第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市寶山區世外學校高二下學期期中考試數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設隨機變量X～N1,σ2A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.62.已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若l//m，l//α，m//β，則α//β B.若l⊥m，l⊥α，m//β，則α//β

C.若α3.函數f(x)=cos2x?cosxA.偶函數，且最小值為?2 B.偶函數，且最大值為2

C.周期函數，且在0,π2上單調遞增 D.非周期函數，且在4.若?a,b,c∈D，g(a),g(b),g(c)可以作為一個三角形的三條邊長，則稱函數g(x)是區間D上的“穩定函數”.已知函數f(x)=lnxx+m是區間A.2e+1e,+∞ B.2e2+二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.已知復數z=3?i，其中i為虛數單位，則z的虛部是6.若n為正整數，則不等式Cn2<47.函數f(x)=x(1?x)的最大值為

．8.函數f(x)=cos2x在x=0處的切線方程為

9.設Sn為等比數列an的前n項和，已知S5=a10.若(x+a)5的二項式展開式中x2的系數為10，則a=

．11.已知向量a→=1,?3，向量b在a上的投影向量為12.若直線l:ax+by=1上有且僅有一點P，使得|OP|=2，則直線l被圓C:x13.已知隨機變量P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,?,100)，則實數a的值為14.將一枚質地均勻的硬幣拋擲3次，設事件A為“第1次出現正面”，事件B為“第3次出現反面”，則P(B∣A)=

．15.若F為雙曲線C:x24?y25=1的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于16.若對任意的正整數n，函數f(x)=x22+lnx?an+2x均存在兩個極值點xn1、x三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)已知等差數列an的前n項和為Sn，若2a(1)求數列an的通項公式an及前n項和(2)若bn=2an?an+118.(本小題14分)如圖(1)，在Rt?ABC中，∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點，且DE//BC,DE=2，將?ADE沿DE折起到?A

(1)求證：A1C⊥(2)求點M到平面A1BE19.(本小題14分)某大型企業準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產.經過調研和試生產，質檢人員抽樣發現：甲工廠試生產的一批零件的合格品率為94%;乙工廠試生產的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%．(1)設甲工廠試生產的這批零件有m件，乙工廠試生產的這批零件有n件，證明：3m=n；(2)用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數為X，求X的分布列、數學期望和方差．20.(本小題14分)已知函數f(x)=e(1)當x>0時，求函數(2)證明方程f(x)=x+1(3)若關于x的不等式f(x)≥ax?alnx+e?121.(本小題14分)已知橢圓Γ:x2a2+(1)以F2為圓心的圓經過橢圓的左焦點F1和上頂點B，求橢圓(2)已知a=5,b=4，設點P是橢圓Γ上一點，且位于x軸的上方，若?PF1(3)已知a=2,b=3，過點F2且傾斜角為π2的直線與橢圓Γ在x軸上方的交點記作A，若動直線l也過點F2且與橢圓Γ交于M?N兩點(均不同于A)，是否存在定直線l0:x=x0，使得動直線參考答案1.B

2.D

3.B

4.D

5.

16.{2,3}

7.128.y=1

9.2

10.1

11.?2

12.413.10110014.1215.?116.3?217.(1)設公差為d，則2aS5解得a1=d=1，故Sn(2)b故Tn則2T式子①?②得?=?n所以Tn

18.(1)∵AC⊥BC,DE//又CD,A1D?平面A1CD，又A1C?平面A又∵A1C⊥CD，CD∴A1C(2)如圖：

以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C?xyz，在?ABC中，因BC=3,AC=6，DE//BC,DE=2，則ADAC=DEBC則在Rt?A1DC則A10,0,2∴A設平面A1BE法向量為則A1B取y=2，可得z=3,x∵M則MB?即點M到平面A1BE的距離

19.(1)設M事件為“抽取出來混放在一起的零件來自甲工廠”，事件N為“抽取出來混放在一起的零件來自乙工廠”，事件C為“混放在一起的某一個零件為合格品”，則P(M)=mP(C)=P(C|即0.94×得0.94m+0.98n=0.97(m+n).即0.01n=0.03m，所以3m=n(2)由n=3m可知，零件來自甲工廠的概率為mm+n=mX表示這3個零件中來自甲工廠的個數，則X服從參數為n=3，p=14的二項分布，即則P(X=k)=C3k當k=0時，P(X=0)=C當k=1時，P(X=1)=C當k=2時，P(X=2)=C當k=3時，P(X=3)=C所以X的分布列為：X

0

1

2

3

P

27642764964164則E(X)=np，所以期望為E(X)=3×方差為D(X)=3×

20.(1)x>0，當x∈(0,1)，f′當x∈(1,+∞)，f(x)(2)方程f(x)=x+1x2方程ex?1由解析式易知g(x)=ex?1x因為g?3所以函數g(x)在(?∞,0)有唯一零點x1因為g12=e?3<0，(3)設?(x)=f(x)?ax+aln則當x>0時?①由(1)得exx當a≤e時，x∈(0,1)，?′x∈(1,+∞)，?(x)≥?(1)=②當a>e時，?(1)=1?a<0綜上，a≤1．所以實數a的取值范圍(?∞

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