/專題18.40平行四邊形幾何模型（中點四邊形）（培優(yōu)篇）（專項練習）【定義】中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。特征：中點四邊形的形狀由四邊形的對角線位置關系和數(shù)量關系確定【結論1】如圖1、四邊形ABCD為任意四邊形，則四邊形EFGH是平行四邊形。圖1【結論2】如圖2、四邊形ABCD對角線AC垂直于BD,則中點四邊形EFGH是矩形。圖2【結論3】如圖3、四邊形ABCD對角線AC=BD,則中點四邊形EFGH是菱形。圖3【結論4】如圖4、四邊形ABCD對角線AC=BD,則中點四邊形EFGH是正方形。圖4一、單選題1．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為（

）A． B． C． D．不確定2．如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結論正確的是（）①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7周長為；④四邊形AnBnCnDn面積為．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④3．如圖，正方形的邊長為1，順次連接正方形四邊的中點得到第一個正方形，又順次連接正方形四邊中點得到第二個正方形，……，以此類推，則第六個正方形的面積是（

）A． B． C． D．4．如圖，A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中點A3，B3，C3，D3……以此類推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中點An，Bn，Cn，Dn，若四邊形AnBnCnDn的面積為，則n的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題5．如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，且EG、FH交于點O．若AC=4，則EG2+FH2=______．6．如圖，在菱形ABCD中，邊長為10，∠A＝60°．順次連結菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去…則四邊形A2B2C2D2的周長是__，四邊形A2019B2019C2019D2019的周長是__．7．正方形的邊長為1，順次連接正方形四邊的中點得到第一個正方形，又順次連接正方形四邊中點得到第二個正方形，…，以此類推，則第六個正方形的周長為______．第個正方形周長為______．三、解答題8．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點．（1）探究1：連接對角線AC，BD由三角形中位線定理及平行四邊形的判定定理易得四邊形EFGH為（不需要證明）；（2）探究2：觀察猜想：①當四邊形ABCD的對角線AC，BD滿足條件時，四邊形EFGH是菱形；②當四邊形ABCD的對角線AC，BD滿足條件時，四邊形EFGH為矩形．（3）探究3：當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點O在△ABC的內部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC，AC的中點．(1)求證：四邊形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面積．10．我們給出如下定義：把對角線互相垂直的四邊形叫做“對角線垂直四邊形”.如圖，在四邊形中，，四邊形就是“對角線垂直四邊形”.（1）下列四邊形，一定是“對角線垂直四邊形”的是_________.①平行四邊形

②矩形

③菱形

④正方形如圖，在“對角線垂直四邊形”中，點、、、分別是邊、、、的中點，求證：四邊形是矩形.11．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．12．D、E分別是不等邊三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的邊AB、AC的中點，O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．(1)如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數(shù)量關系？為什么？(3)當OA與BC滿足______時，四邊形DGEF是一個矩形(直接填答案，不需證明．)13．已知：在矩形ABCD中，，．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個頂點E、F、H分別在AD，AB，CD上，．①連接BG，若，求AF的長；②設，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關系式．在自變量m的取值范圍內，是否存在m，使菱形EPGH面積最大？若存在，請直接寫出菱形EFGH面積最大值，若不存在，請說明理由．14．在四邊形中，的中點分別為P、Q、M、M；（1）如圖1，試判斷四邊形怎樣的四邊形，并證明你的結論；（2）若在上取一點E，連結，，恰好和都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時四邊形的形狀，并證明你的結論；②當，，求此時四邊形的周長（結果保留根號）．15．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形中心．（1）寫出一種你學過的和美四邊形________；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點O是和美四邊形的中心，分別是邊的中點，連接，記四邊形的面積為，用等式表示的數(shù)量關系（無需說明理由）（4）如圖2，四邊形是和美四邊形，若，求的長．16．通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有密切的聯(lián)系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學習了它的求解方法和應用．如圖1，矩形中，在上，且，點從點出發(fā)，以1個單位每秒的速度在邊上向點運動，設點的運動時間為秒．（1）的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并求出時的值；（2）在點從點向運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，分別是的中點，在點從向運動的過程中，線段掃過的圖形是什么形狀_________________，并直接寫出它的面積___________________________．17．定義：對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列語句能判斷四邊形是“60°等角線四邊形”的是．（填序號）①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形；②對角線所夾銳角為60°的矩形；③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點所形成的四邊形是菱形的四邊形．(2)性質探究：以AC為邊，向下構造等邊三角形△ACE，連接BE，如圖2，請直接寫出AB＋CD與AC的大小關系；(3)請判斷AD＋BC與AC的大小關系，并說明理由；(4)學習應用：若“60°等角線四邊形”的對角線長為4，則該四邊形周長的最小值為．參考答案1．B解：根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據(jù)三角形的中位線定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，則△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即，因此四邊形A1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的，依此類推可得四邊形AnBnCnDn的面積．解：∵四邊形A1B1C1D1的四個頂點A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點，∴A1B1∥AC，A1B1=AC，

∴△BA1B1∽△BAC，∴△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即，又∵四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=4，AC⊥BD，

∴四邊形ABCD的面積是16，∴SA1B1C1D1=×16，

∴四邊形AnBnCnDn的面積=16×=．點睛：本題是一道找規(guī)律問題.熟練應用三角形中位線定理、相似的性質，中點四邊形的性質探究是解題的關鍵.2．A解：①連接A1C1，B1D1．∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；∵AC丄BD，∴A1B1丄A1D1，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），∴四邊形A2B2C2D2是菱形；∴四邊形A3B3C3D3是矩形；∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故①②正確；③根據(jù)中位線的性質易知，A7B7═A5B5=A3B3=A1B1=AC，B7C7=B5C5=B3C3=B1C1=BD，∴四邊形A7B7C7D7的周長是2×（a+b）=，故③正確；④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，∴S四邊形ABCD=ab÷2；由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄倪呅蜛nBnCnDn的面積是，故④錯誤；綜上所述，①②③正確．故選A．考點：1.規(guī)律題；2.中點四邊形．3．A【分析】計算前三個正方形的面積從而得出一般規(guī)律求解.解：順次連接正方形四邊的中點得到第一個正方形則正方形的面積為正方形的面積為正方形的面積為正方形的面積為根據(jù)規(guī)律可得，第六個正方形的面積為【點撥】本題考查了特殊正方形中的面積計算，解題的關鍵在于找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解.4．B解：∵A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點，∴A1B1∥AC，C1D1∥AC，∴A1B1∥C1D1，同理可得，A1D1∥B1C1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形∵A1B1∥C1D1，A1D1∥B1C1，AC⊥BD，∴∠A1B1C1＝∠APC1＝∠AHD＝90°，∴四邊形A1B1C1D1是矩形；∵A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點，∴A1B1＝AC＝3，A1D1＝BD＝5，∴矩形A1B1C1D1的面積＝3×5＝15，同理，A2B2C2D2是菱形；則A2B2C2D2的面積＝15×，A3B3C3D3的面積＝15×，A4B4C4D4的面積＝15×，A5B5C5D5的面積＝15×，AnBnCnDn的面積為15×，∵AnBnCnDn的面積為，∴，即，解得，；故選：B【點撥】本題考查的是中點四邊形的性質，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、根據(jù)圖形的變化找出規(guī)律是解題的關鍵．5．16【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；根據(jù)菱形的性質得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH．在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4，再根據(jù)等式的性質，在等式的兩邊同時乘以4，根據(jù)4=22，把等式進行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值．解：∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ABC、△ACD的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質知，EH=FGBD，EF=HGAC．又∵AC=BD，∴EH=FG=EF=HG，∴四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH，EG=2OE，F(xiàn)H=2OH．在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=4，等式兩邊同時乘以4得：4OE2+4OH2=4×4=16，∴（2OE）2+（2OH）2=16，即EG2+FH2=16．故答案為16．【點撥】本題考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．6．

20

【分析】先證明四邊形A2B2C2D2是菱形，求出A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，求出周長，同理可得A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，進而求出四邊形A2019B2019C2019D2019的周長即可．解：∵菱形ABCD中，邊長為10，∠A＝60°，順次連結菱形ABCD各邊中點，∴△AA1D1是等邊三角形，四邊形A2B2C2D2是菱形，∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，∴四邊形A2B2C2D2的周長是：5×4＝20，同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，…∴四邊形A2019B2019C2019D2019的周長是：．故答案為：20；．【點撥】本題考查了中點四邊形的相關知識，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)中點四邊形性質，分別求出菱形矩形邊長并發(fā)現(xiàn)規(guī)律進行推理是解題關鍵．7．

【分析】利用中位線定理、勾股定理得出，證明正方形的周長是正方形周長的，同理證明正方形的周長是正方形周長的，是正方形周長的，以此類推，可得出第n個正方形周長是正方形周長的，由此可解．解：正方形的邊長為1，順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形，∴，∴正方形的周長是正方形周長的；同理可得正方形的周長是正方形周長的，是正方形周長的；正方形的周長是正方形周長的，是正方形周長的；……以此類推，第n個正方形周長是正方形周長的，∵正方形ABCD的邊長為1，∴正方形ABCD的周長為4，∴第六個正方形的周長是，第n個正方形周長是故答案為：，．【點撥】本題考查正方形的性質、中位線定理、勾股定理等，解題的關鍵在于找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解．8．（1）平行四邊形；（2）①AC=BD；②AC⊥BD；（3）當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由見分析．【分析】（1）由中位線定理得出GH∥AC，GH=AC，同理EF∥AC，EF=AC，得出GH∥EF，GH=EF，從而可得出四邊形EFGH是平行四邊形；（2）①由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，由AC=BD，推出一組鄰邊相等即可得出四邊形EFGH為菱形；②由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，由AC⊥BD，證出∠EHG=90°，得出四邊形EFGH為矩形；（3）由AC=BD得出四邊形EFGH為菱形；由AC⊥BD得出四邊形EFGH為矩形，即可得出四邊形EFGH為正方形．解：（1）∵H、G，分別為AD、DC的中點，∴HG∥AC，HG=AC，同理EF∥AC，EF=AC，∴HG∥EF且EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．故答案為：平行四邊形；（2）①AC=BD，理由如下：由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，又∵H，G分別為AD、DC的中點，∴HG=AC，同理可知HE=BD，又∵AC=BD，∴HE=HG．∴平行四邊形EFGH為菱形，故答案為：AC=BD；②AC⊥BD，理由如下：由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，又∵H，G分別為AD、DC的中點，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴四邊形EFGH為矩形，故答案為：AC⊥BD；（3）當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由如下：當AC=BD時，由（2）①得：四邊形EFGH為菱形；當AC⊥BD時，由（2）②得：四邊形EFGH為矩形，∴四邊形EFGH為正方形．【點撥】本題考查了中點四邊形、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定方法；熟練掌握三角形中位線定理，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．9．（1）證明見分析

（2）21【分析】（1）連接AO并延長交BC于H，首先四邊形DEFG是平行四邊形，然后證得EF⊥DE，從而證得平行四邊形DEFG是矩形；（2）根據(jù)△BOC是等腰直角三角形，求得BC和AH的長，利用三角形的面積計算公式求其面積即可．解：(1)證明：如圖，連接AO并延長交BC于H，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的中垂線，即AH⊥BC.∵D，E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC，AC的中點，(第14題)∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴四邊形DEFG是矩形．(2)解：∵D，E，F(xiàn)分別是AB，OB，OC的中點，∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.∵△BOC是等腰直角三角形，∴OH＝BC＝3.∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.∴S△ABC＝×6×7＝21.【點撥】本題考查了中點四邊形及矩形的判定方法，中點四邊形是中考常考的題目之一，應重點掌握．10．（1）③④；（2）詳見分析【分析】（1）根據(jù)“對角線垂直四邊形"的定義求解；（2）根據(jù)三角形中位線的性質得到HG//EF，HE//GF，則可判斷四邊形EFGH是平行四邊形，再證明∠EHG=90°，然后判斷四邊形EFGH是矩形；解：(1)菱形和正方形是“對角線垂直四邊形，故③④滿足題意.(2)證明：∵點分別是邊、、、的中點，∴，且；，且；.∴.∴四邊形是平行四邊形.∵，∴，又∵，∴.∴.∴是矩形.【點撥】本題考查了中點四邊形：任意四邊形各邊中點的連線所組成的四邊形為平行四邊形，也考查了三角形中位線性質、菱形、正方形的性質.11．(1)證明見分析；(2)菱形，證明見分析.【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．解：（1）如圖1中，連接BD．∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，EHBD．∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，∴FG∥BD，F(xiàn)GBD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．理由如下：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵點E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點，∴EFAC，F(xiàn)GBD．∵AC=BD，∴EF=FG．∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．12．（1）見分析；（2）AO=BC；（3）OA⊥BC．解：試題分析：（1）首先利用三角形中位線的性質得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．∴DE∥BC，DE=BC．同理，GF∥BC，GF=BC．∴DE∥GF，DE=GF．∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）解：解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上．∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，∴點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上時，可得GD=AO，GF=BC，∴DG=GE，∴平行四邊形DEFG是菱形；解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．當OA⊥BC時，DG⊥GF，故平行四邊形DGFE是矩形．故答案是：OA⊥BC．考點：中點四邊形．13．（1）見分析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面積最大為【分析】（1）連接，，由、、、分別是，，，的中點可得，，，又，得，即結論得證；（2）①過點作延長線于，根據(jù)證，得出，根據(jù)勾股定理求出，設，則，再利用勾股定理求出即可；②延長交延長線于，由①知，同理可證，則菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積，得出關于的關系式即可得出最大時菱形面積最大，當與重合時有最大值，求出此時的值即可．解：（1）連接，，、、、分別是，，，的中點，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；（2）①如圖2，過點作延長線于，，，，又，，，，，設，則，，，即，解得，故；②如圖2，延長交延長線于，由已知可得，四邊形是矩形，由①知，同理可證，菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積，，即，，，，，，，當取最大值時菱形面積最大，當與重合時有最大值，即取到最大值，此時，，當時，菱形面積最大為．【點撥】本題主要考查矩形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握矩形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質及勾股定理是解題的關鍵．14．（1）平行四邊形，理由見分析；（2）①菱形，證明見分析；②【分析】（1）連接、．利用三角形中位線定理判定四邊形的對邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；（2）①設的邊長是，的邊長是，由于，，可得平行四邊形的對角線相等，從而得出平行四邊形是菱形；②如圖2，過點作于，則通過解三角形求得，由勾股定理得到．由①知四邊形是菱形，可計算得周長是．解：（1）如圖1，連接、．為的中位線，且，同理且．且，四邊形為平行四邊形；（2）①四邊形是菱形，如圖2，連接AC，BD，∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，∴∠AEC=∠DEB，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵點M，N是AD，CD的中點，∴MN是△ADC的中位線，∴MN=AC，同理：PN=BD，∴MN=PN，由（1）知，四邊形PQMN是平行四邊形，∴平行四邊形PQMN是菱形；②過點作于，則，又，，由①知四邊形是菱形，可計算得周長是．【點撥】本題考查了中點四邊形以及菱形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質，解題時，利用了三角形中位線的性質定理．15．（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計算即可．解：（1）正方形是學過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是矩形，故選：A．（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，則∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴△AOE的面積＝△BOE的面積，△BOF的面積＝△COF的面積，△COG的面積＝△DOG的面積，△DOH的面積＝△AOH的面積，∴S1+S3＝△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積＝S2+S4；（4）如圖2，連接AC、BD交于點O，則AC⊥BD，∵