第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省東莞市五校聯(lián)考高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖①、②、③、④分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，其對(duì)應(yīng)的線性相關(guān)系數(shù)分別為r1,r2,r3,A.r1 B.r2 C.r32.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,2)，則D(2ξ+1)=(

)A.4 B.5 C.7 D.83.為維護(hù)市場(chǎng)秩序，保護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，在“五一”假期來(lái)臨之際，我市物價(jià)部門對(duì)某商品在5家商場(chǎng)的售價(jià)x(元)及其一天的銷售量y(件)進(jìn)行調(diào)查，得到五對(duì)數(shù)據(jù)(xi,yi)?(i=1,2,3,4,5)，經(jīng)過(guò)分析、計(jì)算，得x=10，y=8，y關(guān)于xA.?1 B.1 C.?3 D.34.一個(gè)三位自然數(shù)abc的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b且c>b時(shí)稱為“凹數(shù)”；若a,b,c∈{0,2,3,4,5}，且a，b，c互不相同，則“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為A.20 B.36 C.24 D.305.在(2x?1x2)nA.2017 B.2018 C.2019 D.20206.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則P(B|A)=(

)A.38 B.1340 C.13457.設(shè)甲、乙兩人每次投進(jìn)籃球的概率分別為13與23，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投進(jìn)，下一次由另一人投籃；若沒(méi)有投進(jìn)，則繼續(xù)投籃，甲、乙兩人首次投籃的可能性相同，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為(

)A.427 B.827 C.10278.已知點(diǎn)P在曲線y=2x2?lnx上，點(diǎn)Q在y=3x?4直線上，則A.d=31010 B.d=39.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將產(chǎn)品銷量為x件時(shí)的總收益稱為收益函數(shù)，記為Rx，相應(yīng)地把導(dǎo)函數(shù)R′x稱為邊際收益函數(shù)，它可以幫助企業(yè)決定最優(yōu)的生產(chǎn)或銷售水平．假設(shè)一個(gè)企業(yè)的邊際收益函數(shù)R′(x)=1000?x(注：經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及的函數(shù)有時(shí)是離散型函數(shù)，但仍將其看成連續(xù)函數(shù)來(lái)分析).①當(dāng)銷量為1000件時(shí)，總收益最大；②若銷量為800件時(shí)，總收益為T，則當(dāng)銷量增加400件時(shí)，總收益仍為T；③當(dāng)銷量從500件增加到501件時(shí)，總收益改變量的近似值為500．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.310.小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為p(0<p<1)，他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點(diǎn).但他沒(méi)有留意自己一共擲了多少次骰子.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)，現(xiàn)以使P(X=6)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使P(X=6)最大，則取其中的最小N值).下列說(shuō)法正確的是(

)A.E(X)>6 B.E(X)<6

C.E(X)=6 D.E(X)與6的大小無(wú)法確定二、多選題：本題共1小題，共6分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。11.某同學(xué)用收集到的6組數(shù)據(jù)對(duì)xi,yi(i=1,2,3,4,5,6)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖(點(diǎn)旁的數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo))，并計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，樣本相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R12，經(jīng)過(guò)殘差分析確定B為離群點(diǎn)，把它去掉后，再用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為y=b2x+a2A.b1>0 B.b2<0

C.直線l三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)變量ξ～N(μ,σ2)，P(ξ≤4)=12，P(ξ>3)=5613.若(2x+3)4=a14.A、B為y=1?x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，過(guò)A、B的切線與x軸圍成面積的最小值為

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．16.(本小題15分)已知箱子中有除顏色外其他均相同的8個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．(1)求有放回抽樣時(shí)，取到白球的次數(shù)X的分布列與方差；(2)求不放回抽樣時(shí)，取到白球的個(gè)數(shù)Y的分布列與期望．17.(本小題15分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=12時(shí)，求曲線y=fx(2)若函數(shù)fx有極小值，且fx的極小值小于1?a218.(本小題17分為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表．

年齡次數(shù)20,3030,4040,5050,60每周0～2次70553659每周3～4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在20,40的鍛煉者稱為青年，年齡在40,60的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在30,40與50,60的人數(shù)分別為X,Y,ξ=|X?Y|，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為13參考公式：χ2附：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小題17分信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，…，nn∈N?，且PX=i=pi(1)證明：當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，HX(2)若n=3，且pk+1?pk=(3)重復(fù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面朝上則繼續(xù)拋，如果反面朝上就立即停止，且拋20次后即使沒(méi)有出現(xiàn)反面朝上也停止，若將停止時(shí)拋擲硬幣的次數(shù)記為X，求HX．

參考答案1.A

2.D

3.A

4.A

5.C

6.B

7.C

8.A

9.D

10.B

11.AC

12.2313.1

14.815.(1)函數(shù)f(x)=x3?3mx+且f令f′(x)>0，解得x>m令f′(x)<0，解得?所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?m(2)由(1)知函數(shù)f(x)在(?∞,?在(?m,則f(x)極大值=f且當(dāng)x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，當(dāng)x→+∞要使得函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則需滿足f解得0<綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍(0,4)．

16.(1)有放回抽樣時(shí)，取到白球的次數(shù)X可能的取值為0，1，2，3．每次抽到白球的概率均為15，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則X～B(3,所以P(X=0)=(45P(X=2)=C32則X分布列為：X0123P6448121則D(X)=3(2)不放回抽樣時(shí)，則Y～HP(Y=0)=C20C8則Y的分布列為：Y012P771則E(Y)=3

17.解：(1)當(dāng)a=12時(shí)，fx=lnx+1因?yàn)閒1=0，所以fx在(2)因?yàn)閒x=ln則f′①當(dāng)a≤0時(shí)，f′x>0恒成立，此時(shí)函數(shù)fx②當(dāng)a>0時(shí)，令f′x=0，可得x0,aaa,+∞f′?0+f遞減極小值遞增所以f(x)由題意可得lna+1?a<1?a2令ga=a因?yàn)間′a=2a+1所以函數(shù)ga在0,+∞所以由ga<g1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,1．18.解：(1)零假設(shè)：H0由題得2×2列聯(lián)表如下：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷H0即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．(2)由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在[30,40),[50,60]內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，ξ的所有可能取值分別為為0，1，2，所以P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)

=CP(ξ=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=2)

=CP(ξ=2)=P(X=0,Y=2)=C所以ξ的分布列為：ξ012P20315所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×20(3)記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件D，

則P(A)=1P(D|A)=1則P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

=1所以小明星期天選擇跑步的概率為12

19.(1)若n