高三數學大題規范訓練（8）15.已知數列是等差數列，，且，，成等比數列，，數列的前n項和為（1）求數列的通項公式及數列的前n項和（2）是否存在正整數m，n（），使得，，成等比數列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）存在，，【解答】【分析】（1）設出公差，得到方程組，求出公差，得到通項公式，并利用錯位相減法求和；（2）假設存在正整數m，n（），使得，，成等比數列，得到方程，得到，求范圍，即得結論.【小問1詳解】由題意在等差數列an中，設公差為d由，得，則，又，，成等比數列，∴7，，成等比數列，得，即，得，∴，，∴數列an的通項公式為：（）．∴，∴.【小問2詳解】若存在正整數m，n（），使得，，成等比數列，則，即，化簡得：，解得：又且，所以，，故存在正整數，，使得，，成等比數列.16.如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，，，點F在棱AC上.（1）若BF∥平面CDE，求CF的長；（2）若F是棱AC的中點，求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）記中點為，連接、，依題意可得，根據面面垂直的性質得到平面，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設，，依題意可得求出的值，即可得解；（2）依題意點與點重合，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】記AC中點為M，連接DM、BM，三角形ACD為正三角形，，則DM⊥AC，且.因為平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又△ABC為正三角形，所以BM⊥AC，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面CDE的法向量為，則，令，則，，則，設，，則，因為BF∥平面CDE，所以，解得，所以F為CM的中點，此時.【小問2詳解】若F是AC的中點，則點F與點M重合，則平面FDE的一個法向量可以為，設二面角為，顯然二面角為銳角，則，所以，所以二面角的正弦值為.17.為了有效預防流感，很多民眾注射了流感疫苗.市防疫部門隨機抽取了1000人進行調查，發現其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫學研究表明，流感的檢測結果有檢錯的可能，已知患流感的人其檢測結果有呈陽性（流感），而沒有患流感的人其檢測結果有呈陰性（未感染）（1）估計該市流感感染率是多少？（2）根據所給的數據，判斷是否有99％的把握認為注射流感疫苗與預防流感有關；（3）已知某人的流感檢查結果呈陽性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）（2）有（3）【解答】【分析】（1）根據古典概型運算公式進行求解即可；（2）根據題中數據得到列聯表，結合卡方運算公式和附表中的值進行判斷即可；（3）利用條件概率和全概率公式進行求解即可.【小問1詳解】估計流感的感染率；【小問2詳解】列聯表如下：疫苗情況患有流感不患有流感合計打疫苗220580800不打疫苗80120200合計300700100所以，所以有99.9%的把握認為注射流感疫苗與流感發病人數有關.【小問3詳解】設事件A為“一次檢測結果呈陽性”，事件B為“被檢測者確實患有流感”，由題意得，，，，，由全概率公式得，所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976.18.具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．（1）如圖所示，已知“盾圓D”的方程為設“盾圓D”上的任意一點M到的距離為，M到直線的距離為，求證：為定值；（2）由拋物線弧，與橢圓弧所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，，，且（），試用表示，并求的取值范圍．【答案】（1）證明見解答；（2）或，．【解答】【分析】（1）設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為，再根據拋物線的方程表達出的解答式證明即可（2）根據圓錐曲線的參數方程將A、B的坐標用三角函數表示，從而使求的范圍問題轉化為三角函數值域的求法即可【詳解】解：（1）證明：設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為，則．當時，（），，即；當時，（），．即；∴為定值．（2）顯然“盾圓E”由兩部分合成，所以按A在拋物線弧或橢圓弧上加以分類．由“盾圓E”的對稱性，不妨設A在x軸上方（或x軸上），當時，，此時，．當時，A在橢圓弧上，由題設知代入，得，整理得，解得或（舍去）．當時，A在拋物線弧上，由方程或定義均可得到，于是．綜上，或．相應地，．①當時，A在拋物線弧上，B在橢圓弧上，；②當時，A在橢圓弧上，B在拋物線弧上，；③當時，A、B在橢圓弧上，．綜上，．19.已知函數，記是的導函數.（1）求的值；（2）求函數的單調區間；（3）證明：當時，.【答案】（1）（2）的單調遞增區間是和，單調遞減區間是和（3）證明見解答【解答】【分析】（1）求出當時的的導函數即可得；（2）先分類討論求出的導函數，即可得函數的導函數，再借助導數構造相應函數去研究的正負，即可得函數的單調性；（3）原問題可轉化為證明：當時，，構造函數，可得的導函數與的關系，即可得其單調性，即可得證.【小問1詳解】函數的定義域為，當時，，此時，所以【小問2詳解】先求的導數，當時，，當時，，當時，總有，所以，令，則，，所以在，上均單調遞減，由（1），又，也即是，所以當時，，于是，所以在上單調遞減，當時，，于是，所以在上單調遞增，當時，，于是，所以在上單調遞增，當時，，于是，所以在上單調遞減，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是和；【小問3詳解】當時，要證，只需證，因，所以只需證，只需證，只需證