第二十八章圓

類型之一確定圓的條件

1.下列說法中，正確的是（）

A.三點確定一個圓

R.三角形有且只有一個外接圓

C.四邊形都有一個外接圓

D.以已知線段長為半徑能確定一個圓

2.如圖1,AC,BE是00的直徑,弦AI）與BE交于點F,下列三角形中，外心不是點0的是（）

A.AABEB.AACFC.AABDD.AADE

C

圖】

3.如圖2,一圓弧過網(wǎng)格中的珞點A,B,C,在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為

（0.3）,點C的坐標為（2,3）,則該圓弧所在圓的圓心坐標是.

類型之二弧、弦、圓心角與圓周角的關(guān)系

4.如圖3,點A,B,C,D在00上，/A0C=112°,B是廢的中點，則/D的度數(shù)是（）

5.如圖4,點A,B,S在圓上,若弦AB的長度等于圓半徑的四倍，則NASB的度數(shù)是（）

A.22.5°

6.如圖5,點A,B,C,D,E都是。0上的點，/=馥，NB=122°,則ND的度數(shù)為（）

A.58°B.116°C.122°D.128°

7.[2020?秦皇島期末]如圖6,AB是的直徑,BC是弦,P是R（含端點）上任意一點，若

AB=13,BC=12,則AP的長不可能是（）

A.4B.5C.12D.13

8.[2020靖山豐潤區(qū)期末]如圖7,AB為00的直徑，點C,D在。0上，若NABD=42°,則NBCD

的度數(shù)是.

9.已知：如圖8,AABC內(nèi)接于。0,AF是00的弦,AF_LBC,垂足為1）,E為階上一點,且BE=CF.

⑴求證:AE是。。的直徑；

（2）若NABC二ZCAE,AE=8,求AC的長.

類型之三利用垂徑定理進行計算

10.[2020?唐山期末]如圖9,00的直徑CD=12cm,AB是的弦，AB_LCD,垂足為

E,OE：OC=1：3,則AB的長為（）

11.圖10是某座天橋的設(shè)計圖,設(shè)計數(shù)據(jù)如圖所示,橋拱是圓弧形,則橋拱的半徑為（）

A.13mB.15mC.20mD.26m

12.如圖U,A,B是00上的兩點,AB=12,P是00上的動點（點P與點A,B不重合），連接AP,PB,

過點0分別作0E1AP于點E,0F1PB于點F,則EF=.

類型之四弧長及扇形面積的計算

13.如圖12,在扇形AOB中，AC為弦,ZA0B=140*,ZCA0=60°,0A=6,則優(yōu)的長為（）

14.一個扇形的圓心角為135°,弧長為3丸cm,則此扇形的面積是cm2.

15.如圖13,圖①是由若干個相同的圖形（圖②）組成的美麗圖案的一部分，圖②中，圖形的相

關(guān)數(shù)據(jù)如下:半徑0A=2cm,NA0B=120°,則圖②的周長為cm（結(jié)果保留n）.

CQJ

o

①②CB

圖13圖14

16.如圖14,用一張半徑為10cm的扇形紙板做一個圓錐形帽子(接縫忽略不計)，如果做成的

圓錐形帽子的高為8cm,那么這張扇形紙板的弧長是cm.

17J2020?唐山期末］將兩張半徑均為10的半圓形的紙片完全重合疊放在一起,上面這張紙

片繞著直徑的一端B順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到如圖15所示的圖形,您與直徑AB交于點C,連

接點C與圓心。.

(1)求R的長;

(2)求圖中下面這張半圓形紙片未被上面這張紙片遮擋部分的面積S的.

類型之五數(shù)學(xué)活動

18.一張圓形紙片，嘉琪進行了如下連續(xù)操作：

⑴將圓形紙片左右對折,折痕為AB,如圖②所示.

(2)將圓形紙片上下折袋,使MB兩點重合,折痕CI)與AB相交于點M,如圖③所示.

(3)將圓形紙片沿EF折登,使B,M兩點重合,折痕EF與AB相交于點N,如圖④所示.

⑷連接AE,AF,如圖⑤所示.

經(jīng)過以上操作嘉琪得到了以下結(jié)論:①CD〃EF;②四邊形MEBF是菱形;③AAE卜.為等邊三角

形;④S：SM=3V3：4兀.以上結(jié)論正確的有()

A.1個B.2個C.3個I).4個

圖16

【河北題型訓(xùn)練】

19.［2020?唐山期末］如圖17,把一個量角器放在NBAC的上面，點B恰好在量角器上40°

的位置，則NBAC的度數(shù)是()

A.40°B.80°C.20°D.10°

圖17圖18

20.12020?石家莊模擬如圖8在6X6的正方形網(wǎng)格中，。。經(jīng)過格點A,B,C,點P是海上

任意一點,連接AP,BP,則tan/APB的值為()

A-B.立C.3D.匹

2235

21.［2020?河北］有一題目:“已知：點0為△ABC的外心，NB0C=130°,求NA.”嘉嘉的解

答為:畫△ABC以及它的外接圓。0,連接0B,0C.如圖19,由/B0C=2NA=130°,得NA=

65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮得不周全，/A環(huán)應(yīng)有另一個不同的值.”下列判斷正確的是

()

A.淇淇說得對，且/A的另一個值是115。

B.淇洪說得不對，NA就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對，ZA應(yīng)得50°

I).兩人都不對，ZA應(yīng)有3個不同的值

圖19圖20

22.12020?石家莊模擬］如圖20,在平面直角坐標系中,A(6,0),B(0,26),以點A為圓心,AB

長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點&則點C的坐標為，扇形BAC的面積

為?

23.［2020?河北節(jié)選］如圖2L0為AB的中點,分別延長0A到點C,0B到點D,使0C=0D.以點

0為圓心，分別以0A,0C為半徑在CD上方作兩個半圓.點P為小半圓上任一點(不與點A,B重

合)，連接OP并延長交大半圓于點E,連接AE,CP.

(1)求證：△AOE^^POC;

(2)寫出Nl,Z2和NC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖21

24.[2020?石家莊正定縣期末]如圖22,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點A在直線1上,AD與

直線1相交所得的銳角為60°.點F在直線1上,AF=8,EF_L直線1,垂足為F,且EF=6,以EF為

直徑,在EF的左側(cè)作半圓0,M是半圓0上任一點.

發(fā)現(xiàn)：AM的最小值為,AM的最大值為,0B與直線1的位置關(guān)系

是.

思考:矩形ABCD保持不動,半圓0沿直線1向左平移，當點E落在AD邊上時,求半圓與矩形重

合部分的周長和面積.

圖22

答案

1.B

2.B［解析］各選項中，只有4ACF的三個頂點不都在圓上,故外心不是點0的是△ACF.

3.(1,0)［解析］如圖，分別作弦AB.AC的垂直平分線，交于點D(l,0),所以該圓弧所在圓的

圓心坐標是(1,0).

4.D［解析］如圖，連接OB.???B是廢的中點，.?.NA0BmNAOC=56°.由圓周角定理，得ND=1

ZA0B=28a.

5.C［解析］如圖，設(shè)圓心為0,連接0A,()B.???弦AB的長度等于圓半徑的夜倍，即

AB=V2(M.V0A=0B,

A0A2+0B2=20A2=AB2,

???△0AB為等腰直角三角形，/A0B=90°,；?/ASBW/A0B=45°.

6.B［解析］如圖，連接AC,CE.

???點A,B,C,E都是00上的點,，NAEC=180°-ZB=58°.

VAC=AE,AZACE=ZAEC=58°,AZCAE=180°-58°-58°=64。.

???點A,C,D,E都是OO上的點,???ND=180°-6A4°=116°.

G

7.A［解析］如圖，連接AC.

???AB是00的直徑,

.\ZACB=90°,.\AC=VAB2-BC2=V132-122=5.

vp是R(含端點)上任意一點

???ACWAPWAB,即5WAPW13.

8.132°［解析］如圖，連接AD.

;AB為。0的直彳至，Z.ZADB=90°.

VZABD=42°,

AZA=900-ZABD=480,

.,.ZBCD=1800-ZA=132°.

9.解：(1)證明：：BE=Cb;BE=CF,

ZBAE=ZCAF.

VAFXBC,AZADC=90°,

AZCAF+ZACD=90°.

VZE=ZACD,.\ZE+ZBAE=9C°,

AZABE=90°,

???AE是。。的直徑.

⑵解法一:如圖，連接0C,則/A0C=2NABC.

NABC二NCAE,二ZA0C=2ZCAE.

VO/\=OC,r.ZCAO=ZACO=iZAOC,

ZCA0=ZAC0=45°,ZA0C=90a是等腰直角三角形.

VAE=8,/.A0=C0=4,.*.AC=4V2.

解法二：連接OC,CE.丁ZABC=ZCAE,ZABC=1ZA()C,ZCAR^ZCOE,

ZAOC=ZCOE,/.AC=CE,/./\C=CE.

由(1),得AE是的直徑，???/ACE=90°,???△AEC是等腰直角三角形.

???AE=8,???由勾股定理，可得AC=4V2.

10.D［解析］如圖，連接0A.00的直徑CD=12cm,???0D=0A=0C=6cm.

*

VOE：0C=l：3,..0E=2cm.V^BICD,.*.AB=2AE,Z0EA=90°.

在RtAOAE中，AEROA2-OE2=x/36^4=4V2(cm),AAB=2AE=8^cm.

11.A［解析］如圖,設(shè)橋拱所在圓的圓心為E,作即LAB,垂足為F,延長EF交圓于點H,連接

AE.由垂徑定理，知F是AB的中點.由題意，知FH=10-2=8(m),AE=EH,EF=EH-FH.

由勾股定理，得AEJAF+EF三AF+(AE-FH)2,解得AE=13m.

m

12.6［解析］???P是00上的動點(點P與點A,B不重合),OEXAP于點E.OFXPB于點F,

???根據(jù)垂徑定理，知AE=EP,BE=PE,

即E為AP的中點,F為PB的中點，，EF為ZXAPB的中位線.

又?加=12,.?他柳乎12=6,

13.B［解析］如圖,連接0C.?..OA=OC,ZCA0=60°,AAAOC為等邊三角形,

Z.ZA0C=60°,.,.ZB0C=Z/\0E-ZA0C=140o-60°=80°，貝4優(yōu)的長=萼,

14.6n［解析］設(shè)扇形的半徑為Rem.?.?扇形的圓心角為135°,弧長為3ncm,??.牛詈3n,

解得R=4,所以此扇形的面積為嘿也6n(cm2).

36。

15.y［解析］由圖①得啟的長+施的長-?的長「??半徑0A=2cm,ZA0B=120°，，圖②的周

長為2X胃虻=學(xué)熱).

16.12n［解析］..?扇形的半徑為10cm,做成的圓錐形帽子的高為8cm,.??圓錐的底面半徑為

??

JT^P=6(cm),??底面周長為2X6n=12冗(cm),??這張扇形紙板的弧長是12nCm.

17.解：⑴連接BC.由題意，得/CBA'=30°,0'B=0C',，N0'CB=NCBA'=30°,

/.ZB0,C=120°，，優(yōu)的長上衛(wèi)竺=史).

1803

(2)過點0’作0D'_LBC于點D,則BD=CD.VNO'BC=30°,O'B=10,

.*.0*D=1(TB=5,.,.BD=5V3,.,.BC=2BD=10V3,

S的‘XKXio2-(120XTTX1°2--X1()6X5)=50n--n+25\/3=-Jr+25\^3.

2360233

18.D［解析］???紙片上下折疊A,B兩點重合，，NBMD=90°.???紙片沿EF折疊,B,M兩點重

合，/BNF=90°,AZBMI)=ZBNF=90°,/.CD^EF,故①正確；根據(jù)垂徑定理,知BM垂直平分

EF,又???紙片沿EF折疊,B,M兩點重合,???BN=EN,???BM,EF互相垂直平分，,四邊形MEBF是菱

形,故②正確:加圖,連接ME,則ME=MB=2MN,ZMEN=30°.

ZEMN=900-30'=60°.X7AM=ME,AZAEM=ZEAM=^ZEMN=1x60°=30°,

AZAEF=ZAEM+ZMEN=30°+20°=60°.同理可求NAFE=60°,；?NEAF=600,.,.△AEF是等

邊三角形，故③正確；設(shè)圓的半徑為r,則MN=1r,EN=^r,AEF=2EN=V3r,AN=r+1r=1r,

2

ASAAEF：Sffl=(ix>/3rX|r)：nr=3>/3：4n,故④正確.

綜上所述,結(jié)論正確的是①②③④,共4個.

19.C［解析］因為NBOC=40°,所以NBACmNB0C=20°.

20.A［解析］如圖，延長B0交00于點D,則D為格點，ZBAD=90°,由圓周角定理,得NAPB=

ZADB,AtanZAPB=tanZADB=^=1.

21.A［解析］如圖所示，ZA還應(yīng)有另一個不同的值，當點A在點A'處時,NA'與NA互補，則

NA'=1800-65°=115°.

22.(6-4V3,0)4n［解析］分題意，得0B=2A/3,0A=6,

.?.ABWOA2+OB2=J62+(2V3)2=4V3,則AC=4次，??.0C=AC4)A=4通-6,.?.點C的坐標為

(6-473,0).：tanA螳=—=—,/.ZA=30°,

OA63

30nx(4V3)2人

?e?S噌影BAC-=-------.....-4n.

360

23.解:⑴證明：在AAOE和△P0C中,

(OA=OP,

4AOE=zPOC,

OE=OC,

.,.△AOE^AP(X：(SAS).

⑵/1+NC=N2.理由如下:

,/△A