/專題18.35正方形（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．正方形具有而矩形不一定具有的性質是（

）A．四個角都是直角 B．對角線相等C．四條邊相等 D．對角線互相平分2．已知四邊形是平行四邊形，下列說法正確的是（）A．當時，四邊形是矩形B．時，四邊形是菱形C．當時，四邊形是菱形D．當時，四邊形是正方形3．如圖，正方形紙片ABCD：①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH，則判定△BCH為等邊三角形的依據是（）三個角都相等的三角形是等邊三角形 B．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形C．三邊都相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形4．將4個邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點，，分別是三個正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．85．已知：如圖，，是正方形的對角線上的兩點，且．那么四邊形不具備的條件是（

）A．對角線相等 B．四邊相等 C．對角線互相垂直 D．對邊平行6．如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定7．如圖，點E是正方形對角線上一點，過E作交于F，連接，若，，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知點E在正方形的邊上，以為邊向正方形外部作正方形，連接，M，N分別是的中點，連接MN．若，則（

）A．25 B． C．12 D．9．如圖，正方形和正方形的頂點，，在同一直線上上，且，，給出下列結論：①；②；③；④的面積為3．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在邊長為的正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且于點F，連接DE，當時，（）A．1 B． C． D．二、填空題11．如圖在3×3的正方形網格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝___度．12．在正方形中，．若，則的長是___________．13．如圖，直線，，分別過正方形的三個頂點，，，且相互平行，若，的距離為，，的距離為2，則正方形的邊長為____．14．如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．若FN＝3，則正方形紙片的邊長為________．15．如圖，為上任意一點，分別以為邊在同側作正方形、正方形，設，則為________16．如圖，在矩形中，對角線相交于點，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______，使矩形是正方形．17．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中點，那么CH的長是_____．18．如圖，在正方形中，．E、F分別為邊的中點，連接，點N、M分別為的中點，連接，則的長度為______．三、解答題19．如圖，在正方形ABCD中，E，F是對角線BD上的點，且，求的度數．20．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．21．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若AB=AD，求∠ADE的度數．22．如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當∠APB繞點P旋轉時，①OA+OB的值是否發生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形．(2)若∠AOE=90°，AE=2時，四邊形AECD是什么四邊形，并求ABCE的面積．24．如圖，在正方形中，P是對角線上的一點，點E在的延長線上，且．求證：；求證：；把正方形改為菱形，且，其他條件不變，如圖．連接，試探究線段與線段的數量關系，并說明理由．參考答案1．C【分析】根據矩形的性質，正方形的性質即可求解．解：矩形的性質，兩組對邊平行且相等，對角線相等且相互平分，四個角都相等且都是直角；正方形的性質，四邊都相等且兩組對邊相互平行，對角線相等且相互平分，四個角都相等且都是直角，∴正方形的四條都相等，是矩形沒有的，故選：．【點撥】本題主要考查矩形的性質，正方形的性質，掌握幾何圖形的性質是解題的關鍵．2．B【分析】根據菱形，矩形，正方形的判定條件逐個分析即可．解：A選項：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故錯誤；B選項：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故正確；C選項：有一個內角為的平行四邊形是矩形，故錯誤；D選項：對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤．故選B．【點撥】本題主要考查特殊四邊形的判定條件，能夠熟記判定定理是解題關鍵．3．C【分析】根據正方形的性質，翻折變換的性質可得BH=BC，因為EF是BC的垂直平分線，利用垂直平分線的性質，可得BH=CH，又根據折疊的性質可知BH=AB，故BH=CH=BC，因此是等邊三角形．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，由翻折變換得：AB=HB，∴BH=BC，由翻折變換知：EF是BC的垂直平分線，∴BH=CH，∴BH=CH=BC，∴△BHC是等邊三角形，故選：C．【點撥】本題考查翻折變換，直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的判定，掌握等邊三角形的判定方法是正確解答的關鍵．4．B【分析】如圖：連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，易證≌，可得的面積是正方形的面積的，即每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，即可解答.解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．【點撥】本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點可知，每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，據此解題解答本題的關鍵是發現每個陰影部分的面積都等于正方形面積的．5．A【分析】正方形，且，可證得四邊形是平行四邊形，是菱形，由此平行四邊形的性質，菱形的性質即可求解．解：∵，是正方形的對角線上的兩點，且，∴根據“邊邊邊”關系可得，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，且鄰邊相等，∴四邊形是菱形，∴四邊形具備的條件有四邊相等，對角線相互垂直，對邊平行，不具備的條件時對角線相等，故選：．【點撥】本題主要考查正方形的性質，理解和掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質是解題的關鍵．6．A【分析】根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=45°，再根據菱形的四條邊都相等可得BD=DF，根據等邊對等角可得∠DBF=∠DFB，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和進行計算即可得解．解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，在菱形BDFE中，BD=DF，所以，∠DBF=∠AFB，在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，解得∠AFB=22.5°．故選：A．【點撥】本題考查了正方形的四個角都是直角，對角線平分一組對角的性質，菱形的四條邊都相等的性質，以及等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．7．D【分析】過點E作于點H，證明四邊形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，進而可求得正方形的邊長，再根據勾股定理可求解．解：過點E作EH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，，，∴，，，∴，故選：D．【點撥】本題考查了正方形的判定及性質，勾股定理的應用，熟練掌握正方形的判定及性質，正確作出輔助線利用勾股定理是解題的關鍵．8．D【分析】連接，在中利用勾股定理求出的長，然后在中利用三角形中位線定理求出的長．解：連接，如圖所示，∵四邊形是正方形，∴．∵四邊形是正方形，∴．∴．在中，．∵M、N分別是的中點，∴是的中位線．∴．故選：D．【點撥】本題考查了正方形的性質與三角形中位線的定義及性質，正確添加輔助線是解答本題的關鍵．9．B【分析】①根據正方形的性質和平角的定義可求∠COD；②根據正方形的性質可求OE，再根據線段的和差關系可求AE的長；③作FG⊥CO交CO的延長線于G，過D作DH⊥AE于H，根據含45°的直角三角形的性質可求FG，根據正方形的性質可得DH=OH=1，根據勾股定理可求CF，AD，即可求解；④根據三角形面積公式即可求解．解：①∵四邊形OABC和四邊形ODEF是正方形，A，O，E共線，∴∠AOC=90°，∠DOE=45°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正確；②∵EF=，∴OE==2，∵AO=AB=3，∴AE=AO+OE=2+3=5，故正確；③作FG⊥CO交CO的延長線于G，過D作DH⊥AE于H，四邊形DOFE為正方形，OH=DH=OE=1，∠GOF=45°，則FG=1，∴CF===，AD===，即CD=AD=，故錯誤；④△COF的面積S△COF=×CO×GF=×3×1=，故錯誤；故選：B．【點撥】本題考查了正方形的性質，含45°的直角三角形的性質，三角形面積，勾股定理，平角的定義，綜合性較強，有一定的難度．10．C【分析】證明，則，計算的長，得，證明是等腰直角三角形，可得的長．解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，故選：C．【點撥】本題考查正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是在正方形中學會利用等腰直角三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．11．135【分析】根據圖形和正方形的性質可知∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°，再把它們相加可得∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5的度數．解：觀察圖形可知∠1與∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2與∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°，∴∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5＝（∠1＋∠5）＋（∠2＋∠4）-∠3＝135°．故答案為：135．【點撥】此題結合網格的特點考查了余角，注意本題中∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°是解題的關鍵．12．2【分析】設交于點G，證明，即可求解．解：如圖，設交于點G，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴（AAS），∴．故答案為：2【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，證得是解題的關鍵．13．【分析】過點D作交于點E，交于點F，可得，再證明，可得，然后由勾股定理，即可求解．解：解∶如圖，過點D作交于點E，交于點F，∵，∴，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，，即正方形的邊長為．故答案為：【點撥】本題利用了全等三角形的判定的性質，勾股定理，正方形的性質求解，作輔助線，構建三角形全等是關鍵．14．【分析】設正方形的邊長為a，根據折疊得出，，根據勾股定理列出關于a的方程，解方程即可．解：設正方形的邊長為a，則根據折疊可知，，，在Rt△BFN中，根據勾股定理可知，，即：，解得：或（舍去）．故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的折疊問題，勾股定理的應用，設出正方形的邊長，根據勾股定理列出關于a的方程，是解題的關鍵．15．##【分析】根據正方形的性質先表示出的度數，然后利用“”證明，證得即可求得答案．解：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，在和中，，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，對于解決四邊形的問題往往是通過解決三角形的問題而實現的．16．AC⊥BD（答案不唯一）【分析】根據正方形的判定定理可直接進行求解．解：∵四邊形是矩形，∴根據“一組鄰邊相等的矩形是正方形”可添加：或或或，根據“對角線互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，故答案為AC⊥BD（答案不唯一）．【點撥】本題主要考查正方形的判定定理，熟練掌握正方形的判定是解題的關鍵．17．解：連接AC、CF，根據正方形性質求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【解答】解：如圖，連接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2，∴AC＝2，CG＝3，∴CF＝6，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝，∵H是AF的中點，∴CH＝AF＝×＝．故答案為：．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，正方形的性質，勾股定理，熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．18．3【分析】連接AM，延長AM交CD于G，連接FG，由正方形ABCD推出，，，證得，得到，，根據三角形中位線定理得到，由勾股定理求出FG即可得到MN．解：連接AM，延長AM交CD于G，連接FG，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∵M為DE的中點，∴，在中，∴，∴，，∴，∵點N為AF的中點，∴，∵F為BC的中點，∴，∴，∴．故答案為：3．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定、勾股定理，三角形中位線定理，正確做出輔助線且證出是解決問題的關鍵．19．【分析】由正方形的性質得，，，結合可證，利用三角形內角和定理即可求出的度數．解：在正方形ABCD中，，，．又∵，∴，，∴，，∴．【點撥】本題考查正方形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等，熟練掌握正方形的性質以及等邊對等角的性質是解題的關鍵．20．(1)見分析 (2)【分析】（1）根據正方形的性質可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS證得△ADE≌△ABF；（2）根據勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性質可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延長線上的點，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝＝4，由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．21．(1)見分析 (2)135°【分析】（1）先由兩組對邊平行證明四邊形OCED是平行四邊形，再由OD=OC證明四邊形OCED是菱形；（2）先證矩形ABCD是正方形，再由正方形的性質得∠BDC=∠ACD=，再由平行線的性質得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解．（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵矩形ABCD對角線AC，BD相交于點O，∴OD=OC．∴四邊形OCED是菱形．（2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠BDC=∠ACD=．∵DE∥AC，∴∠EDC=∠ACD=45°，∴∠ADE=90°+45°=135°．【點撥】本題考查菱形的判定、正方形的判定與性質以及平行線的性質，由正方形的性質得出∠BDC=∠ACD=是解題的關鍵．22．(1)P（2，2）；(2)①不變，定值為4；②OA2+OB2的最小值為8．【分析】（1）根據在第一象限的角平分線OC上的點的橫坐標與縱坐標相等，構建方程求出m即可．（2）①過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．證明四邊形OMPN是正方形，再證明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得結論；②根據垂線段最短原理以及勾股定理即可求解．（1）解：∵點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m-1=-2m+4，∴m=1，∴P（2，2）；（2）①過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四邊形OMPN是矩形，∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，∴PM=PN，∴四邊形OMPN是正方形，∵P（2，2），∴PM=PN=OM=ON=2，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，∴∠MPB=∠NPA，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM=AN，∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．②連接AB，∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2．∵∠BPA=90°，∴AB2=PA2+PB2=2PA2，∴OA2