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文檔簡介
專題4.1線段、射線、直線【十大題型】
【滬科版】
型
題
?線段、射線、直線概念辨析】...........................................................1
型
題
2線段.射線.直線的區別與聯系】.......................................................2
型
題
3計數問題及其應用】....................................................................3
型
題
4利用線段的和與差求線段長度】.........................................................4
型
題
5線段中點的有關計算】..................................................................5
型
題
6線段n等分點的有關計算】..............................................................6
型
題
7線段的數量關系】......................................................................7
【題型8兩點間的距離】........................................................................9
【題型9直線、線段的性質】...................................................................10
【題型10線段的長短比較及其應用】.............................................................11
【知識點1線段、射線、直線】
芻稱直線射線線段
a
1目形C------------g0-------------g
ABABAB
S略點個數無一個兩個
直線〃射線a線段々
靈示法
直線AB(BA)射線AB線段AB(BA)
作線段a
作直線a作射線。
作法敘述作線段AB
作直線AB作射線AB
連接AB
延長向兩端無限延長向一端無限延長不可延長
【題型1線段、射線、直線概念辨析】
【例1】(2022?河北保定,七年級期末)《紅樓夢》第57回有這么一句話,"自古道J千里姻
緣一線牽。管姻緣的有一位月下老兒,暗里只用一根紅線,把這兩個人的腳絆住.”請問,這
里所說的“線〃若是真的,則在數學中指的應是()
A.直線B.射線C,線段D.以上都不對
【變式1-1](2022?全國?七年級課時練習)下列說法正確的是()
A.直線43和直線84表示同一條直線B.過一點P只能作一條直線
C.射線A8和射線物表示同一條射線D.射線〃比直線匕短
【變式1-2](2022?河北邢臺?七年級期中)若兩個圖形有公共點,則稱這兩個圖形相交,
否則稱它們不相交.如圖,直線附、P8和線段A8將平面分成五個區域(不包含邊界),
若線段PQ與線段人8相交,則點Q落在的區域是()
\@/
(5)爐
--------------1B
②
A.①B.②C.③D.④或⑤
【變式1-3](2022?浙江寧波?七年級期木)如圖,平面內有公共端點的六條射線
0A,C8.0C0D.0E.CF,從射線04開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1,2,3,4,5,
6,7,...則數字"2020"在()
A.射線0/4上B.射線。B上C.射線0D上D.射線0F上
【題型2線段、射線、直線的區別與聯系】
【例2】(2022?山東?肥城市邊院鎮過村初級中學期末)平面上有三點4、8、C,如果A8=10,
AC=7,BC=3,那么()
A.點C在線段48的延長線上
B.點C在線段A8上
C.點C在直線AB外
D.點。可能在直線A8上,也可能在直線A3外
【變式2-1](2022?全國?七年級專題練習)如圖,對于直線43,線段CQ,射線其中
不能相交的圖是()
【變式2-2](2022?天津北辰?七年級期末)如圖,辰辰同學根據圖形寫出了四個結論:①
圖中有兩條直線;②圖中有5條線段;③射線片。和射線4。是同一條射線;④直線80經過
點C.其中結論正硯的結論是.
【變式2-3](2022?山東凍平縣實驗中學課時練習)如知是四個圖形,每一個圖形都芍相
應的一句描述,且所有圖形都畫在同一個平面上.
①線段與射線不相交;②點C在線段AB上;③直線。和直線b不相交;④延長射線/4B,
會經過點C.其中正確的語句的個數為()
A>-----------電Q
M-r
-----------R
%②
A.0B.1C.2D.3
【題型3計數問題及其應用】
【例3】(2022?山東?泰安市泰山區大津口中學七年級階段練習)如圖是一段高鐵行駛路線
圖,圖中字母表示的5個點表示5個車站,在這段路線上往返行車,需印制種車票
(任何兩站之間,往返兩種車票),需要種不同的票價.
!11」■
ABCDE
【變式3-1](2022?湖南?長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校九年級階段練習)一只小蟲
子欲從A點不重復經過圖中的點或者線段,而最終到達目的地E,這只小蟲子的不同走法共
【變式4-2](2022?陜西寶雞?七年級期末)如圖,P是線段46上一點,4B=12on,M、N
兩點分別從P、8出發以1E/S、3E/S的速度同時向左運動(M在線段力尸上,N在線段BP上),
運動時間為
AMPNB
(1)若M、N運動Is時,且PN=3AM,求片尸的長;
(2)若乂、N運動到任一時刻時,總有PN=3"M內f的長度是否變化?若不變,請求出內尸
的長;若變化,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,Q是直線48上一點,且AQ=PQ+8Q,求PQ的長.
【變式4-3](2022?廣東廣州?七年級期中)已知4,B,C,。四點在同一條直線上,點C
是線段A3的中點.
⑴點D在線段上,且AB=6,BD=求線段C7)的長度;
⑵若點E是線段4B上一點,且AE=28E,當AD:8D=2:3時,線段C。與CE具有怎樣的
數量關系,請說明理由.
【知識點2利用線段的中點求線段長度】
線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段,這個點叫做線段的中點.
【題型5線段中點的有關計算】
【例5】(2022?重慶?西南大學附中七年級期末)如圖,點。為線段48的中點,點C為DB的
中點,若A8=16,0£=1^£,則線段EC的K()
I」」」I
AEDCB
20
A.7B.TC.6D.5
【變式5-1](2022?江蘇?沐陽縣修遠中學七年級階段練習)已知點C是線段/W的中點,下
列說法:@AB=2AC,②8c=③AC=8C;?AC^BC=AB.其中正確的個數
是()
A.1B.2C.3D.4
【變式5-2](2022?江蘇揚州?七年級期末)如果一點在分兩條公共端點的線段組成的一條
折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分,這點叫做這條折線的“折中點〃.如圖,點。是
折線A-C-B的"折中點〃,請解答以下問題:
D
(1)當4CABC時,點。在線段上;當AC=8C時,點。與重合;當ACVBC
時,點。在線段上;
(2)當ACC8C時,若石為線段人C中點,EC=8cm,CD=6cm,求CB的長度.
【變式5-3](2022?江蘇?江陰市敵山灣實驗學校七年級階段練習)直線/上的三個點小B、
C,若滿足"8,則稱點。是點A關于點3的“半距點”.如圖1,BC=^AB,此時點C
就是點4關于點B的一個“半距點〃.
若M、N、尸三個點在同一條直線/〃上,且點P是點M關于點N的"半距點〃,MN=6cm.
---------A--------------------------i------------1-------------/
圖1
KIN由
備用圖
(i)MP=___cm
⑵若點G也是直線小上一點,且點G是線段MP的中點,求線段GN的長度.
【題型6線段n等分點的有關計算】
【例6】(2022?湖南?郴州市明星學校七年級階段練習)如圖所示,C,。兩點把線段A8分
成了2:3:4三部分,M是A8的中點,08=12,求AM的長.
ACMDB
【變式6-1](2022?江蘇?鼓樓實驗中學七年級階段練習)定義:數軸上的三點,如果其中
一個點與近點距離是它與遠點距離的則稱該點是其他兩個點的“倍分點〃.例如數軸上點A,
1
B,。所表示的數分別為-1,0,2,滿足A8=35C,此時點8是點A,C的“倍分點”.已知
點A,B,C,M,N在數軸上所表示的數如圖所示.
MABCN
I11IIIII11I111.
-5-4-3-2-1012345678
(1)A,B,C三點中,點是點M,N的“倍分點〃;
(2)若數軸上點例是點D,A的“倍分點〃,則點。對應的數有個,分別是;
(3)若數軸上點N是點P,M的“倍分點”,且點P在點N的右側,求此時點P表示的數.
【變式6-2】(2022?全國?七年級專題練習)已知線段AB=15cm,點C在線段AB上,且
AC:C8=3:2.
AMPCB
⑴求線段力CC8的長;
⑵點P是線段A8上的動點且不與點4B,C重合,線段AP的中點為M,設AP=mnii
①請用含有m的代數式表示線段PC,MC的長;
②若三個點M,F,C中恰有一點是其它兩點所連線段的中點,則稱M,P,C三點為“共諧點”,
請直接寫出使得M,F,C三點為“共諧點''的油的值.
【變式6-3】(2022?全國?七年級課時練習)小明在學習了比較線段的長短時對下面一道問
題產生了探究的興趣:
如圖1,點C在線段AB上,M,N分別是AC,BC的中點.若AB=12,AC=8,求MN的
長.
II111II111
AMCNBAMCNB
圖1圖2
⑴根據題意,小明求得MN=;
⑵小明在求解(1)的過程中,發現MN的長度具有一個特殊性質,于是他先將題中的條件
一般化,并開始深入探究.
設A8=a,C是線段A8上任意一點(不與點A,B重合),小明提出了如下三個問題,請
你幫助小明解答.
①如圖1,M,N分別是AC,BC的中點,則MN=:
②如圖2,M,N分別是AC,8c的三等分點,即AM;:,。,=求MN的長;
③若M,N分別是AC,肥的〃等分點,即A"》,BN=則MN=;
【題型7線段的數量關系】
【例7】(2022?江蘇無錫?七年級期末)如圖,C、。是線段AB上兩點,且CD=3AD-28C,
則AC與8。的關系是()
1A」」
ACDB
A.AC=BDB.2AC=■BDc.3AC=28DD.^AC=38D
【變式7/】(2022?全國?七年級課時練習)如圖1,已知線段/W=20cir,點M是線段A8上
一點,點C在線段4M上,點。在線段8M上,C、。兩點分別從M、B出發以acm/6hon/s
的速度沿直線8A運動,運動方向如箭頭所示,其中。滿足條件:1。—11+出-3|=0.
A/DB
圖1
AMB
圖2
⑴直接寫出:Q=,b=;
⑵若2E<AM<4E,當點c、。運動了3s,求AC+M。的值;
⑶如圖2,若從”=*4點N是直線AB上一點,且AN-BN=MN,求MN與4B的數量關
系.
【變式7-2】(2022?全國?七年級課時練習)如圖①、②所示,線段A8=2C,線段CD=1Q
點七是BC的中點,設AC=Q
4cEDBjCEBD-
圖①圖②
(1)當a=4時,則的長為.
⑵在圖①中,計算的長度(用含。的式子表示)
⑶將圖①中的線段C。向右移動到圖②的位置.
①直接寫出線段4c與線段DE滿足的數量關系.
②在線段AC上有點凡滿足:AF+8E=XAC-4F),求A/的長度(用含。的式子表示)
【變式7-3](2022?全國?七年級課時練習)某操作車間有一段直線型向左移動的傳輸帶,A,
8兩位操作工人站于傳輸帶同側且相距16米,操作組長戶也站在該側,且到43距離相等,
傳輸帶上有一個8米長的工具筐CE.
⑴如圖1,當CE位于48之間時?,F發現工具筐的C端離自己只有1米,則工具筐C端離a
米,工具筐上端離米.
A11CIFEIIB
圖1
⑵工具筐c端從B點開始隨傳輸帶向左移動直至工具篋E端到達以4點為止,這期間工具筐七
端到8的距離8E和工具筐E端到F的距離E尸存在怎樣的數量關系,并用等式表示,(你可以
在圖2中先畫一畫,再找找規律)
AIIFIB
圖2
【知識點3直線的性質】
經過兩點有一條直線,并且只有一條直線.簡單地:兩點確定一條直線.
兩條直線相交,只有一個交點.
【知識點4線段的性質】
兩點的所有連線中,線段最短。簡稱:兩點之間,線段最短。
連接兩點間的線段的長度,叫做這兩點的距離。
【題型8兩點間的距離】
【例8】(2022?全國?七年級專題練習)已知線段AB=10cm,有下列說法:
①不存在到A,8兩點的距離之和小于10cm的點;
②線段上存在無數個到A,B兩點的距離之和等于10cm的點;
③線段A6外存在無數個到A,6兩點的距離之和大于10cm的點.
其中正確的是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【變式8-1](2022?河北石家莊?七年級期末)如圖,48、C、。表示四個車站的位置,4
8兩站之間的距離=a-瓦8、C兩站之間的距離BC=2a-48、。兩站之間的距離
8D=-2b-1
|<------------------a-2b~1----------------?|
⑴求C,Q兩站之間的距離CD(用含。,b的式子表示):
⑵當兒C兩站之間的距離AC=90km時,求C、。兩站之間的距離CD.
【變式8-2](2022?全國?七年級課時練習)如圖所示,M是線段/W上一定點,A8=12cm,
C,。兩點分別從點M,H出發以Icm/s,2cm/s的速度沿直線刖向左運動,運動方向如箭
頭所示(點C在線段AM上,點。在線段BM上).
(1)當點C,。運動了2s時,求AC+M£的值.
(2)若點、C,。運時,總有MD=24(,則AM=.
(3)在(2)的條件下,N是直線48上一點,且AN-B"=MA,求才的值.
ACMDB
【變式8-3](2022?江蘇淮安?七年級期末)【探索新知】
如圖1,點C在線段AB上,圖中共有3條線段:AB、4c和8C,若其中有一條線段的長度是
另一條線段長度的兩倍,則稱點C是線段的“二倍點〃.
(1)①一條線段的中點這條線段的"二倍點";(填"是〃或"不是〃)
②若線段A8=20,C是線段的“二倍點",則8c=(寫出所有結果)
【深入研究】
如圖2,若線段A8=20E,點M從點8的位置開始,以每秒2E的速度向點力運動,當點M
到達點八時停止運動,運動的時間為。秒.
(2)問[為何值時,點M是線段A8的“二倍點〃;
(3)同時點N從點/的位置開始,以每秒1E的速度向點B運動,并與點M同時停止.請直接
寫出點同是線段/4N的“二倍點〃時t的值.
B
A
(圖1)
?(圖2)
【題型9直線、線段的性質】
【例9】(2022?全國?七年級課時練習)下列現象:
①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上
②從人地到R地架設電線,總是盡可能沿著線段AR架設
③植樹時,只要確定兩株樹的位置,就能確定同一行樹所在的直線
④把彎曲的公路改直,就能縮短路程
其中能用“兩點之間線段最短”來解釋的現象有()
A.①④B.①③C.②④D.③④
【變式9-1](2022?河南?鄭州市第四初級中學七年級期末)值日生小明想把教室桌椅擺放
整齊,為了將一列課桌對齊,他把這列課桌的最前面一張和最后面一張先拉成一條線,其余
課臬按這條直線擺放,這樣做用到的數學知識是.
【變式9?2】(2022?浙江紹興?七年級期末)如圖,在方格紙中,點A,B,C,D,E、F,H,
K中,在同一直線上的三個點有().
A.3組B.4組C.5組D.6組
【變式9-3](2022?廣東汕尾?七年級期末)如圖,點C在"03的邊0A上,選擇合適的畫圖
工具按要求畫圖.,
(1)反向延長射線0B,得到射線0D,在射線0D上取一點F,使得0F=0C;
(2)使用量角器,畫出的角平分線0E;
⑶在射線0E上作一點P,使得CP+/7最小;
(4)寫出你完成(3)的作圖依據:.
【題型io線段的長短比較及其應用】
【例10】(2022?江蘇?無錫市華莊中學七年級期中)如圖,在公路MN兩側分別有4,人,?“,心,
七個工廠,各工廠與公路MN(圖中粗線)之間有小公路連接.現在需要在公路MN上設置
一個車站,選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好〃.則下面結論中正確的
是()
①車站的位置設在C點燈于8點;
②車站的位置設在8點與C點之間公路上任何一點效果一樣;
③車站位置的設置與各段小公路的長度無關:
④車站的位置設在8C段公路的最中間處要好于設在點B及點C處.
A.①③B.③④C.②③D.②
【變式10-1】(2022?全國?七年級課時練習)在標槍訓練課上,小秦在點。處進行了四次標
槍試投,若標槍分別落在圖中MNP,Q的四個點處,則表示他最好成績的點是()
A.MB.P
C.ND.0
【變式10-2](2022?重慶巫山?七年級期末)如圖所示,某鄉鎮4、8、C、D、E五個村莊
位于同一條筆直的公路邊,相鄰兩個村莊的距離分別為AB=1千米,8C=3千米,C/)=2
千米,OE=1.5千米.鄉村扶貧改造期間,該鄉鎮打算在此間新建一個便民服務點M,使得
五個村莊到便民服務點的電離之和最小,則這個最小值為干米.
ABCDE
【變式10-3】(2022?全區?七年級課時練習)如圖所示,某公司有三個住宅區,A、B、。各
區分別住有職工30人,15人,10人,且這三點在一條大道上(A,B,。三點共線),己
知A8=:100米,8c=200米.為了方便職工上下班,該公司的接送車打算在此間只設一個
停靠點,為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小,那么該停靠點的位置應設在()
|~?10銖.I?2QOK.|
/區5區C區
A.點4B.點8C.A,B之間D.B,C之間
專題4.1線段、射線、直線【十大題型】
【滬科版】
【題型1線段、射線、直線概念辨析】...........................................................1
【題型2線段、射線、直線的區別與聯系】.......................................................2
【題型3計數問題及其應用】....................................................................3
【題型4利用線段的和與差求線段長度】.........................................................4
【題型5線段中點的有關計算】..................................................................5
【題型6線段n等分點的有關計算】..............................................................6
【題型7線段的數量關系】......................................................................7
【題型8兩點間的距離】........................................................................9
【題型9直線、線段的性質】...................................................................10
【題型10線段的長短比較及其應用】.............................................................11
【知識點1線段、射線、直線】
各稱直線射線線段
a
目形C--------F
ABABAB
略點個數無一個兩個
直線Q射線〃線段a
斐示法
直線AB(BA)射線AB線段AB(BA)
作線段a
作直線。作射線a
作法敘述作線段AB
作直線AB作射線AB
連接AB
也長向兩端無限延長向一端無限延長不可延長
【題型1線段、射線、直線概念辨析】
【例1】(2022?河北保定七年級期末)《紅樓夢》第57回有這么一句話,〃自古道J千里姻
緣一線牽',管姻緣的有一位月下老兒,暗里只用一-根紅線,把這兩個人的腳絆住.”請問,這
里所說的“線〃若是真的,則在數學中指的應是()
A.直線B.射線C.線段D.以上都不對
【答案】C
【分析】根據線段的定義解答即可.
【詳解】解:“自古道:‘千里姻緣一線牽',管姻緣的有一位月下老兒,暗里只用一根紅線,
把這兩個人的腳絆住.”請問,這里所說的“線”若是真的,則在數學中指的應是線段.
故選:C.
【點睛】本題考查了線段,掌握線段的定義(有兩個端點的線)是解題的關鍵.
【變式1-1](2022?全國?七年級課時練習)下列說法正確的是()
A.直線和直線船表示同一條直線B.過一點P只能作一條直線
C.射線A8和射線R4表示同一條射線D.射線〃比直線8短
【答案】A
【分析】根據直線和射線的表示方法,和過一點可以做無數條直線,依次判斷A、C、8,
再利用射線與直線不能進行長短的比較判斷。即可.
【詳解】解:A、直線可以用兩個大寫字母來表示,且直線沒有方向,所以AZ?和ZM足表示
同一條直線;故A正確.
B、過一點P可以作無數條直線;故B錯誤.
C、射線A8和射線84,端點不同,方向相反,故射線和射線84表示不同的射線;故C
錯誤.
D、射線和直線不能進行長短的比較;故D錯誤.
故選:A.
【點睛】本題考查了直線,射線的表示方法以及射線和直線的性質,關鍵是要能夠區分直線
與射線的不同點.
【變式1-2](2022?河北邢臺?七年級期中)若兩個圖形有公共點,則稱這兩個圖形相交,
否則稱它們不相交.如圖,直線附、PB和線段48將平面分成五個區域(不包含邊界),
若線段PQ與線段A8相交,則點Q落在的區域是()
\@/
②
A.①B.②C.③D.④或⑤
【答案】B
【分析】先根據線段PQ與線段A8有公共點確交點的位置在AB上,連結線段PS,利用線
段的延長線所在區域確定點。落在區域②即可.
【詳解】解:?.?線段PQ與線段A8相交,設交點為S,
.?.點S在線段4B上,連結尸S并延長,點。在PS的延長線上,
.「PS的延長線在區域②
???點。在區域②.
故選擇B.
【點睛】本題主要考查了線段、射線和直線,延長線,點與直線的位置關系:①點經過直
線,說明點在直線上;②點不經過直線,說明點在直線外.
【變式1?3】(2022?浙江寧波?七年級期末)如圖,平面為有公共端點的六條射線
0A,08.0C0D,0E,0F,從射線0A開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1,2,3,4,5,
6,7,..?則數字"2020"在()
A.射線。4上B.射線0B上c.射線OD上D.射線0F上
【答案】c
【分析】通過觀察已知圖形,發現共有六條射線,數字依次落在每條射線上,因此六個數字
依次循環,算出2020有多少個循環即可.
【詳解】解:通過觀察已知圖形,發現共有六條射線,
:?數字1-2020每六個數字一個循環.
?/2020+6=336...4,
2020在射線OD上.
故選:C.
【點睛】本題考查了數字的變化類,通過考察數字的所在線段,考杳學生觀察和總結能力,
解決問題的關鍵是計算出6個數字一個循環.題目整體較為簡單,適合隨堂訓練.
【題型2線段、射線、直線的區別與聯系】
【例2】(2022?山東?肥城市邊院鎮過村初級中學期末)平面上有三點4、從C,如果人居10,
AC=7,BC=3,那么()
A.點C在線段A8的延長線上
B.點C在線段上
C.點C在直線4B外
D.點C可能在直線48上,也可能在直線A8外
【答案】B
【分析】根據AB=10,AC=7,BC=3,有AB=AC+3C進行判斷即可.
【詳解】解答:解:如圖,在平面內,AD=10,
---AC=7,BC=3,
.??點。為以A為圓心,7為半徑,與以8為圓心,3為半徑的兩個圓的交點,
由于48=10=7+3=AC+3C,
所以,點C在線段上,
故選:B.
【點睛】本題考查線段、射線、直線的意義,理解點與直線的位置關系是解決問題的關鍵.
【變式2-1](2022?全國?七年級專題練習)如圖,對于直線48,線段CQ,射線£人其中
不能相交的圖是()
---------%F--------——
A.CDB.EC.—D.EF
【答案】ACD
【分析】根據直線、射線、線段的特點分析判斷即可:
【詳解】是直線,CO是線段不能延伸,故不能相交;
48是直線,E尸是射線,都可延伸,故可相交;
CO是線段,不能延伸,故不能相交;
是射線,延伸方向與直線不相交;
故選ACD.
【點睛】本題主要考查了直線、射線、線段的特點,準確分析判斷是解題的關鍵.
【變式2-2](2022?天津北辰?七年級期末)如圖,辰辰司學根據圖形寫出了四個結論:①
圖中有兩條直線:②圖中有5條線段:③射線片。和射線片。是同一條射線:④百線8。經過
點C.其中結論也碰的結論是.
【答案】①③
【分析】根據直線、射線、線段的定義結合圖形即可分析判斷求解.
【詳解】解:①直線是沒有端點,向兩邊無限延伸,圖中有兩條直線,分別是:直線8C
和直線BD,故①說法正確;
②直線上兩點及兩點之間的部分是線段,圖中有6條線段,分別是:線段AB、線段8C、
線段4。、線段4C、線段C。、線段4Q,故②說法錯誤;
③射線AC和射線AD是同一條射線,都是以點A為端點,同一方向的射線,故③說法正確;
④直線B。和直線BC相交于點區直線8D經過點B,不經過點C,故④說法錯誤,
故答案為:①③.
【點睛】本題考查直線、射線、線段的定義,解題的關健是熟練掌握并區分相關定義.
【變式2-3](2022?山東東平縣實驗中學課時練習)如圖是四個圖形,每一個圖形都有相
應的一句描述,且所有圖形都畫在同一個平面上.
①線段與射線不相交;②點C在線段AB上;③直線a和直線力不相交;④延長射線
會經過點C其中正確的語句的個數為()
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【分析】根據直線、線段、射線的定義以及其性質分別判斷得出即可.
【詳解】解:①線段與射線MN不相交,根據圖形可得①正確;
②根據圖形可得點C不在線段48上,故②錯誤;
根據圖形可得出直線。和直線力會相交,故③錯誤;
④根據圖形可得出應為延長線段4B,會經過點C故④錯誤.
故正確的語句的個數是1,
故選:B.
【點睛】此題主要考查了直線、線段、射線的定義的應用,止確根據題意畫出圖形是解題關
鍵.
【題型3計數問題及其應用】
【例3】(2022?山東?泰安市泰山區大津口中學七年級階段練習)如圖是一段高鐵行駛路線
圖,圖中字母表示的5個點表示5個車站,在這段路線上往返行車,需印制種車票
(任何兩站之間,往返兩種車票),需要種不同的票價.
I111■
ABCDE
【答案】2010
【分析】先求得單程的車票數,在求出往返的車票數即可.
【詳解】解:5個點中線段的總條數是4x5+2=10(種),
??,任何兩站之間,往返兩種車票,
應印制10x2=20(種),
又?.?往返票價是一樣的.
「?需要10種票價,
故答案為:20;10.
Mn-1]
【點睛】此題考查了數線段,解決本題的關鍵是掌握“直線上有九個點,則線段的數量有
條".
【變式3-1](2022?湖南?長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校九年級階段練習)一只小蟲
子欲從A點不重復經過圖中的點或者線段,而最終到達目的地E,這只小蟲子的不同走法共
有()
A.12種B.13種C.14種D.15種
【答案】C
【分析】根據題意按順序列舉即可解題.
【詳解】解:這只小蟲子的不同走法有:ABCDE、ABCDPE.ABCDPFE.ABPDE、ABPE、
ABPFE、APBCDE.APDE、APE.APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE,共14
種,
故選:C.
【點睛】本題考查排列與組合問題,是常見考點,掌握用關知識是解題關鍵.
【變式3-2](2022?全國?七年級課時練習)如圖所示,圖中過A點的直線共有條,
以A為端點的射線共有條,以A為端點的線段共有條.
【答案】135
【分析】根據直線沒有端點,射線有1個端點,線段有2個端點,據此分析即可求解.
【詳解】解析:過A點的直線只有1條,即直線AG
以4為端點的射線共有3條,即射線A尸(或AD)、射線AE(或AC)、射線AG;
以A為端點的線段共有5條,叩線段ARAD.AE.AC、AB.
故答案為:①1;②3;③5
【點睛】本題考查了直線.射線,線段的認識,掌握直線、射線、線段的端點的個數是解題
的關鍵.
【變式3-3](2022?全國?七年級專題練習)若直線上有兩個點,則以這兩點為端點可以確
定一條線段.請仔細觀察圖形,解決下列問題:
ABCABCD
圖1圖2
⑴如圖1,直線/上有3個點A,B,C,則可以確定條線段;
⑵如圖2,直線/上有4個點A,B,C,D,則可以確定條線段;
⑶若直線上有〃個點,?共可以確定多少條線段?請寫出解題過程.
【答案】⑴3
(2)6
n(n—1]
⑶—F-條,見解析
【分析】(1)根據線段定義即可求解.
(2)根據線段的定義即可求解.
(3)由(1)(2)找出規律即可求解.
(1)
解:由圖可得:
直線/上有3個點A,B,C,可得線段人心線段8C和線段AC,
則可以確定3條線段,
故答案為:3.
(2)
有圖可得:
直線/上有4個點A,B,C,D,可得線段A3、線段AC、線段40、線段8C、線段8。和
線段CD,
則可以確定6條線段,
故答案為:6.
由(1),(2)可得,
當直線上有"個點,則:
(n-l)+(n-2)+(n-3)+-+3+2+1=="T)=
【點睛】本題考查了線段的定義及數量關系,熟練掌握線段的定義及數量關系是解題的關鍵.
【題型4利用線段的和與差求線段長度】
【例4】(2022?北京朝陽?七年級期末)一種零件的圖紙如圖所示,若AB=10mm,BC=50mm,
CD=20mm,則AO的長為mm.
【答案】80
【分析】根據AQ=A3+8C+CQ即可得答案.
【詳解】解:由圖可知:4D=4B+BC+CO=10+50+20=80(〃〃〃).
故答案為:80.
【點睛】本題考查了線段的和差,掌握連接兩點間的線段長叫兩點間的距離是解本題的關鍵.
【變式4-1](2022?湖南湘西?七年級期末)如圖,已知AD=65mm,BD=60mrr,
CD=lSmm,求>8和8c的長.
II______________________I_________I
ABCD
【答案】AB=5mm,BC=45mm
【分析】結合已知條件根據4B=AD-BD解答,再根據BC=8D-CD求出解即可.
【詳解】如圖,.TD=65mm,BD=60mir,CD=15mm,
AB=AD-BD=65-60=5mrc,BC=BD-CD=60-15=45mm.
【點睛】本題主要考查了線段的和差,掌握線段之間的數量關系是解題的關鍵.
【變式4-2】(2022?陜西寶雞?七年級期末)如圖,尸是線段上一點,A8=12E,M、N
兩點分別從P、8出發以1E/S、3E/S的速度同時向左運動(M在線段。尸上,N在線段8P上),
運動時間為門.
AMPNB
(i)若M、N運動Is時,且PN=34M求4)的長;
(2)若M、N運動到任一時刻時,總有PN=34M片上的長度是否變化?若不變,請求出片F
的長;若變化,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,0是直線AB上一點,且A0=P0+8Q求P0的長.
【答案】(1)3on,證明見解析;(2)長度不變,長度為3cm,證明見解析;(3)6cm或
12C771
【分析】(1)根據路程、速度、時間公式算出M、N運動1s時所走的距離,根據總長度算
出PN+4M的長度,根據PN=34M分別算出PN和AM的長,再根據4P=AM+MP算出AP的
長.
(2)設運動至肛時刻,即可表示出PM和&N的長度,根據總長度表示山PN+4M的長度,由
己知條件PN=3AM,可以得到AM的長度,則4P=4M+PM,即可求得.
(3)由已知條件分析可知Q在AP|ijJ不符合題意,所以。可能在PB間或的延長線上,根據
4Q=PQ+BQ,求得4P=BQ,從而求得與AB的關系.
【詳解】(1)當朋、N運動1s時,PM=1an,BN=3cm,
PN+AM=8an,
PN=3AM,
AM=2cm,PN=6an,
AP=PM+AM=3an.
(2)設運動至也時刻,則PM=t,BN=3t,
:.PN+AM=12-4t,
PN=3AM,
AM=3-t,
:,AP-PM+AM=3an,
.??AP的長度不變,長度為3GM.
(3)由已知條件可知,Q在4P間不符合題意,
.?.當Q在PB間時,如圖1,
由⑵可知AP=3cm,BP=9cm,
.?.PQ+BQ=BP=9=AQ,
?.YQ=4P+PQ,
AP=BQ,
PQ=AQ-AP=6an.
AMPQNB
圖1
當Q在AB的延長線上時,如圖2,
由(2)可知”=3cm,BP=9cm,
-,AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ,
???4Q=8Q+PQ,
:,PQ=AQ-BQ=12+BQ-BQ=1201];
綜上所述,PQ=6cm或12cm.
APBQ
IIII
圖2
【點睛】本題考查了兩點之間的距離,靈活運用線段和、差、倍、分,轉化線段之間的數量
關系是解題的關鍵.
【變式4-3](2022?廣東廣州?七年級期中)已知A,B,C,。四點在同一條直線上,點C
是線段48的中點.
⑴點。在線段上,且48=6,求線段C7)的長度;
(2)若點E是線段AB上一點,且AE=2BE,當AD:8D=2:3時,線段CD與CE具有怎樣的
數量關系,請說明理由.
【答案】⑴線段CO的長度為2;
(2)5CQ=3CE或CD=15CE.理由見解析
【分析】(1)根據線段中點的性質求出6C,根據題意計算即可;
(2)分兩種情況討論,當點。在線段A8上和點。在雨延長線上時,利用設元的方法,
分別表示出48以及CD、CE的長,即可得到CO與CE的數量關系.
(1)
解:如圖1,
AI?CMD1B
圖I
.??點C是線段人4的中點,48=6,
1
BC=?AB=3,
1
?「BDKBC,
BD-1,
:.CD=BC-BD=2;
(2)
解:5CD=3CE^CD=1
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