實驗一：系統響應及系統穩定性

1.實驗目的

（1）掌握求系統響應的方法。

（2）掌握時域離散系統的時域特性。

（3）分析、觀察及檢驗系統的穩定性。

2.實驗原理與方法

在時域中，描寫系統特性的方法是差分方程和單位脈沖響應，在頻域可以用系統函數

描述系統特性。已知輸入信號可以由差分方程、單位脈沖響應或系統函數求出系統對于該輸

入信號的響應，本實驗僅在時域求解在計算機上適合用遞推法求差分方程的解，最簡單的

方法是采用MATLAB語言的工具箱函數filter函數。也可以用MATLAB語言的工具箱函數

conv函數計算輸入信號和系統的單位脈沖響應的線性卷積，求出系統的響應。

系統的時域特性指的是系統的線性時不變性質、因果性和穩定性。重點分析實驗系統

的穩定性，包括觀察系統的暫態響應和穩定響應。

系統的穩定性是指對任意有界的輸入信號，系統都能得到有界的系統響應。或者系統

的單位脈沖響應滿足絕對可和的條件。系統的穩定性由其差分方程的系數決定。

實際中檢查系統是否穩定，不可能檢查系統對所有有界的輸入信號，輸出是否都是有

界輸出，或者檢行系統的單位脈沖響應滿足絕對可和的系件。可行的方法是在系統的輸入端

加入單位階躍序列，如果系統的輸出趨近一個常數（包括零），就可以斷定系統是穩定的?⑼。

系統的穩態輸出是指當〃-8時，系統的輸出。如果系統穩定，信號加入系統后，系統輸

出的開始一段稱為暫態效應，隨n的加大，幅度趨于穩定，達到穩態輸出。

注意在以下實驗中均假設系統的初始狀態為零。

3.實驗內容及步驟

（1）編制程序，包括產生輸入信號、單位脈沖響應序列的子程序，用filter函數或conv

函數求解系統輸出響應的主程序。程序中要有繪制信號波形的功能。

（2）給定一個低通濾波器的差分方程為

），（〃）=005x（〃）+005x（〃-1）+0.9），（〃一1）

輸入信號內（〃）=《（〃）

x2（n）=u（n）

a）分別求出系統對七（〃）=凡（〃）和的響應序列，并畫出其波形。

b）求出系統的單位沖響應，畫出其波形。

（3）給定系統的單位脈沖響應為

/?）（/?）=7?10（77）

/?2（/?）=5（〃）+2.55（〃一1）+2.55（〃-2）+8（n-3）

用線性卷積法分別求系統hi（n）和h2（n）對玉⑺=R式幾）的輸出響應,并畫出波形。

（4）給定一諧振器的差分方程為

y(n)—1.8237y(n—1)—0.9801y(n—2)+box(n)—box(n—2)

令％=1/100.49,諧振器的諧振頻率為。

a)用實驗方法檢查系統是否穩定。輸入信號為〃(〃)時，畫出系統輸出波形。

b)給定輸入信號為

x(n)=sin(0.014〃)+sin(0.4/?)

求出系統的輸出響應，并畫出其波形。

4.思考題

(1)如果輸入信號為無限長序列，系統的單位脈沖響應是有限長序列，可否用線性卷積

法求系統的響應？如何求？

(2)如果信號經過低通濾波器，把信號的高頻分量濾掉，時域信號會有何變化，用前面

第一個實驗結果進行分析說明。

5.實驗報告要求

(I)簡述在時域求系統響應的方法。

(2)簡述通過實驗判斷系統穩定性的方法。分析上面第三個實驗的穩定輸出的波形。

(3)對各實驗所得結果進行簡單分析和解釋。

(4)簡要回答思考題。

(5)打印程序清單和要求的各信號波形。

實驗程序清單

%實驗1：系統響應及系統穩定性

xln=[l1111111];

hln=[ones(1,10)zeros(1,10)];

h2n=[11zeros(1,10)];

y21n=conv(hlnzxln);

y22n=conv(h2n,xln);

figure(2)

subplot(2,2,1);y='hl(n)*;stem(hln);

title(?(d)Ipt3p￥i?Ad3^Ii6；hl￡-n￡?');

boxon

subplot(2,2,2);y=1y21(n),;stem(y21n);

title('(e)hln6eR8(n)pA^i?yy21(n),);

boxon

subplot(2,2,3);y=*y2(n),;stem(h2n);

titled(f)Ipt3p￥I?Ad3^IiO：h2(n)');

boxon

subplot(2,2,4);y=,y22(n)1;stem(y22n);

title('(g)h2(n)6eR8(n)pA^i?yy22(n)');

boxon

實驗程序運行結果及分析討論

程序運行結果如圖所示。

實驗內容(2)系統的單位沖響應、系統對內(〃)=%(〃)和/2(〃)=〃(〃)的響應序列

分別如圖(a)、(b)和(c)所示;

實驗內容(3)系統h(n)和h2(n)對$(〃)=R式〃)的輸出響應分別如圖(e)和(g)所示;

實驗內容(4)系統對容〃)和l(力)=sin(0.014〃)+sin(0.4〃)的響應序列分別如圖(h)

和⑴所示。由圖(h)可見，系統對〃(〃)的響應逐漸衰減到零，所以系統穩定。由圖(i)可見，

系統對x(〃)=$山(0.0144)十$加(0.4〃)的穩態響應近似為正弦序列5畝(0.4"),這一結論

驗證了該系統的諧振頻率是rado

簡答思考題

(1)如果輸入信號為無限長序列，系統的單位脈沖響應是有限長序列，可否用線性卷積

法求系統的響應。①對輸入信號序列分段；②求單位脈沖響應h(n)與各段的卷積；③將各段

卷積結果相加。具體實現方法有第三章介紹的重疊相加法和重疊保留法。

(2)如果信號經過低通濾波器，把信號的高頻分量濾掉，時域信號的劇烈變化將被平滑,

由實驗內容(1)結果圖、(b)和(c)可見,經過系統低通濾波使輸入信號6(〃)、$5)=凡(〃)

和%(〃)=履〃)的階躍變化變得緩慢上升與下降。

實驗二時域采樣與頻域采樣

實驗指導

1.實驗目的

時域采樣理論與頻域采樣理論是數字信號處理中的重要理論。要求掌握模擬信號采樣

前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號不丟失信息；要求掌握撅率域

采樣會引起時域周期化的概念，以及頻率域采樣定理及其對頻域采樣點數選擇的指導作用。

2.實驗原理與方法

時域采樣定理的要點是：

a)對模擬信號與(7)以間隔T進行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜

父(/Q)是原模擬信號頻譜X//。)以采樣角頻率(C,=21/7)為周

期進行周期延拓。公式為：

18

尤(4)=叩W⑺]=ZX”(4-OR)

b)采樣頻率Q,必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的

頻譜不產生頻譜混疊。

利用計算機計算上式并不方便，下面我們導出另外一個公式，以便用計算機上進行實驗。

理想采樣信號白⑺和模擬信號xa(t)之間的關系為：

對上式進行傅立葉變換，得到：

(0)=「凡(/)X^t-nT)]e-^dt

=?匚演

在上式的積分號內只有當，=〃7時，才有非零值，因此：

￡(4)=

上式中，在數值上％(〃7)=x(〃)，再將g=07代入，得到：

用(4)二之](廿5

n="x

上式的右邊就是序列的傅立葉變換X("’”)，即

先g)=X?&)|

<y=QT

上式說明理想采樣信號的傅立葉變換可用相應的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量

3用Q7代替即可。

頻域采樣定理的要點是：

a)對信號x(n)的頻譜函數X(eT)在[0,2可上等間隔采樣N點，得到

XJk)=Xd)攵=(),1,2,?,，N—1

則N點IDFTLX'(A)]得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值區

序列，公式為：

/(〃)=IDFT[XN(Q]N=lXx(〃+W)]R,V(〃)

b)由上式可知，頻域采樣點數N必須大于等于時域離散信號的長度M(即N2M),才

能使時域不產生混疊，則N點1DFT[XN(Q]得到的序列/(〃)就是原序列x(n),即

XiV(?)=x(n)o如果N>M,4(〃)比原序列尾部多N-M個零點；如果N<M,z則

xiV(/?)=IDFT[Xt(Z)]發生了時域混疊失真，而且/(〃)的長度N也比x(n)的長度

M短，因此。XN(〃)與x(n)不相同。

在數字信號處理的應用中，只要涉及時域或者頻域采樣，都必須服從這兩個采樣理論的

要點。

對比上面敘述的時域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個有用的結論，這兩個采樣理論

具有對偶性：“時域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時域信號周期延拓”。因此放在一起進行實

驗。

3.實驗內容及步驟

(1)時域采樣理論的驗證。

af

給定模擬信號，xa(t)=Ae~sin(Qor)w(r)

式中4=,<7=5072兀，。0=50后nrad/s,它的幅頻特性曲線如圖

圖的幅頻特性曲線

現用DFT(FFT)求該模擬信號的幅頻特性，以驗證時域采樣理論。

安照與”)的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即6=1"0，300/0，200也。觀

測時間選丁,二50〃乂o

為使用DFT,首先用下面公式產生時域離散信號，對三種采樣頻率.，采樣序列按順

序用力](〃),工2(力)，尢3(〃)表示。

a,d

x(〃)=xa(nT)=Ae~sin(Q0/?T)M(/?T)

因為采樣頻率不同，得到的25),%(〃)，芻(〃)的長度不同，長度(點數)用

公式N=，〃xF,》計算。選FFT的變換點數為M=64,序列長度不夠64的尾部加零。

X(A)=rTT[M〃)]，Q0,1,2,3,---,M-1

27r

式中A代表的頻率為a)k=—k.

M

要求：編寫實驗程序，計算M(〃)、為(〃)和七(〃)的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分

析頻譜混疊失真。

(2)頻域采樣理論的驗證。

給定信號如下：

n+10</?<13

x(n)=*27-n14<w<26

、0其它

編寫程序分別對頻譜函數X(/'”)=FT[M〃)J在區間1。,24]上等間隔采樣32

和16點，得到X"幻和七6(公：

X^k)=X(ejO1)2萬，攵=0/，2,…31

由五%

Xm(Q=X(")2”，攵=0,1215

-k

16

再分別對招2(幻和伏)進行32點和16點IFFT,得到與2(〃)和司6(〃)：

^2(n)=IFFT[X32(^)]32,/2=0,1,2,,31

X16(W)-IFFT[X16(ZC)]16,n—0,1,2,--,15

分別畫出X("")、為32(6和X[6(Z)的幅度譜,并繪圖顯示Mn)、與2(〃)和七6(〃)的波形,

進行對比和分析，驗證總結頻域采樣理論。

提示：頻域采樣用以下方法容易變程序實現。

①直接調用MATLAB函數fft計算X,2(Q=FFT[X(//)]32就得至IJX(/)在[0,24]的32

點頻率域采樣

②抽取X,2(外的偶數點即可得到X(*")在[0,2〃]的16點頻率域采樣％6伏)，即

Xl6(k)=X32(2k),4=0,1,2,,15。

③當然也可以按照頻域采樣理論，先將信號Mn)以16為周期進行周期延拓，取其主值

區(16點)，再對其進行16點DFT(FFT),得到的就是X(〃&)在[0,2組的16點頻率域采樣

XA幻。

4.思考題:

如果序列x(n)的長度為M,希望得到其頻譜X("")在[0,2組上的N點等間隔采樣，

當N<M時，如何用一次最少點數的DFT得到該頻譜采樣？

5.實驗報告及要求

a)運行程序打印要求顯示的圖形，。

b)分析比較實驗結果，簡述由實驗得到的主要結論

O簡要回答思考題

d)附上程序清單和有關曲線。

實驗程序清單

1時域采樣理論的驗證程序清單

clc;

Tp=64/1000;

Fs=1000;T=l/Fs;

M=Tp*Fs；

n=0:M-1;

A=;alph=pi*50*2A;omega=pi*502A;

xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);

Xk=T*fft(xntzM);

yn='xa(nT)';subplot(3,2,1);

stem(xnt);

boxon;title(1(a)Fs=1000Hz*);

k=0:M-1;fk=k/Tp;

1

subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));title((a)T*FT[xa(nT)]zFS=1000Hz');

xlabel('f(Hz),);ylabel(*-u^E');axis([0,Fs,0,*max(abs(Xk))])

%%

%Fs=300Hz

FS=300;T=l/Fs;

M=Tp*Fs；n=0:M-1;

A=;alph=pi*50*2A;omega=pi*50*2A;

xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);

Xk=T*fft(xnt,M);

yn=1xa(nT)';subplot(3,2,3);

stem(xnt);

hex(ri)FS=3D0H7.');

k=0:M-1;fk=k/Tp;

subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk))1(a)7*FT[xa(nT)],FS=300Hz');

xlabel('f(Hz)1);ylabel(**);axis([0,Fs,0,*max(abs(Xk))])

%%

%Fs=200Hz

FS=200;T=l/Fs;

M=Tp*Fs;n=0:M-1;

A=;alph=pi*50*2A;omega=pi*50*2A;

xnt=A*exp<-alph*n*T).*oin(omega*n*T);

Xk=T*fft(xntzM);

yn=1xa(nT)';subplot(3,2,5);

stem(xnt);

boxon;title('(a)Fs=200Hz');

k=0:M-1;fk=k/Tp;

subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));title(*(a)7*FT[xa(nT)],FS=200Hz')；

xlabel('f(Hz)');ylabel('-u^IE*);axis([0,Fs,0,*max(abs(Xk))])

2頻域采樣理論的驗證程序清單

M=27;N=32;n=0:M;

xa=O:floor(M/2);

xb=ceil(M/2)-1:-1:0;

xn=[xa,xb];

Xk=fft(xn,1024);

X32k=fft(xnz32);

x32n=ifft(X32k);

XI6k=X32k(1:2:N);

xl6n=ifft(X16k,N/2);

subplot(3,2,2);stem(n,xn);boxon

title('(b)Ey^2"DdADx(n)');xlabel('n1);ylabel(1x(n)');

k=0:1023;wk=2*k/1024;

subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title(*(a)FT[x(n)],);

xlabel('\omega/\pi');ylabel('IX(eAjA\omega)I');

k=0:N/2-l;

subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k));boxon

title('(c)16pa^pOd2ESu,);xlabel('k');ylabel('|X_l_6(k)|;

nl=0:N/2-1;

subplot(3,2,4);stem(nl,xl6n);boxon

title(*(d)16paIDFT：X_l_6(k)]1);xlabel('n1);ylabel(fx_l_6(n)1);

k=0:N-1;

subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k));boxon

title('(e)32paJEp0o2ENu*);xlabel(1k?);ylabel('IX_3_2(k)|1);

nl=0:N-1;

subplot(3,2,6);stem(nl,x32n);boxon

title(1(f)32paiDFT：x_3_2(k)]1;xlabel(*0');ylabel(*x_3_2(n),);

XM?tX??x*I.MM

9--l'WJL口?7<V?!?-

實驗程序運行結果

1時域采樣理論的驗證程序運行結果如圖所示。由圖可見，采樣序列的頻譜的確是以

采樣頻率為周期對模擬信號頻譜的周期延拓。當采樣頻率為1000Hz時頻譜混疊很小；當采

樣頻率為300Hz時，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很嚴重；當采樣頻率為200Hz時，在

折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很嚴重。

(a)Fs=1000Hz(a)rFT|xa(nT)],Fs=1000Hz

f(Hz)

(b)Fs=300Hz

150n

t100

至50i

01」」」——

051015

n

(c)Fs=200Hz

150f--------------------------------------

P100

u

0510

圖時域采樣理論的驗證程序運行結果如圖所示。

(a)FT[x(n)](b)三角波序列x(n)

20020

?&10010

x

nn

0.50102030

W/JIn

點

(c)16點頻域采樣(d)16IDFTIX^k)]

20020

c

■s-

9100910

x7

oo

102030

kn

①32點止邛七⑼

⑻32點頻域采樣

圖該圖驗證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對信號x(n)的頻譜函數X(eT)在［o,2ir：上等

間隔采樣N-16時，N點IDFT［X,、,(幻］得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進行周期

延拓后的主值區序列:

/⑺=IDFT[XN(k)]N=[Jx(〃+W)風(〃)

r=-?o

由于N<M,所以發生了時域混疊失真，因此。XN(〃)與x(n)不相同，如圖圖和(d)所示。當

N=32時，如圖圖和(d)所示，由于N>M,頻域采樣定理，所以不存在時域混疊失真，因此。

乙/〃)與x(n)相同。

簡答思考題

先對原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后取主值區序列，

xN(n)=[￡x(n+iN)]RN(〃)

再計算N點DFT則得到N點領域采樣：

jM

XN(k)=DFT[xN(n)]N=X(e)Z=O,1,2,???，N-1

7人

實驗三：用FFT對信號作頻譜分析

實驗指導

1.實驗目的

學習用FFT對連續信號和時域離散信號進行譜分析的方法，了解可能出現的分析

誤差及其原因，以便正確應用FFT。

2.實驗原理

用FFT對信號作頻譜分析是學習數字信號處理的盂要內容。經常需要進行譜分析的信

號是模擬信號和時域離散信號。對信號進行譜分析的重要問題是頻譜分辨率D和分析誤差。

頻譜分辨率直接和FFT的變換區間N有關，因為FFT能夠實現的頻率分辨率是2%/N,因

此要求2〃/NWO。可以根據此式選擇FFT的變換區間N。誤差主要來自于用FFT作頻譜

分析時，得到的是離散譜，而信號(周期信號除外)是連續譜，只有當N較大時離散譜的

包絡才能逼近于連續譜，因此N要適當選擇大一些。

周期信號的頻譜是離散譜，只有用整數倍周期的長度作FFT,得到的離散譜才能代表周

期信號的頻譜。如果不知道信號周期，可以盡量選擇信號的觀察時間長一些。

對模擬信號進行譜分析時，首先要按照采樣定理將其變成時域離散信號。如果是模擬

周期信號，也應該選取整數倍周期的長度，經過采樣后形成周期序列，按照周期序列的譜分

析進行。

3.實驗步驟及內容

(1)對以下序列進行譜分析。

MS)：&(〃)

〃+1,0<n<3

8-〃，4<??<7

0,其它n

4一〃，0</:<3

七(〃)=<"-3,4<z?<7

0,其它n

選擇FFT的變換區間N為8和16兩種情況進行頻譜分析。分別打印其幅頻特性曲線。

并進行對比、分析和討論，

(2)對以下周期序列進行譜分析。

/、71

X4(72)=COS—H

展(〃)=cos("〃/4)+cos("〃/8)

選擇rrr的變換區間N為8和16兩種情況分別對以上序列進行頻譜分析。分別打印

其幅頻特性曲線。并進行對比、分析和討論。

(3)對模擬周期信號進行譜分析

九6Q)=cos871t+cos164t+cos20R

選擇采樣頻率冗=64Hz,變換區間N=16,32,64三種情況進行譜分析。分別打印其幅頻

特性，并進行分析和討論。

4.思考題

(1)對于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT進行譜分析？

(2)如何選擇FFT的變換區間？(包括非周期信號和周期信號)

(3)當N=8時，々(〃)和與伽)的幅頻特性會相同嗎？為什么？N=16呢？

5.實驗報告要求

(1)完成各個實驗任務和要求。附上程序清單和有關曲線。

(2)簡要回答思考題。

實驗程序清單

%第10章實驗3程序

%用FFT對信號作頻譜分析

clearalkcloseall

%實驗內容⑴===================================================

xln=|ones(l,4)];%產生序列向量xl(n尸R4(n)

M=8;xa=l:(M/2);xb=(M/2):-l:l;x2n=(xa,xb]；%產生長度為8的三角波序列x2(n)

x3n=(xb,xa];

X1k8=fft(x1n,8);%計算x1n的8點DFT

Xlkl6=fft(xln,16);(^l9xln的16點DFT

X2k8=fft(x2n.8):%計算xln的8點DFT

X2kl6=fft(x2n,i6);%計算xln的16點DFT

X3k8=fft(x3n.8);%計算xln的8點DFT

X3ki6=fft(x3n,16);%計算xln的16點DFT

%以下繪制幅頻特性曲線

subplot(2,2,l);mstem(Xlk8);%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titleC(la)8點DFT[x_l(n：i]');xlabelCw/n')；ylabel('幅度')；

axis([0,2,0*max(abs(XIkg))])

subplot(2,2,3)；ms(cm(Xlkl6);%繪制16點DFT的幅頻特性圖

titleC(lb)l6點DFHx」(r)]');xlabel('3/n');ylabelf幅度，)；

axis([0,2,0,*max(abs(Xlkl6))])

figure⑵

suhplot(2,2,l);mstem(X2k8);%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titleC(2a)8點DFTlx_2(nj]');xlabel('w/n聽ylabd('幅度');

axis([0,2,0?max(abs(X2k8))])

subplot(2,2,2);mstem(X2kl6);%繪制16點DFT的幅頻特性圖

titlc('(2b)16點DrT[x_2(r)r);xlabcl('?/n)ylabcl('幅度，)；

axis([0,2,0,*max(abs(X2k16))])

subplot(2,2,3)；mstem(X3k8);%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titleC(3a)8點DFT[x_3(n)]');xlabel('w/n)；ylabel('幅度);

axis(fO,2,O,*max(abs(X3k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X3kl6);%繪制16點DFT的幅頻特性圖

liUef(3b)16點DFT[x_3(r)『);xlabel('3/兀，)；ylabel('幅度，)；

axis(|O.2.O.*max(abs(X3k16))J)

%實驗內容(2)周期序歹ij洲分析==================================

N=8;n=0:N-l;%FFT的變換區間N=8

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*iV8);

X4k8=fft(x4n);%計算x4n的8點DFT

X5k8=fft(x5n);%計算x5n的8點DFT

N=16;n=0:N-l;%FFT的變換區間N=16

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k!6=fft(x4n);%計算x4n的16點DFT

X5kl6=fft(x5n);%計算x5n的16點DFT

figure⑶

subplot(2.2,l);mstem(X4kS);%繪制8點DFT的幅頻特性圖

title('(4a)8點DFT[x_4(n：『);xlabel('3/n上ylabcl('幅度')；

axis([0,2,0,*max(abs(X4k8))])

subplot(2,2,3)；mstem(X4kl6);%繪制16點DFT的幅頻特性圖

litleC(4b)16點DFT[x_4(r)r):xlabd('3/兀')；ylabel('幅度，)；

axis([0.2.0,*max(abs(X4k16))])

subplot(2,2,2);mstem(X5k8);%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titleC(5a)8點DFT[x_5(n)r);xlabelCw/n力ylabelf幅度

axis([0,2,0,*max(abs(X5k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X5kl6);%繪制16點DFT的幅頻特性圖

iitlcC(5b)16點DFnx_5(r))');xlabd('3/jr，)；y]abel('幅度');

axis([0,2,0,*max(abs(X5k16))])

%實驗內容⑶模擬周期信號譜分析========================

figure(4)

Fs=64;T=l/Fs;

N=16;n=0:N-l;%FFT的變換區間N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對x6(l)16點采樣

X6k16=fft(x6nT);%計算x6nT的16點DFT

X6kl6=fftshift(X6kl6);%將零頻率移到頻譜中心

Tp=N*T;F=l/Tp;%頻率分辨率F

k=-N/2:N/2-l;il<=k*F:%產生16點DFT對應的采樣點頻率(以零頻率為中心)

subplot(3,1,1);stcm(fk,absiX6k16)：.');bc)xon%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titic('(6a)16點IDEnx—GSTHDRabcKRIbOXylabclC幅度工

axis([-N*F/2-l,N*F/2-1,0,*max(abs(X6k16))])

N=32;n=0:N-l;%FFT的變換區間N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對x6(t)32點采樣

X6k32=fft(x6nT);%計算x6nT的32點DFT

X6k32=fftshift(X6k32);%將零頻率移到頻譜中心

Tp=N叮:F=l/Tp;%頻率分辨率F

k=-N/2:N/2-l;fl<=k*F:%產生16點DFT對應的采樣點頻率(以零頻率為中心)

subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),,?);boxon%繪制8點DFT的幅頻特性圖

title((()b)32A|Ubllx_6(nl)jr):xlabelCt(Hz));ylabel(i^.?,)；

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,*max(abs(X6k32))])

N=64:n=0:N-l;%FFT的變換區間N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對x6(t)64點采樣

X6k64=fft(x6nT):%計算x6nT的64點DFT

X6k64=fftshift(X6k64);%將零頻率移到頻譜中心

Tp=N*T;F=l/Tp;%頻率分辨率F

k=-N/2:N/2-l;fk=k*F:%產生16點DFT對應的采樣點頻率(以零頻率為中心)

subplot(3,1,3)；stem(fk,abs(X6k64)；.');boxon%繪制8點DFT的幅頻特性圖

titleC(6a)64點|DFT[x_6(nT)]|'):xlabd('f(Hz)');ylabel('幅度')；

axis(f-N*F/2-1.N*F/2-1.0*max(abs(X6k64))])

實驗程序運行結果

實驗3程序運行結果如圖所示。

(la)8點DFTIXi：n))

(1b)16點DFT[X[(n)]

(2a)8點DFT[x2(n)](2b)16<^DFT[x2(n))

L」.一」

0552

cn/TT

(38)8點DFT[FS)](3b)16點DFTlfS)]

DoLILII

u)/n

°0

°o051152

W/TT3/TT

1odl10--

-30-20-100102030

f(Hz)

(6a)64點|DFTM(nD]l

11I1

■

f(Hz)

圖程序運行結果分析討論；

請讀者注意，用DFT(或FFT)分析頻譜，繪制頻譜圖時，最好將X(k)的自變量k換

算成對應的頻率，作為橫坐標便于觀察頻譜。

27r

你二獷￡A=0,l,2,???,N-1

為了便于讀取頻率值，最好關于兀歸一化，即以⑷/萬作為橫坐標。

1、實驗內容(1)

圖(1a)和(1b)說明與(〃)=凡(〃)的8點DFT和16點DFT分別是為(〃)的頻譜

函數的8點和16點采樣；

因為&(〃)=%((〃+3))8%(〃)，所以，工3(〃)與工2(〃)的8點DFT的模相等，

如圖(2a)和(3a)。但是，當N=16時，毛(〃)與工2(〃)不滿足循環移位關系，所

以圖(2b)和(3b)的模不同。

2、實驗內容(2),對周期序列譜分析

匕(〃)=COS]〃的周期為8,所以N=8和N=16均是其周期的整數倍，得到正確

的單一頻率正弦波的頻譜，僅在“處有1根單一譜線。如圖(4b)和(4b)所示c

毛(〃)=?0$("〃/4)+(：050〃/8)的周期為16,所以N=8不是其周期的整

數倍，得到的頻譜不正確，如圖(5a)所示。N=16是其一個周期，得到正確的頻譜，

僅在兀和又處有2根單一譜線，如圖(5b)所示。

3、實驗內容(3),對模擬周期信號譜分析

x6?)=cos87rt+cos167tt+cos20R

%6⑺有3個頻率成分,f\=4Hz廳2=8Hz,&=10Hz。所以不⑺的周

期為。采樣頻率月=64Hz=16/=8力=6.4￡。變換區間N=i6時，觀察時

間Tp=16T=,不是七。）的整數倍周期，所以所得頻譜不正確，如圖（6a）所示。變換區

間N=32,64時，觀察時間Tp=,1s,是工6。）的整數周期，所以所得頻譜正確，如圖（6b）

和（6c）所示。圖中3根譜線正好位于4Hz,8Hz,l0Hz處。變換區間N=64時頻譜幅

度是變換區間N=32時2倍，這種結果正好驗證了用DFT對中期序列譜分析的理論。

注意：

（1）用DFT（或FFT）對模擬信號分析頻譜時，最好將X（k）的自變量k換算成對應的

模擬頻率旅，作為橫坐標繪圖，便于觀察頻譜。這樣，不管變換區間N取信號周期的幾倍,

畫出的頻譜圖中有效離散諧波譜線所在的頻率值不變，如圖（6b）和（6c）所示。

f.=^k=—k=—k,k=0,l,2,??.,N-1

卜

NNTTp

（2）本程序直接畫出采樣序列N點DFT的模值，實際上分析頻譜時最好畫出歸一化幅

度譜，這樣就避免了幅度值隨變換區間N變化的缺點。本實驗程序這樣繪圖只要是為了驗

證了用DFT對中期序列譜分析的理論。

簡答思考題

思考題（1）和（2）的答案請讀者在教材3.?節找，思考題（3）的答案在程序運行結

果分析討論已經詳細I可答，

實驗四IIR數字濾波器設計及軟件實現

實驗指導

i.實驗目的

（1）熟悉用雙線性變換法設計HR數字濾波器的原理與方法；

（2）學會調用MATLAB信號處理工具箱中濾波器設計函數（或濾波器設計分析工具

fdatool）設計各種I1R數字濾波器，學會根據濾波需求確定濾波器指標參數。

（3）掌握IIR數字濾波器的MATLAB實現方法。

（3）通過觀察濾波器輸入輸出信號的時域波形及其頻譜，建立數字濾波的概念。

2.實驗原理

設計HR數字濾波器?般采用間接法（脈沖響應不變法和雙線性變換法），應用最廣泛

的是雙線性變換法。基本設計過程是：①先將給定的數字濾波器的指標轉換成過渡模擬濾波

器的指標；②設計過渡模擬濾波器；③將過渡模擬濾波器系統函數轉換成數字濾波器的系

統函數。MATLAB信號處理工具箱中的各種IIR數字濾波器設計函數都是采用雙線性變換法。

第六章介紹的濾波器設計函數butter、chobyl.choby2和ellip可以分別被調用來直接

設計巴特沃斯、切比雪夫1、切比雪夫2和橢圓模擬和數字濾波器。本實驗要求讀者調用如

上函數直接設計IIR數字濾波器。

本實驗的數字濾波器的MATLAB實現是指調用MATLAB信號處理工具箱函數filter對給

定的輸入信號x(n)進行濾波，得到濾波后的輸出信號yin)。

3.實驗內容及步驟

(1)調用信號產生函數mstg產生由三路抑制載波調幅信號相加構成的復合信號st,

該函數還會自動繪圖顯示st的時域波形和幅頻特性曲線，如圖所示。由圖可見，三路信號

時域混疊無法在時域分離，但頻域是分離的，所以可以通過濾波的方法在頻域分禽，這就是

本實驗的目的。

(a)s(t)的波形

(b)s(t)的頻譜

超：：：：：：：：：

iOS0.5...........+T.......:..........b..........I........."?..........-：...卜...卜...T

IIIIIIIII

口L?—」」一J??L?L?—一」?■?,一」■一一■?■■一?1...........

0200400600800100012001400160018002030

fZHz

圖三路調幅信號st的時域波形和幅頻特性曲線

(2)要求將st中三路調幅信號分離，通過觀察st的幅頻特性曲線，分別確定可以分

離st中三路抑制載波單頻調幅信號的三個濾波器(低通濾波器、帶通濾波器、高通濾波器)

的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。要求濾波器的通帶最大衰減為，阻帶最小衰減為60dB。

提示：抑制載波單頻調幅信號的數學表示式為

s(f)=cos(2;ry；j)cos(24。)=g[cos(240)+cos(2i(/.+/)")]

其中，cos(2萬〃)稱為載波，艮為載波頻率，cos(2;r.")稱為單頻調制信號，f。為調制正

弦波信號頻率，且滿足。＞人。由上式可見，所謂抑制載波單頻調幅信號，就是2個正弦

信號相乘，它有2個頻率成分：和頻力+4和差頻力-玲，這2個頻率成分關于我波頻率

「對稱。所以，1路抑制載波單頻調幅信號的頻譜圖是關于載波頻率。對稱的2根譜線，其

中沒有載頻成分，故取名為抑制載波單頻調幅信號。容易看出，圖中三路調幅信號的載波頻

率分別為250Hz、500Hz.lOOOHzo如果調制信號m(t)具有帶限連續頻譜,無直流成分，則

s(/)=，〃Q)cos(2萬/7)就是一般的抑制載波調幅信號。其頻譜圖是關于載波頻率上對稱的

2個邊帶(上下邊帶)，在專業課通信原理中稱為雙邊帶抑制載波(DSB-SC)調幅信號，簡稱

雙邊帶(DSB)信號。如果調制信號m(t)有直流成分，則sQ)=〃z(f)cos(2/r//)就是一?般的

雙邊帶調幅信號。其頻譜可是關于載波頻率fc對稱的2個邊帶(上下邊帶)，并包含載頻成

分。

(3)編程序調用MATLAB濾波器設計函數ellipord和ellip分別設計這三個橢圓濾波

器，并繪圖顯示其幅頻響應特性曲線。

(4)調用濾波器實現函數filter,用三個濾波器分別對信號產生函數mstg產生的信

號st進行濾波，分離出st中的三路不同載波頻率的調幅信號yKn)、yz(n)和y3(n),并繪

圖顯示yl(n)、y2(n)和y3(n)的時域波形，觀察分離效果。

4.信號產生函數mstg清單

functionst=mstg

生產生信號序列向量St,并顯示st的時域波形和頻譜

%st=mstg返回三路調幅信號相加形成的混合信號，長度N=1600

N=1600%N為信號st的長度。

Fs=10000;T=l/Fs;Tp=N*T;%采樣頻率Fs=10kHz,Tp為采樣時間

t=0:T:(N-l)*T;k=0:N-l;f=k/Tp;

fcl=Fs/10;%第1路調幅信號的載波頻率fcl=1000Hz,

fml=fcl/10;與第1路調幅信號的調制信號頻率fml=100Hz

fc2=Fs/20;與第2路調幅信號的載波頻率fc2=500Hz

fm2=fc2/10;，第2路調幅信號的調制信號頻率fm2=50llz

fc3=Fs/40;與第3路調幅信號的載波頻率fc3=250Hz,

fm3=fc3/10;為第3路調幅信號的調制信號頻率fm3=25Hz

xtl=cos(2*pi*fml*t).*cos(2*pi*fcl*t);%產生第1路調幅信號

xt2=cos(2*pi*fm2*t).*cos(2*pi*fc2*t);%產生笫2路調幅信號

xt3=cos(2*pi*fm3*t).*cos(2*pi*fc3*t);%產生第3路調幅信號

st=xtl+xt2+x13;%三路調幅信號相加

fxt=fft(st,N);%計算信號st的頻譜

$二==以下為繪圖部分，繪制st的時域波形和幅頻特性曲線===================

subplot(3,1,1)

plot(t,st);grid;xlabelCt/s,)jylabel(,s(t)1);

axis([0,Tp/8,min(st),max(st)]);title()(a)s(t)的波形')

subplot(3,1,2)

stem(f,abs(fxt)/max(abs(fxt))?*.*);grid;title(*(b)s(t)的頻譜')

axis([0,Fs/5,(),]);

xlabelCf/Hz*);ylabel(,幅度')

5.實驗程序框圖如圖所示，供讀者參考。

圖實驗4程序框圖

6.思考題

（1）請閱讀信號產生函數mstg,確定三路調幅信號的載波頻率和調制信號頻率。

（2）信號產生函數mstg中采樣點數N=800,對st進行N點FFT可以得到6根理想譜

線。如果取"10（）0,可否得到6根理想譜線？為什么？N=200（）呢？請改變函數mslg中采樣

點數N的值，觀察頻譜圖驗證您的判斷是否正確。

（3）修改信號產生函數mstg,給每路調幅信號加入載波成分，產生調幅（AM）佶號，

重復本實驗，觀察AM信號與抑制載波調幅信號的時域波形及其頻譜的差別。

提示：AM信號表示式：s（/）=[l+cos（2萬/J）]cos（