人教A版高一暑假作業6：平面向量學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.(2024·浙江省·單元測試)是A，B，C，D四點構成平行四邊形的(

)A.充要條件 B.必要不充分條件

C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件2.(2024·新疆維吾爾自治區·單元測試)已知兩點，，則與向量同向的單位向量是(

)A. B. C. D.3.(2022·安徽省·歷年真題)已知向量，，則(

)A. B. C. D.4.(2024·安徽省合肥市·期中考試)在中，，，，則外接圓的面積為(

)A. B. C. D.5.(2024·廣東省·單元測試)八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFGH，其中，給出下列結論：①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為其中為與同向的單位向量其中正確結論為(

)

A.① B.② C.③ D.④6.(2024·江蘇省·月考試卷)“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例根據記載，西周時期的數學家商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發現勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，滿足“勾3股4弦5”，且，E為AD上一點，若，則的值為

A. B. C. D.17.(2024·廣東省江門市·期中考試)如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為，向山頂前進100m到達B處，在B處測得C對于山坡的斜度為若，山坡對于地平面的坡度為，則等于(

)

A. B. C. D.8.(2023·遼寧省沈陽市·單元測試)已知O為正三角形ABC內一點，且滿足，若的面積與的面積比值為3，則的值為(

)A. B.1 C.2 D.3二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9.(2023·浙江省·歷年真題)已知向量，，則(

)A.若與垂直，則 B.若，則的值為

C.若，則 D.若，則與的夾角為10.(2023·浙江省·歷年真題)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，內角A平分線交BC于點D，，以下結論正確的是(

)A.B.C. D.的面積為11.(2024·全國·聯考題)對任意兩個非零向量，，定義新運算：已知非零向量，滿足，且向量，的夾角，若和都是整數，則的值可能是(

)A.2 B. C.3 D.4三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.(2023·湖南省長沙市·單元測試)已知點G是的重心，則______.13.(2024·浙江省·單元測試)已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是__________，的最小值是__________.14.(2024·湖北省荊門市·單元測試)一艘船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍范圍內包括邊界有暗礁，現該船繼續東行.當與滿足__________條件時，該船沒有觸礁危險.

四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(2022·廣西壯族自治區賀州市·期末考試)本小題13分已知向量，當實數k為何值時，向量與垂直；若，，且A、B、C三點共線，求實數m的值．16.(2023·湖南省邵陽市·月考試卷)本小題15分在中，求的值；若，求b以及的值．17.(2023·江蘇省南京市·月考試卷)本小題15分在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，，點M滿足，點P在線段BC上運動包括端點，如圖所示.求與共線的單位向量的坐標；求的余弦值；是否存在實數，使若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.18.(2023·湖南省懷化市·單元測試)本小題17分在中，已知若點D為AB的中點，，求若不等式恒成立，求實數的取值范圍.19.(2024·山東省濟寧市·期末考試)(本小題17分)將所有平面向量組成的集合記作R2，f是從R2到R2的映射，記作y=f(x)或y1,y2=fx1,x2，其中x=y的最大值，記作f.若存在非零向量x=R2，及實數λ使得fx=λ(1)若f(x1,(2)如果f(x1,x2(3)若fx1,x2=a1x1+a2x2,b1x1+b21.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，相等向量的含義，屬于基礎題．

由必要條件、充分條件的定義即可判斷出結論．【解答】解：由可知A，B，C，D四點不一定構成平行四邊形；

當A，B，C，D四點構成平行四邊形時，與不一定相等，

故選2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查單位向量的求法，屬于基礎題．【解答】解：由兩點，，

可知與向量同向的單位向量是：

故選：3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查用向量的數量積求夾角，屬于基礎題.

由向量的坐標便可求出，及的值，再根據向量夾角余弦公式求解即可．【解答】解：，，

，

又，

，

故選

4.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，屬于基礎題．

由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得，求得R的值，從而求得的外接圓的面積．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得

，，

設外接圓半徑為R，

再由正弦定理可得，

的外接圓半徑，

外接圓的面積為

故選

5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查平面向量的夾角、向量的模以及平面向量的投影向量的問題，屬于基礎題．

根據平面向量的相關概念，即可逐項判斷正誤．【解答】解：①由圖可知，，故①錯誤；

②，所以，故②正確；

③因為，故不成立，故③錯誤；

④在上的投影向量的方向與的方向相反，故④錯誤．

故選

6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查平面向量的基本定理及其應用，考查平面向量的坐標運算、向量垂直的判斷與證明，考查數形結合思想，考查分析與計算能力，屬于中檔題．

由題意建立直角坐標系，得到，，，計算求解即可得到答案．【解答】解：由題意建立如圖所示的直角坐標系，

因為，，則，，，

設，則，，

因為，

所以，

解得，

由，得，

所以，解得

所以，

故選

7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正弦定理在實際問題中的應用，涉及誘導公式，屬于中檔題.

由實際問題恰當構建數學模型是解題關鍵，易求，在中，由正弦定理可求BC，在中，由正弦定理可求，再由，即可得答案.【解答】解：，，

，

而，

在中，由正弦定理，

得，

在中，由正弦定理，

得，

，

即，

，

故選：

8.【答案】A

【解析】【分析】本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于較難題.

如圖D，E分別是對應邊的中點，對所給的向量等式進行變形，根據變化后的條件得到①；由于正三角形ABC，結合題目中的面積關系得到②．由①②可得O分DE所成的比，從而得出的值.【解答】解：，

，

如圖，

D，E分別是對應邊的中點，

由平行四邊形法則知，

①，

在正三角形ABC中，

，

且三角形AOC與三角形ADC同底邊AC，

故O點到底邊AC的距離等于D到底邊AC的距離的三分之一，

故②

由①②得

故選

9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查平面向量的數量積的運算，向量的垂直、共線以及模長與夾角的計算，屬于基礎題.

利用平面向量垂直的坐標表示可判斷A選項的正誤；利用平面向量共線的坐標表示與平面向量數量積的坐標表示可判斷B選項的正誤；利用平面向量的模長公式可判斷C選項的正誤；利用平面向量夾角余弦的坐標表示可判斷D選項的正誤.【解答】解：對于A選項，，則，解得，A選項錯誤；對于B選項，，故，，，

，B選項正確；對于C選項，若，則，，所以，C選項正確；對于D選項，若，則，，此時，與的夾角不是，D選項錯誤.故選：

10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查正、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.

首先根據余弦定理，并結合條件判斷，并根據二倍角公式得到，依次計算的值，根據面積比值，判斷選項C和【解答】解：在中，由，即，根據余弦定理得，，即，所以由倍角公式得，解得在中，，故選項A正確；在中，，解得，故選項B錯誤；，解得，故選項C正確；由，則，又，，，故選項D不正確.故選：

11.【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查向量的新定義問題，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題.

根據定義新運算，化簡得，從而可求出，進而再由，可得則，從而可求得的范圍，即可判定選項．【解答】解：由題意可得，

因為，所以，

因為，所以，所以，即，解得，

因為，所以，

所以，則，故，

因為，所以，

因為，所以，所以，所以，

所以，則，

即，故B，C選項符合題意.

故選：

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查了幾何圖形中的向量加法運算，屬于基礎題.

連接AG并延長交BC于點E，點E為BC的中點，延長AE到點D，使，則，，即可得出答案.【解答】解：如圖所示，連接AG并延長交BC于點E，點E為BC的中點，

延長AE到點D，使，則，，

，

故答案為：13.【答案】；【解析】【分析】本題考查了平面向量數量積與投影向量的定義，屬于基礎題．

根據平面向量數量積與投影向量的定義，以及二次函數的性質求解．【解答】解：向量的夾角為，

且，，

在方向上的投影向量是；

所以的最小值是

故答案為；14.【答案】或

【解析】【分析】本題主要考查解三角形的實際應用，屬于較難題．

先確定、的值，再作，根據正弦定理可求得BM的關系式，根據求出CM的值，只要就沒有觸礁危險，從而得到答案．【解答】解：過M作于C，如圖所示，

由題意可知，，，設，

在中，，根據正弦定理得，即，，

又因為時沒有觸礁危險，即，

則，即

故答案為或.15.【答案】解：由題，，與垂直，，解得、B、C三點共線，，存在實數，使得，又與不平行，，【解析】本題主要考查兩個向量平行、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量的數量積公式，屬于基礎題.由題意可知，向量與垂直，結合數量積的坐標表示，即可求解；、B、C三點共線，結合與不平行，即可得到方程組求解.16.【答案】解：由余弦定理及已知得

因為A，B為三角形內角，

所以，

又因為，

所以由正弦定理得，

又因為

所以，解得舍

所以

【解析】本題主要考查正余弦定理以及同角三角函數基本關系式，并涉及到三角形的面積公式和計算能力，屬于基礎題．

直接把等式變形即可求解；

先利用同角三角函數關系式求出角A，B的正弦值，再借助于正弦定理求出b，代入已知條件求出c，進而求出三角形的面積．17.【答案】解：由已知可得，設單位向量，

，解得或；

由題意，可得，，，

，，

，

設，其中，則，，

若，則，即，

，

若，則不存在；

若，則

即滿足條件的實數存在，實數的取值范圍為

【解析】本題主要考查用數量積表示兩個向量的夾角，兩個向量垂直的性質，屬于中檔題．

由已知可得直接計算即可.

由題意求得、的坐標，再根據，，運算求得結果．

設，其中，由，得，可得分，則不存在；，則，求得實數的取值范圍．18.【答案】解：因為點D為AB的中點，，

，

又，

則，

所以；

設內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c

因為，所以，

由余弦定理，

則，

又，

則，

因為，

所以

，當且僅當，取等于號，

所以

故實數的取值范圍為

【解析】本題考查向量的線性運算，向量的模長，數量積計算，屬于中檔題.

依題意，，代入計算即可；

條件轉化為，進而根據等量代換和基本不等式求解即可.19.【答案】解：(1)由于此時y12+y有y12+y22(2)由fx可得：x1+2兩式相比可得：λ?1λ+1=2，從而當