高三數學大題規范訓練（13）15.記的內角的對邊分別為，已知.（1）若成等差數列，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解答】【分析】（1）根據等差數列的性質得到，再利用余弦定理求得的值，進而利用三角形的面積公式求解；（2）根據已知條件代入，并用三角恒等變換化簡求得A，再利用正弦定理求解.【小問1詳解】因為成等差數列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面積.【小問2詳解】因為，所以，又因為且，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.16.如圖，三棱柱中，側面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解答；（2）.【解答】【分析】（1）取BC的中點M，連結MA、，根據等腰三角形性質和線面垂直判定定理得平面，進而由得，再證明平面ABC即可得證.（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，從而得出二面角的平面角再進行求解即可.【小問1詳解】取BC的中點M，連結MA、．因為，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因為平面，所以，又因為，所以，因為平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因為，所以平面ABC.【小問2詳解】法一：因為，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，，．設平面的法向量為m=x1,y1令，則，設平面的法向量為n=x2,y2令，則，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：將直三棱柱補成長方體．連接，過點C作，垂足為P，再過P作，垂足為Q，連接CQ，因為平面，且平面，所以，又因為，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因為，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因為平面CPQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補角，在中，由等面積法可得,因為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為.17.乒乓球（tabletennis），被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目．已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發制，每人發兩個球，然后由對方發球，先得11分者獲勝．（1）若單局比賽中，甲發球時獲勝的概率為，甲接球時獲勝的概率為，甲先發球，求單局比賽中甲獲勝的概率；（2）若比賽采用三局兩勝制（當一隊朚得兩場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結果相互獨立，記為比賽結束時的總局數，求的期望．（參考數據）【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據題意，分3種情況分別求單局比賽中甲獲勝的概率，再求和；（2）首先分析得到，再分別求概率，以及數學期望.【小問1詳解】設事件為“若甲先發球，單局比賽甲11:2獲勝”，其可分為如下三種基本事件，事件為“甲發球，甲敗2次”，事件為“乙發球，甲敗2次”，事件為“甲發球，甲敗1次，乙發球，甲敗1次”，這個單局比賽中，甲發球6次，乙發球6次，最后1次是甲發球甲贏，，，,；【小問2詳解】隨機變量的所有可能取值為2,3，，，所以.18.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若函數在上僅有兩個零點，求實數取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值（2）【解答】【分析】（1）求出導函數，然后列表求出函數的單調區間，根據極值定義即可求解；（2）把原函數有兩個零點轉化為在0,+∞上僅有兩個零點，分類討論，利用導數研究函數的單調性，列不等式求解即可.【小問1詳解】當時，R），所以，令，則，f-0+單調遞減極小值單調遞增所以，所以的極小值為，無極大值.【小問2詳解】函數在0,+∞上僅有兩個零點，令，則問題等價于在0,+∞上僅有兩個零點，易知，因為x∈0,+∞，所以.①當時，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上單調遞增，所以，所以在0,+∞上沒有零點，不符合題意；②當時，令，得，所以在上，，在上，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為.因為在0,+∞上有兩個零點，所以，所以.因為，令，則，所以在0,2上，?′x<0，在上，所以?x在0,2上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以當時，在和內各有一個零點，即當時，在0,+∞上僅有兩個零點.綜上，實數的取值范圍是.【小結】方法小結：求解函數單調區間的步驟：（1）確定的定義域.（2）計算導數f′（3）求出的根.（4）用的根將的定義域分成若干個區間，判斷這若干個區間內f′x的符號，進而確定的單調區間.f′x>0，則在對應區間上單調遞增，對應區間為增區間；f′x<0如果導函數含有參數，那么需要對參數進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.19.已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，設拋物線在點處的切線分別為和，已知與軸交于點與軸交于點，設與的交點為.（1）證明：點在定直線上；（2）若面積為，求點的坐標；（3）若四點共圓，求點的坐標.【答案】（1）證明見解答（2）或（3）【解答】【分析】（1）設，利用導數求和的方程，進而可得點的坐標，再聯立直線、拋物線的方程，利用韋達定理分析求解；（2）根據面積關系可得，結合韋達定理分析求解；（3）可知拋物線焦點，分析可得是外接圓的直徑，結合垂直關系分析求解.【小問1詳解】由，得，設.所以方程為：，整理得：.同理可得，方程為：.聯立方程，解得.因為點在拋物線內部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設直線的方程為，與拋物線方程聯立得：，故，所以，可知.所以點在定直線上..【小問2詳解】在的方程中，令，得，所以面積.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以點的坐標為或.【小問3詳解】若，則重合，與題設矛盾拋物線焦點，由