第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南京二十九中、常州中學(xué)、南菁中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.曲線f(x)=(x+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為(

)A.?1 B.?12 C.1 2.已知向量a=(2,1,3)，b=(?1,2,?2)，c=(7,6,λ)，若向量a，b，c共面，則實數(shù)λ等于A.10 B.8 C.5 D.33.北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為(

)A.2880 B.1440 C.720 D.5764.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，點(diǎn)PA.[0,2]

B.[1,3]

C.[2,4]

D.[3,5]5.已知a=ln22,b=1e,c=ln33，則aA.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c6.“立定跳遠(yuǎn)”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測試項目中的一項，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測試數(shù)據(jù)ξ(單位：cm)服從正態(tài)分布N(200,σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記ξ在(180,220)的人數(shù)為X，則A.P(180<ξ<220)=0.9 B.P(X≥1)=0.992

C.E(X)=3 D.D(X)=0.167.袋中有4個黑球，3個白球．現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個球．若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為(

)A.23 B.14 C.5218.已知a>0，x1，x2分別是函數(shù)f(x)=xex?a與g(x)=?lnxA.2 B.2e2 C.4e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X=n)=an(n=1,2,3,4)，則a=110

B.若隨機(jī)變量X～N(1,σ2)，則P(X≤0)=0.4，則P(1≤X≤2)=0.2

C.若隨機(jī)變量X～B(10,15)，則D(X)=85

D.10.已知函數(shù)f(x)=lnx?ax的兩個零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1<A.0<a<1e B.e<x1<1a

C.存在實數(shù)a，使得11.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱ABF?DCE組合而成，AB⊥AF，AB=AD=AF=4，G是CD上的動點(diǎn).則(

)A.G為CD的中點(diǎn)時，平面EFBC⊥平面BCG

B.G為CD的中點(diǎn)時，異面直線EC與BG之間的距離為433

C.存在點(diǎn)G，使得直線CF與平面BCG所成的角為60°

D.P為ED所在直線的動點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,?1,2),b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實數(shù)t13.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+ex?e?x?x+3，則滿足14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，并制定如下規(guī)則：當(dāng)點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5時得1分，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為1，6時得3分.多次拋擲這枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分.若拋擲2次散子，最終得分為X，則隨機(jī)變量X的期望是______；若拋擲2024次骰子，記得分恰為n分的概率為Pn，則當(dāng)Pn取最大值時n的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(x+123x)n的展開式中，第五項的二項式系數(shù)是第三項的系數(shù)的4倍，求：16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?x?1，g(x)=alnx?x．

(Ⅰ)若?(x)=f(x)?g(x)在[1,2]單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)a<0時，若對任意的x1∈[1e,1]17.(本小題15分)

如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，AA1=3，且AA1⊥底面ABCD，點(diǎn)P、Q分別是棱BB1、DD1的中點(diǎn)．

(1)在底面ABCD內(nèi)是否存在點(diǎn)M，滿足C1M⊥平面CPQ？若存在，請說明點(diǎn)18.(本小題17分)

11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10：10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為23，乙發(fā)球時甲得分的概率為12，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為10：10．

(1)求再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)求第一局比賽甲獲勝的概率P0；

(3)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=a2e2x?x，且定義域為[0,+∞)，a∈R．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)有2個零點(diǎn)x1，x2，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)參考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.(?∞,?4)∪(?4,5)

13.(3,+∞)

14.103

3372或337415.解：(1)(x+123x)n的展開式中第r+1項為Tr+1=Cnrxn?r(123x)r=(12)rCnrxn?43r，

所以第五項的二項式系數(shù)Cn4，第三項的系數(shù)為(12)2Cn2，

所以Cn4=4×(12)2Cn16.解：(Ⅰ)函數(shù)?(x)=f(x)?g(x)=ex?x?1?alnx+x=ex?alnx?1，

求導(dǎo)得?′(x)=ex?ax=xex?ax，

由?(x)在[1,2]單調(diào)遞增，得?′(x)≥0在[1,2]上恒成立，

即xex≥a在[1,2]上恒成立，

因此a≤(xex)min，x∈[1,2]，

設(shè)H(x)=xex，x∈[1,2]，

則H′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0，

所以H(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，

所以H(x)min=H(1)=e，

即a≤e，

所以a的取值范圍為(?∞,e]．

(Ⅱ)若對任意的x1∈[1e,1]，總存在x2∈[1e,1]，使得f(x1)≤g(x2)，

則當(dāng)x∈[1e,1]時，f(x)17.解：(1)因為AA1⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則C(4,4,0)，B(4,0,0)，B1(2,0,3)，D(0,4,0)，D1(0,2,3)，C1(2,2,3)，

因為點(diǎn)P、Q分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)，

則P(3,0,32),Q(0,3,32)，

CP=(?1,?4,32)，CQ=(?4,?1,32)，

假設(shè)在底面ABCD內(nèi)存在點(diǎn)M(a,b,0)，

使得C1M⊥平面CPQ，則0≤a，b≤4，

則C1M=(a?2,b?2,?3)，

由C1M?CP=2?a?4(b?2)?92=0C1M?CQ=?4(a?2)?(b?2)?92=0，

解得a=1110b=1110，

故存在點(diǎn)M(1110,1110,0)，滿足C1M⊥平面CPQ；

(2)按照(1)建系，設(shè)點(diǎn)T(0,0,t)，(0≤t≤3)，

依題意，C，P，T，18.解：(1)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，

設(shè)打成10：10后甲先發(fā)球為事件A，則乙先發(fā)球為事件A?，且P(A)=P(A?)=12，

所以P(X=0)=P(A)?P(X=0|A)+P(A?)X012P111故X的均值為E(X)=0×16+1×12+2×13=76；

(2)設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件B，

則P(B|X=0)=0，P(B|X=1)=P(B)，P(B|X=2)=1，

由(1)知，P(X=0)=16，P(X=1)=12，P(X=2)=13，

由全概率公式，得P(B)=P(X=0)P(B|X=0)+P(X=1)P(B|X=1)+P(X=2)P(B|X=2)=16×0+12P(B)+13，

解得P(B)=23，即第一局比賽甲獲勝的概率P19.解：(1)f(x)=a2e2x?x,x∈[0,+∞),f′(x)=ae2x?1,

①a≤0時，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在[0,+∞)上遞減；

②a≥1時，f′(x)≥e2x?1>0恒成立，所以f(x)在[0,+∞)上遞增；

③0<a<1時，令f′(x)=0得x=12ln1a，

x∈(0,12ln1a),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，x∈(12ln1a,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

綜上：a≤0時，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，

a≥1時，f(x)在[0,+∞)上遞增，

a∈(0,1)時，f(x)在(0,12ln1a)上單調(diào)遞減，f(x)在(12ln1a,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)因為f(x)不是單調(diào)函數(shù)，由(1)知，a∈(0,1)，且f(x)在(0,12ln1a)上單調(diào)遞減，

在(12ln1a,+∞)上單調(diào)遞增，要使得f(x)有2個零點(diǎn)x1、x2，

則必有f(12ln1a)=12(1?ln1a)<0，所以，a∈(0,1e)，

又當(dāng)a∈