第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津市第二十一中學高一下學期4月期中考試數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知m為實數，若復數z=(m2?4)+(m+2)i為純虛數，則復數z的虛部為A.2 B.?2i C.4 D.2.已知向量a=(1,2),b=(2,?2),c=(m,?A.?2 B.2 C.12 D.3.如圖，在?ABC中，BD=12DC，則ADA.12AB+12AC B.14.正方形O′A′B′C′的邊長為2，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖(如圖A.2 B.4 C.425.已知兩個不重合的平面α，β，三條不重合的直線a，b，c，則下列四個命題中正確的是(

)A.若a/\!/b，b?α，則a/\!/α

B.若a⊥b，b⊥c，則a/\!/c

C.a/\!/β，，a?α，b?α，則α/\!/β6.在?ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法中錯誤的是(

)A.若A>B，則a>b

B.sin(A+B)=sinC

C.若acosA=bcos7.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AA1=3，則四棱錐AA.23 B.210 C.8.若某正四面體的內切球的表面積為4π，則該正四面體的外接球的體積為(

)A.9π B.27π C.36π9.在?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=23，sinA?sinBA.π B.3π C.4π 二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.i是虛數單位，則∣3+4i1+i11.在?ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若c=3,A=45°12.已知圓錐的底面周長為2π，其側面展開圖的圓心角為23π，則該圓錐的高為

．13.已知a=2,?b=2,?2314.如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC?A1B1C1中，若P為棱CC1的中點，則直線AB15.在?ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=xAC+35AB(x∈R)三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分已知復數z1=3+4i，z2(1)求z(2)若z=z1z(3)若復數az1+z17.(本小題15分)已知向量a，b滿足|a|=2(1)求|b(2)若a與b同向，求a的坐標；(3)若|a?2b|=218.(本小題15分在?ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=2b，(1)求sinC(2)求cos2C+(3)若?ABC的面積為37219.(本小題15分如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AD//BC,∠(1)求證：CE//平面PAB(2)求證：DC⊥平面(3)求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．20.(本小題15分)已知A，B，C分別為?ABC三邊a，b，c所對的角，向量m=sinA,sin(1)求角C的大小；(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA參考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.D

6.C

7.A

8.C

9.C

10.511.212.213.(114.90°15.110/0.1

16.解：(1)(2)∵z1∴z=∴z(3)∵∴3a>0故實數a的取值范圍為0,1

17.解：(1)由b=(3(2)由a與b同向，令a=λb(λ>0)，則|所以a=((3)由|a?2b|=27因此cos?a,b?=所以a與b的夾角是π6

18.解：(1)因為2sinA=3sinB∴cosC=a2∴sinC=(2)由(1)sin2C=2sincos2C+(3)由(1)S?ABC=12ab又c=2b，則c=4．

19.解：(1)如圖：取PA的中點M，連接BM,ME，則ME//AD，且ME=12AD所以ME//BC且所以四邊形BCEM為平行四邊形，所以BM//CE，又BM?平面PAB，CE所以CE//平面PAB(2)因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以由題設易知ABCD為直角梯形，且∠B=∠則AC2=A因為BA=BC=1，∠BAC=45°，所以在?ACD中，由余弦定理可得C所以AC2+C因為AC∩PA=A，AC,PC?平面PAC，所以DC(3)如圖：取PC的中點F，連接EF，則EF//CD，由(2)知DC⊥平面PAC，則EF所以∠ECF為直線EC與平面PAC又CF?平面PAC，所以EF因為CF=12PC=所以sin∠ECF=所以直線EC與平面PAC所成角的正弦值為10

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