義。

解：

(1)順⑺八表示分布在(V-v+Jv)]范圍內的分子數

(2)/")八表示(口?u+du)范圍內的分子數占總分之數的百分比

(3)表示速率在(匕匕)之間的分子數

v>

(4)J表示速率在匕-匕之間的分子平均速率。

V|

Vz

(5)j//(u)小，表示匕-嶺之間的分子速率平方的平均值。

V,

V：

(6)J/W)小表示速率在(片丹)區間內的分子數占總分之數的百分比.

V|

7-19一氧氣瓶的容積為V,充了氣未使用時壓強為片，溫度為7；;使用后瓶內

氧氣的質量減少為原來的一半，其壓強降為外，試求此時瓶內氧氣的溫度T2.及

使用前后分子熱運動平均速率之比.

分析比較使用前后氣體物態方程可求解溫度；利用平均速率的公式比較使用前

后分子熱運動平均速率變化。

1

—m

解：F[V=—RT,RV=、RT,

Mi~M

.T=27；

￡_憶一K

匕\T2、2P?

8-15氮氣（視為理想氣體）進行如題圖8—15所示的循環，狀態

。一8也c的壓強，體積的數值己在圖上注明，狀態a的溫度為1000K,

求：

（1）狀態b和c的溫度；

（2）各分過程氣體所吸收的熱量，所作的功和內能的增

量；

（3）循環效率。

分析（1）各點溫度可由過程方程直接得到（2）對于

等值過程，分別使用熱量公式、內能公式、做功公式求

解。對于ab過程可先由曲線下面積求得功和內能公式求

得內能，再由第一定律得到熱量。（3）根據效率定義求

解循環效率。

1000x1000

解:⑴=250K;

4000

7；=也=6X25()=75OK⑵利用PV=2RT,2!L/e=-^-=8

7K2MMT〃

Q=—g(<Y)=-x8x(1000-250)=1.5xl()4/(等容過程)

caM2

fjj7

a,=一C〃((-q)=_X8X(250-750)=-1.4X1()4j(等壓過程)

M2

2〃,二￡「(7；-7；)+0〃”

M"a

=-X8X(750-1000)+1000(6-2)+-(4-1)X103X(6-2)=5X103J

22

%=o；

眩二B(匕一匕)二70x103j

=J^P^V=1000x(6-2)+i(4-l)xl03x(6-2)=