湖南省婁底市2023-2024學年九年級下學期期中數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．有理數2024的相反數是（

）A．2024 B． C． D．2．流感病毒中甲型流感的致病力最強，該病毒的直徑大約是0.000000086米，0.000000086這個數字用科學記數法可表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“贏”字所在的面相對的面上標的字是（）

A．中 B．考 C．勝 D．利4．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．5．已知，則的值約為（

）A． B． C． D．6．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數為（

）A． B． C． D．7．反比例函數的圖象經過點，則下列說法錯誤的是（）A． B．函數圖象分布在第二、四象限C．函數圖象關于原點中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小8．植樹節的起源可以追溯到中國古代“孟春之月，盛德在木”的傳統觀念，這體現了古人對樹木的深深敬仰．某校在“植樹節”期間帶領學生開展植樹活動，甲、乙兩班同時開始植樹，甲班比乙班每小時多植3棵樹，植樹活動結束時，甲、乙兩班同時停止植樹，甲班共植70棵樹，乙班共植50棵樹．設甲班每小時植x棵樹，依題意可列方程為（

）A． B． C． D．9．若，，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．10．如圖，拋物線與x軸交于點．點，是拋物線上兩點，當時，二次函數最大值記為，最小值記為，設，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．若二次根式有意義，則x的取值范圍是．12．正多邊形的每個內角等于，則這個正多邊形的邊數為條．13．有一組數據：3，5，7，6，8，8，9，則這組數據的中位數是．14．因式分解：．15．分式方程的解是．16．兩個三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于M，若，則∠DMC的大小為．

17．如圖，點A，C在雙曲線上，點B，D在雙曲線上，軸，且四邊形是平行四邊形，則的面積為．18．如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC與BD交于點E，若AB＝，CD＝2，則△ABE的面積為．三、解答題19．計算：．20．先化簡，再求值：，其中，．21．某校組織學生觀看“天宮課堂”第二課直播，跟著空間站的翟志剛、王亞平、葉光富三位宇航員學習科學知識，他們相互配合，生動演示了四個實驗：（A）微重力環境下的太空“冰雪”實驗，（B）液橋演示實驗，（C）水油分離實驗，（D）太空拋物實驗．觀看完后，該校對部分學生對四個實驗的喜愛情況作了抽樣調查，將調查情況制成了如下的條形統計圖和扇形統計圖．請根據圖中信息，回答下列問題：(1)共調查了_________名學生，圖2中A所對應的圓心角度數為_________；(2)請補全條形統計圖；(3)若從兩名男生、兩名女生中隨機抽取2人參加學校組織的“我愛科學”演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的學生恰好是一男一女的概率．22．為建設美好公園社區，增強民眾生活幸福感，某社區服務中心在文化活動室墻外安裝避陽篷，便于社區居民休憩．如圖，在側面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當太陽光線與地面的夾角為時，求陰影的長．（結果精確到米；參考數據：）

23．“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學為了落實“雙減”政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴元，買套甲型號和套乙型號共用元．(1)求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？(2)若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共套，總費用不超過元，并且根據學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數量必須低于甲型號“文房四寶”數量的倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？24．如圖，在菱形中，對角線，交于點O，過點A作的垂線，垂足為點E，延長到點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．25．如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．26．如圖，拋物線：與軸相交于，兩點（點在點的左側），已知點的橫坐標是2，拋物線的頂點為．(1)求的值及頂點的坐標；(2)點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側）．當點與點重合時（如圖1），求拋物線的表達式；(3)如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數”．當拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數時，求點的坐標．《湖南省婁底市2023-2024學年九年級下學期期中數學試題》參考答案1．B解：有理數2024的相反數是，故選：B．2．C解：，故選：C．3．B解：原正方體中與“贏”字所在的面相對的面上標的字是“考”．故選：B．4．C解：A．，故本選項不合題意；B．，故本選項不合題意；C．，故本選項符合題意；D．，故本選項不合題意；故選：C．5．D∴故選：D6．B解：∵是的直徑，弦，∴，∴．故選：B7．D解：反比例函數的圖象經過點，，故選項正確，不合題意；，此函數圖象的兩個分支位于二四象限，故選選項正確，不合題意；反比例函數的圖象關于原點對稱，故選項正確，不合題意；反比例函數圖象的兩個分支位于二四象限，當時，隨著的增大而增大，故選項錯誤，符合題意．故選：D8．A解：設甲班每小時植x棵樹，則乙班每小時植棵樹，根據題意，可如甲、乙兩班植樹時間相同，可列方程，故選：A．9．A解：∵，∴，∴∴，故選A．10．D解：拋物線對稱軸為直線，當點P，Q均在對稱軸左側時，有，，，則，∵m隨t的增大而減小，，∴當點P在對稱軸左側，Q在對稱軸右側時①若點P距對稱軸的距離大于點Q距對稱軸的距離時，有，，，則，對稱軸：，在對稱軸左側m隨t的增大而減小，∴②若點P距對稱軸的距離小于點Q距對稱軸的距離時，當時，，，則，對稱軸：，在對稱軸右側m隨t的增大而增大，∴，∵，∴點P，Q不可能均在對稱軸右側．綜上可得：，故答案為D．11．解：根據題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案為：x≥2．12．12多邊形內角和為180o（n-2）,則每個內角為180o（n-2）／n＝,n=12,所以應填12.13．7解：把這組數據按照從小到大的順序排列，3，5，6，7，8，8，9；∴這組數據的中位數是7；故答案為7．14．解：原式＝．故答案為：．15．解：，等號兩邊同時乘以，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，經檢驗，是該分式方程的解，所以，該分式方程的解為．故答案為：．16．110°/110度解：延長ED交BC于點G，

∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，∵，∴∠EGC＝∠E=40°，∴∠DMC＝180°-∠EGC-∠C=110°．故答案為：110°17．8解：設，，軸，四邊形是平行四邊形，軸，，，，，，，邊上的高，的面積，故答案為：8．18．解：過點D作DF⊥AC于點F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，∵∠ADC＝90°，CD=2，∴，∵，∴，∴，∴，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：19．解：．20．，100．解：原式．當，時．原式．21．(1)50，；(2)詳見解析；(3)，詳見解析．（1）共調查的學生人數為：（名），∴圖2中A所對應的圓心角度數為：，故答案為：；（2）（2）由圖知，D的人數為：（人），∴C的人數為：（人），補全條形統計圖如下：（3）（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中抽到的學生恰好是一男一女的結果有8種，∴抽到的學生恰好是一男一女的概率為．22．米解：如圖所示，過點作于點，于點，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．23．(1)每套甲型號“文房四寶”的價格是元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是元(2)種；元（1）解：設每套甲型號“文房四寶”的價格是元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是元，由題意可得，解得，答：每套甲型號“文房四寶”的價格是元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是元；（2）解：設需購進乙種型號“文房四寶”套，則需購進甲種型號“文房四寶”套，由題意可得：，

解得，又∵為正整數，∴可以取，；∴共有種購買方案，方案：購進套甲型號“文房四寶”，套乙型號“文房四寶”；方案：購進套甲型號“文房四寶”，套乙型號“文房四寶”；∵每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴元，∴甲型號“文房四寶”的套數越少，總費用就越低，∴最低費用是（元）．24．(1)見解析(2)（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（2）∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．25．(1)見解析(2)AI=4（1）證明：∵I是△ABC的內心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；（2）解：連接EC，過點E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延長線于N，則EM=EN，∵∠BAE=∠CAE，∴=，∴BE=EC=4．∵AE=AE，EM=EN，∴△AEM≌△AEN，∴AM=AN．∵BE=EC，EM=EN，△BME≌△CNE(HL)，∴BM=CN．設BM為x，則8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，∴AM=7．又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．∴AE==8，∵EI=BE=4，∴AI=AE?EI=4．26．(1)，(2)(3)點的坐標為或或（1）解：由，可得，∴頂點的坐標為，∵點在拋物線上，∴可得，解得；（2）對于拋物線：，由（1）可知，，令，可得，整理可得，解得，，∵點在點的左側，∴，；如下圖，連接，作軸于，作軸于，∵，∴，根據題意，點，關于點成中心對稱，∴過點，且，在和中，，∴，∴，，∴拋物線的頂點的坐標為，∵拋物線由繞點旋轉后得到，∴拋物線的函數表達式為；（3）∵拋物線由繞軸上的點旋轉后得到，∴頂點，關于點成中心對稱，由（2）知，點的縱坐標為8，設點，如下