/專題18.46矩形、菱形、正方形（存在性問題）（專項練習）1．如圖，在中，，，，點從點出發沿方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點從點A出發沿方向以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點，運動的時間是秒（），過點作于點，連接，．(1)填空：的長是________；(2)在，的運動過程中，線段與有什么關系？請證明．(3)在，的運動過程中，是否存在四邊形為菱形？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．2．在正方形中，，、分別是、邊上的動點，以、為邊作平行四邊形．(1)如圖1，連接，若，試說明與的關系；(2)如圖2，若為的中點，在邊上是否存在某個位置，使得四邊形為菱形？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．3．如圖，長方形中，點、的坐標分別為、，點為中點；(1)尺規作圖：請作出的角平分線，交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求直線的函數表達式；(3)在線段上是否存在一點P使最小，若存在求出此時的最小值；若不存在請說明理由．4．如圖，平面直角坐標系中，矩形的對角線，(1)求B、C兩點的坐標；(2)把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，與相交于點F，求四邊形的面積；(3)若點M在直線上，平面內是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.5．如圖，點為矩形的對稱中心，，，點，，分別從，，三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點的運動速度為，點的運動速度為，點的運動速度為．當點到達點（即點與點重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，關于直線的對稱圖形是，設點，，運動的時間為（單位：）．(1)當s時，四邊形為正方形．(2)當為何值時，以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形可能全等？(3)是否存在實數，使得點與點重合？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．6．如圖，已知正方形的邊長，E為邊上一點且長為，動點P從點B出發以每秒的速度沿射線方向運動．在點P的運動過程中，把沿折疊，點B落在點處．設運動時間為t秒．(1)當時，為直角；(2)是否存在某一時刻t，使得點到直線的距離為？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點，直線與y軸交于點．(1)求直線的函數解析式；(2)將沿直線翻折得到，使點O與點C重合，與x軸交于點D．求證：；(3)在直線下方是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，點為軸負半軸上一點，，．(1)求的度數．(2)如圖1，若點的坐標為，，求點的坐標（結果用含的式子表示）．(3)如圖2，在（）的條件下，若，過點作軸于點，軸于點，點為線段上一點，若第一象限內存在點，使為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的點坐標，并選取一種情況計算說明．9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸、軸上，且，為直線上一動點，連，過作，交直線、直線于點、，連．(1)求直線的解析式．(2)當為中點時，求的長．(3)在點的運動過程中，坐標平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點的橫坐標，若不存在，請說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC的頂點、，將矩形OABC的一個角沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與x軸交于點D．(1)線段OB的長度為___________；(2)求直線BD所對應的函數表達式；(3)若點Q在線段BD上，在線段BC上是否存在點P，使以D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是長方形，O為坐標原點，頂點A，C分別在y軸、x軸上，頂點B在第二象限內，一次函數的圖象分別與坐標軸交于點A，C．(1)如圖①，將折疊使得點C落在長方形的邊上的點E處，折痕為，求點B，E的坐標；(2)如圖②，將折疊使得點B落在對角線上的點E處，折痕為，求點D的坐標；(3)在平面直角坐標系內，是否存在一點E(除點B外），使得與全等？若存在，寫出所有符合條件的點E的縱坐標；若不存在，請說明理由．12．綜合與探究如圖，直線與直線交于點（4，），直線與x軸交于點（8，0），點C從點O出發沿向終點B運動，速度為每秒1個單位，同時點D從點B出發以同樣的速度沿向終點O運動，作軸，交折線于點M，作軸，交折線于點N，設運動時間為t．求直線的表達式；在點C，點D運動過程中．①當點M，N分別在，上時，求證四邊形是矩形．②在點C，點D的整個運動過程中，當四邊形是正方形時，請你直接寫出t的值．點P是平面內一點，在點C的運動過程中，問是否存在以點P，O，A，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．13．如圖，正方形的邊分別在x軸和y軸上，頂點B在第一象限，，點E、F分別在邊和射線上運動（E、F不與正方形的頂點重合），，設，(1)當時，則_________，___________；(2)當點F在線段上運動時，若的面積為，求t的值．(3)在整個運動過程中，平面上是否存在一點P，使得以P、O、E、F為頂點，且以為邊的四邊形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．14．如圖，平面直角坐標系中，長方形的邊在軸上，邊在軸上，且，．(1)在長方形的邊上找一點，使得直線將長方形的面積分成1:3兩部分，則點的坐標為．(2)如圖，已知點在邊上，且，請你在邊上找一點，將沿翻折，使得點恰好落在軸上的點處．求線段所在直線的函數表達式；在線段上是否存在一點，使得直線將四邊形的面積分成2：3兩部分？若存在，求出符合條件的所有點坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，把矩形放入平面直角坐標系中，使、分別落在x、y軸的正半軸上，對角線所在直線解析式為，將矩形沿著折疊，使點A落在邊上的點D處．(1)求點E的坐標；(2)在y軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．16．將矩形ABCD折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于點F（如圖1和圖2），然后展開輔平，連接BE，EF，BF．(1)操作發現：①在矩形ABCD中，任意折疊所得的是一個______三角形；②當折痕經過點A時，BE與AE的數量關系為______．(2)深入探究：在矩形ABCD中，，．①當是等邊三角形時，求出BF的長．②的面積是否存在最大值？若存在，求出此時EF的長；若不存在，請說明理由．17．在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC為邊向外作正方形ADEB和正方形BCFH．當BC＝m時，正方形BCFH的周長＝（用含m的代數式表示）；連接CE．試說明：三角形BEC的面積等于正方形BCFH面積的一半；已知AC＝BC＝2，且點P是線段DE上的動點，點Q是線段BC上的動點，當P點和Q點在移動過程中，△APQ的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．18．如圖，在中，，點在邊上，，垂足為，以為邊，為直角頂點，作等腰直角，使點落在射線上．(1)當是邊長為6的等邊三角形時，的度數為_______，的長為_______；(2)當時，求的度數；(3)是否存在的情況，如果存在，求，和之間滿足的數量關系；如果不存在，說明理由．19．如圖，平行四邊形中，，，平分交于，且，(1)求證：；(2)求平行四邊形的面積；(3)取中點，動點以每秒個單位的速度從點向點運動，動點以每秒個單位的速度從點向點運動，兩點同時出發，當，中有一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設運動時間為，是否存在，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．20．已知點E是平行四邊形ABCD邊CD上的一點（不與點C，D重合）．(1)如圖1，當點E運動到CD的中點時，連接AE、BE，若AE平分∠BAD，證明：CE=CB．(2)如圖2，過點E作EF⊥DC交直線CB于點F，連接AF．若∠ABC=120°，BC=2．若AB=4．在線段CF上是否存在一點H．使得四邊形AFHD為菱形？若存在，請求出ED，CH的長；若不存在，請簡單地說明理由．21．已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)求CF的長；(3)如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由．22．如圖，點E為正方形內一動點，．過點B作，且，連接，．(1)求證：；(2)延長至點F，使得，求證：C，F，G三點在同一條直線上；(3)在（2）的條件下，若點E在運動過程中，存在四邊形為平行四邊形．試探究此時，滿足的數量關系．23．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面積；(2)求點C和點D的坐標；(3)在x軸上是否存在點M，使△MDB的周長最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．24．如圖，中，，，．對角線、相交于點O，將直線繞點O順時針旋轉α°，分別交直線、于點E、F．(1)當α＝時，四邊形是平行四邊形；(2)在旋轉的過程中，四邊形可能是菱形嗎？如果能，求出此時α的值；如果不能，說明理由；(3)在旋轉過程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4個點為頂點的四邊形是矩形？如果存在，直接寫出矩形的名稱及對角線的長度；如果不存在，說明理由．參考答案1．(1) (2)線段與平行且相等．證明見分析 (3)存在；，【分析】（1）在中，，，，則，由勾股定理求得的長．（2）先證四邊形是平行四邊形，從而證得線段與平行且相等．（3）由四邊形為平行四邊形．根據使四邊形為菱形則需要滿足的條件即可求得答案．解：（1）在中，，，，∴，∴，故答案為：（2）線段與平行且相等．證明：∵于點，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．∴線段與平行且相等．．（3）存在；，求解過程如下：由（2）得四邊形為平行四邊形．∵，，∴，若使四邊形為菱形，則需，即，解得，即當時，四邊形為菱形．【點撥】此題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定，直角三角形30度角的性質、勾股定理、動點問題，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．2．(1)，且，理由見分析 (2)F在AB邊上存在時，使得四邊形EFDG為菱形【分析】（1）根據正方形的性質，得出，，再判斷和全等，再根據平行四邊形的性質即可得出答案；（2）先判斷存在，設，再根據點E為中點、菱形的性質，通過勾股定理即可得出答案．（1）解：，且．

∵四邊形為正方形，∴，，

在和中，，∴，∴，，

∵∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，且，

．（2）解：存在，理由如下：設，∵，∴，∴，∵點E為中點，∴，

∵四邊形為菱形，∴，由勾股定理可得，即解得

∴F在邊上存在時，使得四邊形為菱形．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、菱形的性質、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定、平行四邊形和菱形的性質、勾股定理．3．(1)見分析 (2) (3)存在；【分析】（1）根據尺規作角平分線的步驟作圖即可；（2）先求出點、點的坐標，然后用待定系數法求函數的表達式即可；（3）作點關于直線的對稱點；連接，交于點；此時三點共線，的值最小；（1）解：作圖如下：（2）解：如圖，作直線；∵平分∴在矩形中，∴∴是等腰直角三角形，∵點的坐標為∴∴∵點為中點∴設直線的函數表達式為：將、代入得：解得：∴直線的函數表達式為：（3）解：存在；如圖，作點關于直線的對稱點；連接，交于點；則∴故當三點共線時，的值最小此時∵平分，點的坐標為∴點的坐標為∵∴即：的最小值為【點撥】本題考查了尺規作角平分線、矩形的性質、求一次函數的表達式、線段的最值問題；熟練運用待定系數法求一次函數表達式、用軸對稱的性質轉化線段是解題的關鍵．4．(1)，；(2) (3)，，【分析】（1）含角直角三角形的性質及勾股定理得、的長度，則可得、的坐標；（2）由折疊性質得，，可證明，則，由矩形可知，四邊形是平行四邊形；設，則，在中，由勾股定理建立方程可求得的值，從而可求得結果；（3）分三種情況考慮：以為邊；為邊，為對角線；若為邊，為對角線；分別利用菱形的性質及相關知識即可求得點的坐標．解：（1），，由勾股定理得：∴，；（2）由折疊的性質得：，四邊形是矩形四邊形是平行四邊形設，則∵在中，∴解得：（3）若以為邊，如圖∵F是中點由（1）知，∴設直線的解析式為把點與點的坐標分別代入得：解得：∴直線解析式∵四邊形是菱形∴∴的解析式設∴解得：∴若為邊，為對角線，如圖∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形∴∴∴∴∴∴∴是的垂直平分線∵四邊形是菱形∴是的垂直平分線∴M與D重合，即設∵與互相平分∴∴，∴若為邊，為對角線如圖∵直線解析式∴直線與y軸的交點為∵，∴∵四邊形是菱形，∴∴M是直線與y軸的交點∵四邊形是菱形，∴，且

∴綜上所述，，【點撥】本題考查了一次函數，菱形的判定與性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，涉及分類討論思想，靈活運用這些知識是解題的關鍵．5．(1)；(2)當或時，以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形可能全等；(3)不存在實數，使得點與點重合．【分析】（1）根據動點表示出相關線段，利用正方形的性質，得到，列一元一次方程求解即可；（2）以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形可能全等分和兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；（3）本問為存在型問題，假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們不相等，互相矛盾，所以不存在．解：（1）由題意可知：，，，，，四邊形為正方形，，，解得：，故答案為；（2）當時,，即：，解得，當時,，即：，解得，即當或時，以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形可能全等；（3）假設存在實數t，使得點使得點與點重合，由對稱可知：連接,作的垂直平分線交于E，交于F，過O作于M，作于N，由（2）可知，，在與中，,，，解得：，，解得：，，所以，不存在實數，使得點與點重合．【點撥】本題為全等三角形的綜合題，考查了矩形性質、軸對稱、全等三角形的判定性質、勾股定理、解方程等知識點；題熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．6．(1) (2)存在，或．【分析】（1）由正方形的邊長，且長為，得到，由折疊可得，，求得，即可求得（2）存在，過點作，交，于點M，N，過E作，交于H，得到四邊形是矩形，然后分兩種情況討論可得到t的值解：（1）∵正方形的邊長，E為邊上一點且長為，∴，當時，，∴由折疊可得，，又∵，∴，∴，∵點P從點B出發以每秒的速度沿射線方向運動，∴（秒），故答案為：（2）存在，過點作，交，于點M，N，過E作，交于H，∵，，∴四邊形是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴四邊形是矩形，同理可得：四邊形是矩形．①如圖，若點P在之間時，則，，∵，，由折疊可得，，∴中，，∴，設，∴，，∵中，，∴，解得：．∴，∴；②如圖2，若點P在右邊時，則，，由折疊可得，，∴中，，∴，設，∴，∵中，，∴，解得：．∴，∴．綜上所述，t的值為或．【點撥】本題考查了正方形的性質、翻折變換（折疊問題）和勾股定理，熟練掌握分類討論的數學思想是解題的關鍵．7．(1) (2)見分析 (3)，，【分析】（1）先將代入直線的解析式，求出A點坐標，再利用待定系數法求直線的函數解析式；（2）先利用兩點間距離公式求出，推出．再利用折疊的性質得出，等量代換可得，根據內錯角相等即可證明；（3）過點作，，過點作，，連接，，，與交于，可得四邊形是正方形，則，，均為等腰直角三角形．分別求出，，的坐標即可．（1）解：直線與直線相交于點，，解得，，將，代入，得：，解得，直線的函數解析式為；（2）解：，，，，，．沿直線翻折得到，，，；（3）解：如圖，過C作于M，，，，．由折疊的性質可知，，，．過點作，，過點作，，連接，，，與交于，則四邊形是正方形，，，均為等腰直角三角形．作軸于N，，，，，又，，，，，，；四邊形是正方形，是的中點，也是的中點，，，的橫坐標為，縱坐標為，，，的橫坐標為，縱坐標為，，綜上，點P的坐標為：，，．【點撥】本題考查求一次函數解析式，折疊的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質等，解題的關鍵是通過作圖找出符合條件的P點的位置．8．(1)180° (2)點的坐標為 (3)滿足條件的點N的坐標為或或，過程見分析【分析】（1）如圖1中，設與y軸交于點E．根據四邊形內角和定理，只要證明即可解決問題；（2）作于H，證明，即可得到點D的坐標．（3）分四種情形，利用全等三角形的性質，列出方程分別求解即可．（1）解：如圖1中，設與y軸交于點E．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，作于H．∵，，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴點D的坐標為；（3）解：①如圖2中，作于G，的延長線交于H．∵是等腰直角三角形，∴，由，得，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②如圖3中，作于G，于H．由，得，∴，∴，∴，此時點M不在線段上，不符合題意舍去；③如圖4中，作于G，的延長線交于H．由得，∴，∴，∴；④如圖5中，作于G，于H．由得，∴，∴，∴，∴．綜上所述，滿足條件的點N的坐標為或或．【點撥】本題考查三角形綜合題、四邊形內角和定理、坐標與圖形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會解題常用輔助線，構造全等三角形解決問題．9．(1)直線解析式： (2) (3)存在，點橫坐標為：或或【分析】（1）根據矩形的性質，得出點A和點C的坐標，設直線的解析式：，將點A和點C的坐標代入即可；（2）證明，根據勾股定理求解即可；（3）根據菱形是性質和判定定理，進行分類討論即可；以，為邊，以，為邊，，③以，為邊，．解：（1）∵矩形的頂點、分別在軸、軸上，且，點，點，設直線的解析式：，代入點，坐標，得，解得，直線解析式：；（2）∵E為的中點，，在矩形中，，，在和中，，，，，為線段的垂直平分線，，設，則，，，，，在中，根據勾股定理，得，解得，；（3）存在以、、、為頂點的四邊形為菱形，分情況討論：以，為邊，則，，為的中點，由可知點，點，根據平移的性質，可得點的坐標為，點的橫坐標為；如圖，以，為邊，，延長至M，使，在的延長線上截取，連接，，，，，，，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，設，在中，，，，，，，點橫坐標為：；③如圖，以，為邊，，作于，連接，作于，可得，平分，，設，在中，，，，，，，，綜上所述：點橫坐標為：或或．【點撥】本題考查了矩形的性質，三角形全等的判定和性質，菱形的判定和性質，線段和最小，勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質，勾股定理，線段最短原理是解題的關鍵．10．(1)15 (2) (3)存在，點P的坐標為【分析】（1）由矩形的性質可得出點B的坐標及OA，AB的長，利用勾股定理可求出OB的長；（2）設，則，，，利用勾股定理可求出a值，進而可得出點D的坐標，再根據點B，D的坐標，利用待定系數法可求出直線BD所對應的函數表達式；（3）過點E作軸于點F，由，可得出，利用面積法可求出EF的長，在中，利用勾股定理可求出OF的長，進而可得出點E的坐標，根據，求出直線PE的解析式，根據點E的縱坐標求出其橫坐標即可．解：（1）解：由題意，可知點B的坐標為，，∴．故答案為：15；（2）設，由折疊的性質可知，，則，由勾股定理可知，即，∴，即，∴，∴點D的坐標為，設直線BD所對應的函數表達式為，將點代入，可得，解得，∴直線BD所對應的函數表達式為；（3）存在，理由如下：過點E作軸于點F，如下圖所示，∵，∴，∴，∴，在中，，∴點E的坐標為，由，可設直線PE的解析式為，把E代入，可得，解得，∴直線PE的解析式為，令，則有，解得，∴存在點P，使以D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖像上點的坐標特征以及平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關知識，并運用數形結合的思想分析解決問題．11．(1)， (2) (3)存在，點E的縱坐標是0或或【分析】(1)首先可求得點A、C的坐標，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標，再根據折疊的性質，即可求得點E的坐標；(2)首先根據矩形的性質及勾股定可理，可求得，由折疊的性質可知：，，，設，則，再根據勾股定理可得，可得，，過點E作于點F，根據面積可求得，再根據勾股定理可得，據此即可求得；(3)分三種情況，根據全等三角形的性質，即可分別求得．解：（1）解：點A、C在直線上，且分別在y軸、x軸上，令，則；令，則，，，四邊形是長方形，，，，又點C沿折疊后落在邊上的點E處，，，；（2）解：由知，，，在中，，由折疊的性質可知：，，，設，則，在中，，，即，解得，，，如圖：過點E作于點F，，得，在中，，，；（3）解：存在，點E的縱坐標是0或或；如圖：設交于點F，作于點H，當點E在第二象限時，，，，又，，，設，則，由勾股定可理得：，解得，，，，，由點的縱坐標為；當點E在第三象限時，同理可證，解得中邊上的高為，則點的縱坐標為，當點E在坐標原點時，顯然，點E的縱坐標為0，綜上所述，存在點E使得與全等，點E的縱坐標為0或或．【點撥】本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題，矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．12．(1) (2)①見分析；②或 (3)存在，（4，），（9，3），【分析】（1）先將點A的坐標代入直線的表達式，求出m的值，再設直線的表達式為，將點（4，3），（8，0）代入直線的表達式，即可求解；（2）①先由，，可得，從而，由題意可知：點C的坐標為（，0），點D的坐標為（，0），可得點M的坐標為，點N的坐標為，故，所以四邊形CMND是平行四邊形，再由，即可判定四邊形是矩形；②分和兩種情況討論，根據正方形的性質可得，即可建立關于t的方程，求解即可；（3）分為菱形的邊和對角線兩種情況討論，利用菱形的性質，以及點的平移規律，即可求解．（1）解：點（4，）在直線上，．點A的坐標為（4，3）．設直線的表達式為．將點（4，3），（8，0）分別代入得，解得．直線的表達式為．（2）解：①，，．．由題意可知：點C的坐標為（，0），點D的坐標為（，0），點M的坐標為，點N的坐標為．．四邊形CMND是平行四邊形．，四邊形CMND是矩形．②當時，由題意可得點C的坐標為（，0），點D的坐標為（，0），點M的坐標為．，．四邊形是正方形，，即．解得．當時，由題意可得點C的坐標為（，0），點D的坐標為（，0），點M的坐標為．，．四邊形是正方形，，即．解得．綜上所述，t的值為或．（3）解：當為菱形的邊時，有或，①當時，如圖，以點P，O，A，C為頂點的四邊形是菱形，，（5，0）點O到點A的平移方向、距離和點C到點P的平移方向、距離是相同的，點O（0，0），點A（4，3），點P（5+4，0+3），即點P（9，3）；②當時，如圖，為菱形的對角線，點P與點A關于x軸對稱，點A（4，3），點P（4，）；當為菱形的對角線時，如圖，以點P，O，A，C為頂點的四邊形是菱形，，點O（0，0），點A（4，3），點C（t，0），，解得，四邊形是菱形，點C到點A的平移方向、距離和點O到點P的平移方向、距離是相同的，點O（0，0），點A（4，3），點，；綜上所述，存在，（4，），（9，3），．【點撥】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式、矩形的判定、正方形的性質、解一元一次方程、菱形的性質、點的平移規律，解題的關鍵是掌握分類討論和數學結合的數學思想解決實際問題．13．(1) (2) (3)或或，理由見分析【分析】（1）由題意可直接得出答案；（2）由題意易得，進而得到，然后求解即可；（3）根據題意易得OF、EF、EO的長，要使以P，O，E，F為頂點的四邊形是菱形，故而有三種情況：一是，二是，三是，然后分別求解即可．解：（1）解：，，，，，；（2）如下圖，作，由題意，得，，由面積得，解得：；（3）由已知得：，，，如果，如下圖，，解得：，如果，如下圖，，解得：，如果，如下圖，解得：．綜上所述，或或．【點撥】本題考查了正方形的性質、菱形的性質，勾股定理，解題的關鍵是能靈活利用數形結合思想及分類討論思想進行分析問題．14．(1) (2)；存在，或【分析】（1）設，分別求出，，再由題意得到或，求出的值即可求點的坐標；（2）過點作軸交于點，由折疊可知，則，在Rt中，，求出，可知點與點重合，再用待定系數法求函數的解析式即可；設，分別求出，，，，根據題意可得或，求出的值即可求點坐標．（1）解：，，，點在上，設，，直線將長方形的面積分成1:3兩部分，或，解得或（舍），，故答案為：；（2）解：，，過點作軸交于點，由折疊可知，，，，，，在Rt中，，解得，點與點重合，，設直線的解析式為，，解得，；存在一點，使得直線將四邊形的面積分成2：3，理由如下：設，，，，，，或，解得或，或．【點撥】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，矩形的性質，直角三角形的性質，折疊的性質是解題的關鍵．15．(1)；(2)點P的坐標為或或或．【分析】（1）由直線解析式求出點A，C的坐標，設，則由折疊的性質可知，求出，，在中，由勾股定理得：，即，解得，即；（2）為等腰三角形，分情況討論：①當時，②當時，③當時，分別建立方程求解即可．（1）解：∵對角線所在直線解析式為，∴令，得，令，得，∴，，，設，則由折疊的性質可知，在中，，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴；（2）解：設，∵，，∴，，，∵為等腰三角形，∴分情況討論：①當時，即，解得：或，∴或；②當時，即，解得：，∴，③當時，即，解得：或（于點D重合，故舍去），∴，綜合以上可得，點P的坐標為或或或．【點撥】本題主要考查一次函數與幾何綜合，掌握一次函數及其應用，等腰三角形與直角三角形的性質，勾股定理，折疊的性質是解題的關鍵．16．(1)①等腰，② (2)①，②2或【分析】（1）①由折疊的性質得，即可得出結論；②當折痕經過點A時，由折疊的性質得AF垂直平分BE，由線段垂直平分線的性質得，證出是等腰直角三角形，即可得出；（2）①由等邊三角形的性質得，，則，由直角三角形的性質得，根據勾股定理即可求解；②當點F在邊BC上時，得，即當點F與點C重合時最大，由折疊的性質得，則；當點F在邊CD上時，過點F作交AB于點H，交BE于點K，則，，得，即當點F為CD的中點時，的面積最大，此時，，點E與點A重合，由勾股定理求出EF即可．解：（1）解：①由折疊的性質得：EF＝BF，∴△BEF是等腰三角形；故答案為：等腰；②當折痕經過點A時，由折疊的性質得：AF垂直平分BE，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴△ABE是等腰直角三角形，∴；故答案為：；（2）①當是等邊三角形時，，，∴，∵，∴，設，則，在中，由勾股定理可得：，，解得：，∴；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，，，∴矩形ABCD的面積，第一種情況：當點F在邊BC上時，如圖1所示：此時可得：，即當點F與點C重合時最大，此時，由折疊的性質得：，即；第二種情況：當點F在邊CD上時，過點F作交AB于點H，交BE于點K，如圖2所示：∵，，∴，即當點F為CD的中點時，△BEF的面積最大，此時，，點E與點A重合，的面積為1，∴；綜上所述，△BEF的面積存在最大值，此時EF的長為2或．【點撥】此題考查的是矩形與折疊問題，此題難度較大，掌握矩形的性質、折疊的性質、等邊三角形的性質和勾股定理是解決此題的關鍵．17．(1)4m (2)見分析 (3)【分析】（1）直接由正方形的性質得出答案即可；（2）連接AH，證明，利用△BHA的面積=△BCE的面積得出結論；（3）作點A關于DE的對稱點，點A關于BC的對稱點F，利用對稱的性質得出△APQ的周長的最小值為F，進一步求得問題即可．解：（1）∵四邊形BCFH是正方形，∴BC=BH=FH=CF，∴當BC=m時，正方形BCFH的周長為4m,故答案為：4m；（2）如圖1，連接AH，在△BHA和△BCE中，∵∴（SAS），∴△BHA的面積=△BCE的面積=正方形BCFH的面積；（3）△APQ的周長存在最小值．如圖2，作點A關于DE的對稱點，∴AP=P∵AC＝BC＝CF=2，BC⊥AF，∴點A關于BC的對稱點F，∴AQ=QF，∴△APQ的周長的最小值為F，過作M⊥FA交FA的延長線于M，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2（已知）∴是等腰直角三角形（等腰三角形的定義）∴，∵在的延長線上，∴，∵四邊形是正方形，

∴，∴，∴三點共線，∴，∵M⊥FA，∴，∴,∴是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝CF=2,，∵四邊形是正方形，∴,

∵點A關于DE的對稱點，∴，∴,∵△AM為等腰直角三角形，∴∴,∵A=，∴，即，解得：（負值舍去）,∵△AM為等腰直角三角形，∴MA=M=4，∵,四邊形是正方形,∴,∴,∴,∵M⊥FA∴是直角三角形，

在中，,∵∴∴F=，∴△APQ的周長的最小值為．【點撥】此題綜合考查正方形的性質，對稱的性質，勾股定理的運用以及利用對稱性求最短距離的問題，正確的添加輔助線是解題的關鍵．18．(1)， (2) (3)存在，【分析】（1）利用等邊三角形的性質得到，，利用平行四邊形的性質及三角形內角和即可求出的度數，由此得到，過點A作⊥于N，求出，利用勾股定理得到，求出，即可得到的長；（2）取的中點N，連接，根據是等腰直角三角形，得到，，利用梯形中位線定理得到，即可求出；（3）存在，當時，延長交延長線于G，作于H，則四邊形是矩形，得到，證明，推出，，得到，設，則，勾股定理求出，利用面積公式求出，即可得到結論．解：（1）∵是邊長為6的等邊三角形，∴，，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，過點A作⊥于N，∴，在中，，，∴，解得，∴，故答案為：，；（2）取的中點N，連接，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，E為中點，G為中點，∴（梯形中位線定理），∴；（3）存在，當時，延長交延長線于G，作于H，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，

∵，∴，∴，，∴，∴，設，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點撥】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，矩形的判定及性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，熟記各定理并熟練應用是解題的關鍵．19．(1)證明見分析 (2) (3)存在，【分析】（1）先證明，即可證明兩個三角形全等；（2）作于，利用已知條件證明是等邊三角形，即可求出平行四邊形的面積；（3）存在，設，表示出、關于t的代數式，利用以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形得到，建立方程求解．解：（1）四邊形是平行四邊形，，，，，，，．（2）如圖，作于，平分，，∵，，，，，是等邊三角形，，，，，．（3）存在．由題意：，，或，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，，或，解得或．時，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形．【點撥】本題考查了三角形全等判定和性質，等邊三角形的判定和性質，以及平行四邊形的性質，關鍵在于利用已知條件進行逐條分析，難度稍大．20．(1)見分析 (2)存在，ED=3-，CH=2．【分析】（1）先根據平行四邊形的性質證得∠DEA=∠BAE，再根據角平分線的性質證得∠DAE=∠DEA，得出AD=DE，根據E是CD的中點得出AE=CE，進而得出CE=CB，結論得證；（2）當DH⊥CF且CE=1+時，四邊形AFHD為菱形，先根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFHD是平行四邊形，再證明AD=DH證得平行四邊形AFHD是菱形．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，AD=BC，∴∠DEA=∠BAE，又∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，又∵E是CD的中點，∴DE=CE，∴CE=CB；（2）解：存在，當DH⊥CF且CE=1+時，四邊形AFHD為菱形，此時：ED=3-，CH=2，理由如下：過點D作DH⊥CF于H，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，AD=BC=2，∠ABC=∠ADC=120°，∴∠BAD=∠BCD=60°，在Rt△CHD中，∠CHD=90°，∠DCH=60°，∴∠CDH=30°，∴CH=CD=2，∴DH=，∴AD=DH，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠ECF=60°，∴∠CFE=30°，∴CF=2CE=2（1+）=2+2，

∴FH=CF-CH=2+2-2=2，∴AD=FH，在平行四邊形ABCD中，ADBC，點F在CB的延長線上，∴ADFH，∴四邊形AFHD是平行四邊形，又∵AD=DH，∴平行四邊形AFHD是菱形．【點撥】本題綜合考查了菱形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形．②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．21．(1)證明見分析 (2)CF=-1 (3)存在，P點坐標為（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．【分析】（1）利用正方形的性質，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；（2）通過△DBG≌△FBG的對應邊相等知BD=BF=；然后由CF=BF-BC即可求得；（3）分三種情況分別討論即可求得．解：（1）證明：如圖1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：如圖1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應角相等）；∴∠BGD=90°（三角形內角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應邊相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF-BC=-1；（3）解：如圖2，∵CF=-1，BH=CF∴BH=-1，①當BH=BP時，則BP=-1，∵∠PBC=45°，設P（x，x），∴，解得x=1-或-1+，∴P（1-，1-）或（-1+，-1+）；②當BH=HP時，則HP=PB=-1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（-1，-1）；③當PH=PB時，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），綜上，在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點坐標為（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．【點撥】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．22．(1)見分析 (2)見分析 (3)【分析】（1）根據正方形性質和垂直條件證得∠ABE＝∠CBG，進而證得△EAB≌△GCB（SAS），再得出結果；（2）如圖，延長AE交CG于點H（即點H在CG上），根據條件證得EBGH是正方形，得出EH＝EB，又根據條件“延長AE至點F，使得EF＝BE”，進而證得C，F，G三點在同一條直線上；（3）過點D作DK⊥AF交AF于K，根據條件和（1）可證得△KDA≌△EAB≌△GCB，進而得DK＝AE＝CG，AK＝BE＝BG，再根據（2）知四邊形EBGF是正方形，以及（3）中條件“四邊形CFBE為平行四邊形”從而得AK＝BE＝BG＝FG＝EF＝CF，再由線段和差證得EK＝BG＝BE，進而證△KDE≌△EAB（SAS）便可得出結果．解：（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）證明：延長AE交CG于點H，如圖所示：∵∠AEB＝90°