第5講函數的概念及其表示期末大總結目錄速覽第一部分：必會知識結構導圖第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結第三部分：必會技能常考題型及思想方法大歸納必會題型一：函數定義的理解必會題型二：求函數的定義域必會題型三：求函數及參數值必會題型四：待定系數法求解析式必會題型五：配湊法及換元法求解析式必會題型六：方程組法及其他方法求解析式第一部分：知識結構導圖速看第二部分：考點梳理知識方法技巧大總結1．函數的定義：給定實數集?R?中的兩個非空數集?A?和?B，?如果存在一個對應關系?f，?使對于集合?A?中的每一個數?x，在集合?B?中都有唯一確定的數?y?和它對應，那么就把對應關系?f?稱為定義在集合?A?上的一個函數，?記作?y＝f(x)，x∈A．?其中集合?A?稱為函數的定義域，?x?稱為自變量，與?x?2．函數的表示法(1)解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的函數關系，這種表示方法叫做解析法，這個數學表達式叫做函數的解析式，如函數?y＝x?的定義域是?{x∣x?0}，(2)圖象法：以自變量x的取值為橫坐標，對應的函數值y為縱坐標，在平面直角坐標系中描出各個點，這些點構成了函數的圖象，這種用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法叫做圖象法(如圖)．(3)列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應的函數值，這種用表格來表示兩個變量之間的函數關系的方法叫做列表法(如圖)．3．同一個函數：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．如?fx4．分段函數：指在不同的定義域上有不同的解析式的函數．它是一個函數，不要誤認為是幾個函數！分段函數的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集．常見分段函數如下：(1)取整函數：f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整數)(2)絕對值函數：如f(x)＝|x|＝eq\b\lc\{\rc(\a\al(x，x≥0；,－x，x＜0))，f(x)＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc(\a\al(x＋2，x≥－2；,－(x＋2)，x＜－2))5．由函數的解析式求函數的定義域時，通常要注意以下幾個方面．(1)分式——使分母不為零．(2)偶次根式——使被開方數非負．(3)y＝(f(x))0→f(x)≠0．[名師點睛]求函數的定義域時，一般先轉化為解不等式或不等式組，最后取各部分的交集，定義域要寫成集合或區間的形式．6．復合函數定義域，用對應的方法．(1)若f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出；(2)若f[g(x)]的定義域為[a，b]，求f(x)的定義域，相當于x∈[a，b]時，求g(x)的值域．(3)若f[g(x)]的定義域為[a，b]，求f[φ(x)]的定義域，相當于x∈[a，b]時，求g(x)的值域即為φ(x)，再求出φ(x)對應的x范圍，即為f[φ(x)]的定義域．7．求函數的解析式一般方法(1)代入法：已知f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式常用此法；(2)待定系數法：若已知所求函數類型，可先設出所求函數的解析式，然后由已知條件列方程(組)，再求系數．(3)配湊法(整體換元法)：已知f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式時，可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”，即把“g(x)”作為整體來表示，再將兩邊的g(x)都用x代替即可，如已知函數feq(x－\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)求f(x)的解析式，可變形為feq(x－\f(1,x))＝eq(x－\f(1,x))2＋2可得f(x)＝x2＋2；(4)換元法：形如y＝f[g(x)]的函數，可令t＝g(x)，由此求出x＝φ(t)，然后代入解析式求解，但要注意新設變量“t”的范圍；(5)方程組法：若已知式子含有f(x)，feq(\f(1,x))，或f(x)，f(－x)等形式，可讓x與eq\f(1,x)互換，或－x與x互換等，從而構造出另一個方程，通過解方程組獲解；第三部分：必會技能常考題型及思想方法大歸納必會題型一：函數定義的理解1．(2022·黑龍江·大慶實驗中學高一階段練習)下列各式中，①y＝x-4+3-x；②y2＝x；③y＝2x-1,x>0x2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．(2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習)下列各組函數是同一函數的是(

)①fx＝-x3與g③fx＝x+1?x-1與A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．(2022·江蘇·西安交大蘇州附中高一階段練習)下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數圖象的是(

)A． B．C． D．4．(2022·山東省青島第十六中學高一期中)函數y＝f(x)的定義域為M＝x|-2≤x≤2，值域為A． B．C． D．必會題型二：求函數的定義域1．(2022·湖南·高一期中)函數f(x)＝3-x2A．0，3 BC．-3，32．(湘豫名校聯考2022－2023學年高三上學期11月一輪復習診斷考試(二)數學(文科)試題)函數y＝lg42-xA．[-2,-1)∪(-1,2) B．C．(-1,2)∪(2,+∞) D3．(2022·廣東·汕頭市實驗學校高一期中)已知函數fx＝2m+3x2+2mx+1的定義域為RA．-32,3C．-32,14．(2022·江蘇省上岡高級中學高一期中)已知函數fx＝lnx-2，則函數必會題型三：求函數及參數值1．(2021·黑龍江·綏化市第一中學高一期中)已知函數f(x)滿足f(1+1x)＝2x+1．若f(a)A．2 B．1 C．32 D．2．(2021·江蘇·高一專題練習)若函數fx-1＝2x-5，且f2a-1＝6A．114 B．74 C．433．(2022·湖南·高一課時練習)若fx＝5xx2+14．(2022·安徽·六安一中高一期中)已知函數fx＝2x3-x+1，若實數a滿足5．(2022·全國·高一專題練習)已知函數f(x)＝4x-12x-1，則6．(2021·廣東·佛山市順德區文德學校高一階段練習)已知函數f(x)＝(1)求函數f(x)的定義域．(2)求f(-1)，f(7)；(3)已知f(2a+1)＝4a必會題型四：待定系數法求解析式1．(2022·廣東·佛山市南海區藝術高級中學高一階段練習）設fx為一次函數，且ffx＝4x-1．若f3A．fx＝2x-11或fC．fx＝2x-112．(遼寧省遼東區域共同體20222023學年高一上學期期中聯考數學試題)已知fx是一次函數，且滿足2fx+3-f3．(2022·甘肅·寧縣第一中學高一期中)已知fx是二次函數，且fx+1+f4．(2022·四川·石室中學高一階段練習(理))已知二次函數fx滿足fx(1)求fx(2)當x∈-1，必會題型五：配湊法及換元法求解析式1．(2022·安徽·六安一中高一期中)設函數fx+1＝x-1，則fA．fx＝xC．fx＝x2．(2022·遼寧實驗中學高一期中)若F1-x1+x＝xA．F1x＝C．F-x＝F3．已知fx+1x＝4．(2021·全國·高一課時練習)已知f(x+1x)=必會題型六：方程組法及其他方法求解析式1．(2022·遼寧·高一階段練習)已知函數f(x)的定義域為{x|x≠0}，且滿足f(x)+2f(1x)＝6xA．6x-12x+3 B．-2x+4x-1 C3．(2022·遼寧·育明高中高一期中)設a為常數，f0＝12，fA．fa＝1C．滿足條件的fx不止一個 D．f3．(2023·全國·高三專題練習)已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，則f(x)＝______．4．(2022·云南省下關第一中學高一期中)根據下列條件，求fx(1)已知fx滿足(2)已知fx是一次函數，且滿足3f(3)已知fx滿足5．(2021·全國·高一專題練習)根據下列條件，求函數f(x)的解析式；(1)已知