/專題18.27矩形（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．能夠判斷一個四邊形是矩形的條件是（

）A．對角線相等 B．對角線垂直C．對角線互相平分且相等 D．對角線垂直且相等2．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，交BD于點E，，則的度數為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°3．如圖，在矩形中，，，點E在邊上，若平分，則的長為(

)A． B． C． D．4．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA=OC，OB=OD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（

）A．OA=OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．5．已知如圖，，，，，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．66．在矩形ABCD中，點A關于角B的角平分線的對稱點為E，點E關于角C的角平分線的對稱點為F，若AD＝AB＝3，則S△ADF＝（）A．2 B．3 C． D．7．如圖，在矩形中，點，分別是邊，的中點，連接，，點，分別是，的中點，連接，若，，則的長為（

）A． B． C． D．38．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，過點作軸于點，軸于點，點在上，將沿直線翻折，點恰好落在軸上的點處，則點的坐標為（

）A． B． C． D．9．如圖，在等邊的，邊上各取一點，，使，，相交于，若，則點到的距離等于（

）A．1 B．2 C． D．10．如圖，平行四邊形中，對角線，相交于，，，，分別是，，的中點，下列結論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④二、填空題11．如圖，已知矩形的對角線與相交于點，若，那么______．12．如圖，過矩形的對角線上一點分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關系是．（填“”或“”或“”）13．如圖，在平面直角坐標系中，矩形中，，，將沿對角線翻折，使點落在處，與軸交于點，則點的坐標為______．14．在一張矩形紙片中，，M，N分別為，的中點，現將這張紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在上的點F處，則的長為________．15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，則∠COE的大小為____．16．四邊形中，交于O，給出條件①；②；③；④．其中能推得四邊形是矩形的是（填序號）___________．17．如圖，在中，平分，于點F，D為的中點，連接延長交于點E．若，，則線段的長為_____________．18．如圖，等邊的頂點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接，若等邊的邊長為2，則線段長的最大值是____．三、解答題19．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，連接BD、EF．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EF⊥BD，求AE的長度．20．如圖，中，，點D是的中點，將沿翻折得到，連接．(1)求證：；(2)連接，猜想的形狀，并說明理由．21．如圖，在中，，為邊上的中線，點E為AD的中點，作點B關于點E的對稱點F，連接，．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，求的長．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面積．23．如圖，長方形OABC的OA邊在x軸上，OC邊在y軸上，，，在邊AB上取一點E，使沿CE折疊后，點B落在x軸上，記作點D．(1)請直接寫出點A的坐標、點C的坐標和點B的坐標；(2)求點D的坐標；(3)請直接寫出點E的坐標．24．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數．參考答案1．C【解析】略2．B【分析】根據矩形的性質可得OA=OD，從而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．解：在矩形ABCD中，OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，∴∠ADO=55°，∵，即∠AED=90°，∴∠DAE=35°．故選：B【點撥】本題主要考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的對角線相等且互相平分是解題的關鍵．3．C【分析】利用角平分線和平行線內錯角相等，可證明，則ED=AD，則可用勾股定理求出ED．解：∵四邊形是矩形，∴，AB=CE=3∴∵平分∴∴∴ED=AD=8∴故選：C．【點撥】本題考查了角平分線、平行線性質，靈活運用相關知識進行角度代換是解題關鍵．4．B【分析】根據矩形的判定對各選項逐一判斷即可得．解：∵四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴，A、OA=OB，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項錯誤；B、∵BD平分∠ABC，∴，∵，∴，∴，∴AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形，故該選項正確；C、AD⊥CD，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項錯誤；D、由可得，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項錯誤；故選B．【點撥】本題主要考查矩形的判定，解題的關鍵是掌握矩形的各判定及菱形的判定．5．C【分析】過點D作于G，過點E作，交的延長線于點F，先證明（AAS），從而得，再證明四邊形為矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面積公式計算即可得出答案．解：過點D作于G，過點E作，交的延長線于點F又∵∴∴∴在和中，∴（AAS），∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，又∵，∴，的面積為：；故選C．【點撥】此題考查全等三角形判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的面積計算，解題關鍵在于掌握各性質定義.6．C【分析】由AD=AB=3，可求得AB=，AD=3，又由在矩形ABCD中，點A關于角B的角平分線的對稱點為E，點E關于角C的角平分線的對稱點為F，根據軸對稱的性質，可求得BE，CF的長，繼而求得DF的長，于是求得答案．解：∵AD＝AB＝3，∴AB＝，AD＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝，∵在矩形ABCD中，點A關于角B的角平分線的對稱點為E，點E關于角C的角平分線的對稱點為F，∴BE＝AB＝，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝3﹣，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣3，∴S△ADF＝AD?DF＝×3×（2﹣3）＝3﹣．故選：C．【點撥】此題考查了矩形的性質、軸對稱的性質，三角形面積的計算．注意掌握軸對稱圖形的對應關系．7．B【分析】連接并延長交于，連接，根據矩形的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，根據勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結論．解：連接并延長交于，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵分別是邊的中點，，∵，∴，在與中，，，∵點是的中點，故選：B．【點撥】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．8．B【分析】設，由折疊性質得到，，利用勾股定理計算出，則，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到點的坐標．解：根據題意，畫出圖如圖所示：設，由題意可得，，，與關于直線對稱，，，在中，，，在中，，，即，解得：，點的坐標是，故選：B．【點撥】本題考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，折疊的性質，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關鍵．9．C【分析】作于點，則，先證明，得，再推導出，則，而，得，即可根據勾股定理求得，于是得到問題的答案．解：作于點，則，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，點到的距離等于，故選：C．【點撥】此題重點考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，證明是解題的關鍵．10．B【分析】由平行四邊形的性質可得，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和三角形中位線定理可判斷③錯誤，由，可證四邊形是平行四邊形，可得②正確．由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確．解：如圖，四邊形是平行四邊形，，，又，，且點是中點，，故①正確，、分別是、的中點，，，點是斜邊上的中點，，無法證明，故③錯誤，，四邊形是平行四邊形故②正確，，，，，,，，，平分，故④正確；故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定和性質，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵．11．2【分析】根據矩形的對角線互相平分且相等，求解即可．解：在矩形中，∵對角線與相交于點O，，∴，∴．故答案為：2．【點撥】本題考查了矩形的性質，解答本題的關鍵是掌握矩形的對角線互相平分且相等的性質．12．【分析】將S1、S2分別視為一半矩形的面積減去兩個小三角形的面積，因為，，因此可以判斷S1、S2相等．解：∵四邊形是矩形，MN、PQ平行于矩形的兩邊，∴四邊形MBQK、四邊形KNDP是矩形，∵BD是矩形ABCD的對角線，BK是矩形MBQK的對角線，KD是矩形KNDP的對稱線∴，，，∵，∴S1=S2故答案為：．【點撥】本題考查了矩形，根據題意將所求小矩形面積分割成大三角形減去小三角形是解題的關鍵．13．【分析】設，則，由題意可以求證，從而得到，再根據勾股定理即可求解．解：由題意可知：，，設，則，又∵∴∴在中，，即解得：∴點的坐標為故答案為【點撥】此題考查了矩形的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理以及平面直角坐標系的性質，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．14．4【分析】先過點F作于點H，得矩形，根據三角函數求出的值，再根據勾股定理，求出各邊的值，即可求出答案．解：如圖，過點F作于點H，得矩形．∵M為的中點，∴，，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴．設，則，．在中，，即，解得，∴．【點撥】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理等，解題關鍵是掌握翻折的性質，然后作出相應輔助線．15．75°【分析】根據四邊形ABCD為矩形,利用矩形的對角線互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB與三角形COD都為等邊三角形,進而求出∠ACB為30°,由DE為直角的角平分線,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC為等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代換可得EC=OC,即三角形OEC為等腰三角形,由頂角∠ACB為30°即可求出底角∠COE的度數.解：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=OD,（矩形的對角線相等且互相平分）∵∠AOB=60°,∴∠COD=60°,（對頂角相等）∴△AOB和△COD為等邊三角形,（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）,

∴∠BAC=60°,CD=OC,則∠ACB=30°,（直角三角形兩銳角互余）

∵DE平分∠ADC,∴∠EDC=45°,可得△DCE為等腰直角三角形,∴CD=EC,∴EC=OC,（等量代換）

∴∠COE=∠CEO,∴∠COE=75°（三角形內角和是180°）.故答案為75°.【點撥】解決本題的關鍵是得到所求角所在的三角形的形狀及相應的角的度數.16．③【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質分別對各個選項進行判斷即可．解：①∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；②，不能判定四邊形ABCD是矩形，不符合題意；③∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，符合題意；④，不能推出四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故答案為：③．【點撥】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．17．【分析】根據直角三角形斜邊中線性質得到，結合角平分線推出，得到，進而證得是的中位線，求出即可．解：∵平分，∴，∵于點F，D為的中點，∴，∴，∴，∴，∵D為的中點，∴是的中位線，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質，三角形中位線的應用，正確理解直角三角形斜邊中線的性質及三角形中位線性質定理是解題的關鍵．18．##【分析】取的中點D，連接、，根據直角三角形性質，得出，根據等邊三角形的性質，求出，，根據三角形三邊關系，得出點O、C、D三點共線時，最大，求出最大值即可．解：取的中點D，連接、，如圖所示，∵為直角三角形，D為的中點，∴，∵是邊長為2的等邊三角形，D為的中點，∴，，∴，∵D為的中點，∴，∴，在中，，當點O、C、D三點共線時，最大，此時．故答案為：．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理，三角形三邊關系，直角三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，得出當點O、C、D三點共線時最大．19．(1)見分析 (2)【分析】（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明；（2）結合（1）證明四邊形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根據勾股定理即可解決問題．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，ADBC，∵AE=CF，∴DE=BF，DEBF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形BFDE是平行四邊形，EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，∴DE=BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，根據勾股定理得：BE2=AE2+AB2，∴（4-AE）2=AE2+22，解得AE=．【點撥】此題考查矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，關鍵是根據平行四邊形的判定和性質定理解答．20．(1)見分析 (2)是直角三角形．理由見分析【分析】（1）首先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后根據折疊的性質得到，即可證明出；（2）根據等腰三角形等邊對等角結合三角形內角和定理得到，即可得到是直角三角形．解：（1）證明：∵，點D是的中點，∴，由翻折得，∴；（2）是直角三角形．證明：∵∴，∵，∴，∵，∴即，所以是直角三角形．【點撥】考查的是翻轉變換的性質、直角三角形的性質，翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．21．(1)見分析 (2)【分析】(1)連接DF，可證得四邊形ABDF為平行四邊形，，，再根據等腰三角形的性質可得BD=DC=AF，，即可證得四邊形ADCF是矩形；(2)設AD=x，則，根據勾股定理即可求得AD、BC的長，再根據矩形的性質及勾股定理即可求得BF的長．解：（1）證明：如圖：連接DF，點E為AD的中點，點B與點F關于點E對稱，，BE=FE，四邊形ABDF為平行四邊形，，，，是等腰三角形，又為邊上的中線，，，CD=AF，四邊形ADCF為平行四邊形，四邊形為矩形；（2）解：設AD=BC=x，則，在中，，得，解得或(舍去)，AD=BC=4，四邊形為矩形，，在中，．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關鍵．22．（1）詳見分析；（2）1【分析】（1）證出∠BAD＝∠BCD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA＝OC，OB＝OD，證出AC＝BD，即可解決問題；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解決問題；解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如圖所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面積＝?EC?OF＝1．【點撥】本題考查矩形的性質、三角形的面積、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．23．(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)；(2)(12，0)；(3)(15，4)．【分析】(1)根據矩形的性質即可解決問題；(2)根據折疊的性質和勾股定理即可得OD的長，進而可得點D的坐標；(3)根據折疊的性質和勾股定理即可得DE的長，進而可得點E的坐標．解：（1）∵四邊形OABC