第12講球體的體積和表面積（核心考點講與練）考點考點考向球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3方法技巧方法技巧1.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.2.幾何體的內切球：求解多面體的內切球問題，一般是將多面體分割為以內切球球心為頂點，多面體的各側面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內切球的半徑.能力拓展能力拓展題型一：球的體積的有關計算一、單選題1．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二階段練習）已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2021·上海·閔行中學高二期中）在三棱錐中，已知平面，，，，，則三棱錐的外接球的體積為（

）．A． B． C． D．二、填空題3．（2021·上海市奉賢區奉城高級中學高二階段練習）一個圓錐形的空杯子上面放一個球形的冰激凌，圓錐底的直徑與球的直徑均為10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，正好裝滿杯子不會溢出，則杯子高度為___________.4．（2021·上海市嘉定區安亭高級中學高二階段練習）已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.5．（2021·上海·格致中學高二期中）棱長為2的正方體的外接球的表面積為______．6．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高_____________cm.7．（2021·上海市徐匯中學高二期中）已知球的體積為，則該球的半徑為___________.8．（2021·上海市行知中學高二期中）湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球的體積是___cm3．9．（2021·上海·華東師大附屬楓涇中學高二期中）半徑為的球的體積是___________.10．（2021·上海·高二專題練習）兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑是________．11．（2021·上海市延安中學高二期中）若一個正方體所有頂點都在一個球面上，則該球與正方體的體積之比為________．12．（2021·上海青浦·高二期末）我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”日“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.”意思是∶球的體積V乘以16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當時圓周率的近似值大小為___________.13．（2021·上海市市西中學高二期中）一個底面半徑為的圓柱形容器內盛有足量的水，能放入一個半徑為的實心鐵球，沉入水底后，水未溢出容器，則水面升高了___________.題型二：球的表面積有關計算一、單選題1．（2021·上海交大附中高二期中）設、，，，那么以為直徑的球的表面積為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2021·上海師范大學附屬外國語中學高二階段練習）如圖，已知正方體的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，點N在正方體的底面ABCD內運動，則MN的中點P的軌跡與正方體從頂點D出發的三個面所圍成的幾何體的表面積是________.3．（2021·上海·復旦附中高二期中）已知球和球的體積之比為8∶27，那么球和球的表面積的比值為_________．4．（2021·上海·華東師范大學第三附屬中學高二期中）如圖，半球內有一內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體的邊長為2，則半球的表面積為____________.5．（2021·上海·閔行中學高二期中）表面積為的球的體積是__________．6．（2021·上海市市西中學高二期中）一個與球心距離為的平面，截球所得的圓面積為，則這個球的表面積是____________.7．（2021·上海·閔行中學高二期末）已知球的表面積為，則它的體積為__________.8．（2021·上海·曹楊二中高二期末）在三棱錐中，、、兩兩垂直且長度均為6，定長為的線段的一個端點在棱上運動，另一個端點在△內運動（含邊界），若線段的中點的軌跡的面積為，則的值為______．9．（2021·上海·高二期中）表面積為的球的體積為__________.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2019·上海閔行·高二期末）若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（

）．A． B． C． D．2．（2021·上海市奉賢區奉城高級中學高二期中）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A． B． C． D．3．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期中）古希臘數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發現，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6π現在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（

）A． B． C．π D．二、填空題4．（2021·上海·位育中學高二期中）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比為________.5．（2021·上海·高二專題練習）有一個倒圓錐形的容器，其底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內放著49個半徑為1厘米的玻璃球，在向容器倒滿水后，再把玻璃球全部拿出來，則此時容器內水面的高度為________厘米6．（2021·上海·高二專題練習）半徑為的球的表面積為__________.7．（2019·上海市奉賢中學高二期中）已知圓錐底面半徑與球的半徑都是lcm，如果圓錐的體積與球的體積恰好也相等，那么這個圓錐的側面積是_________.8．（2022·上海浦東新·高二期末）已知球的半徑為1，則球的表面積為______.9．（2020·上海師范大學第二附屬中學高二期中）關于旋轉體的體積，有如下的古爾丁（guldin）定理：“平面上一區域D繞區域外一直線（區域D的每個點在直線的同側，含直線上）旋轉一周所得的旋轉體的體積，等于D的面積與D的幾何中心（也稱為重心）所經過的路程的乘積”．利用這一定理，可求得半圓盤，繞直線x旋轉一周所形成的空間圖形的體積為_____．10．（2019·上海市延安中學高二期中）魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創的榫卵結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱分成三組，經榫卯起來.若正四棱柱的高為，底面正方形的邊長為，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為__________.（容器壁的厚度忽略不計，結果保留）11．（2021·上海市亭林中學高二期中）如圖所示，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_______．12．（2021·上海市松江二中高二階段練習）如圖所示，半徑的球O中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的側面積之差等于___________.13．（2021·上海·高二專題練習）古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，若球的表面積等于圓柱的側面積，則球的體積與圓柱的體積之比為_________.三、解答題14．（2018·上海·曹楊二中高二期末）如圖，某甜品創作一種冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形，現把半徑為的圓形蛋皮等分成5個扇形，用一個扇形蛋皮圍成圓錐的側面（蛋皮厚度忽略不計）．（1）求這種蛋筒的表面積；（2）若要制作500個這樣的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精確到0.1L）15．（2021·上海·高二專題練習）高二A班計劃在學校即將舉辦的夏季游園會上為同