第頁，共頁山東省臨沂市2024-2025學年高二下學期期中數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如果物體的運動函數為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是（）A米／秒 B.米／秒 C.米／秒 D.米／秒【答案】D【解析】【分析】利用導數的概念可求出物體在秒末的瞬時速度.【詳解】由導數的概念可得，因此，物體在秒末的瞬時速度是米／秒.故選：D.2.從件不同的禮物中選出件送給位同學，不同的送法種數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排列計數原理可得結果.【詳解】從件不同的禮物中選出件送給位同學，不同的送法種數是種.故選：C.3.把一枚硬幣連續拋兩次，記“第一次出現正面”為事件A，“第二次出現反面”為事件B，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法列出事件，包含的基本事件，再由條件概率的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意包括基本事件為{正，正}、{正，反}，包括的基本事件為{正，反}，∴，故選：A．4.二項式展開式中，系數最大值為（）A.280 B.448 C.560 D.672【答案】C【解析】【分析】利用二項式定理寫出通項，再計算其奇數項的系數.【詳解】展開式通項公式為，且為整數，要想系數最大，則為偶數，是展開式中的奇數項，則第項的系數為，第項的系數為，第項的系數為，第7項的系數為，故二項式展開式中，系數最大值為.故選：C5.某校高二級學生參加期末調研考試的數學成績服從正態分布，將考試成績從高到低按照、、、的比例分為、、、四個等級.若小明的數學成績為分，則屬于等級（）（附：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出、的值，結合即可得出結論.【詳解】由題意可得，，則，所以，，因為，故小明屬于等級.故選：B.6.隨機變量的可能取值為、、，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，，根據題意得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，結合方差公式可求得的值.【詳解】設，，則，，解得，，故.故選：C.7.質數（primenumber）又稱素數，一個大于1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，則這個數為質數.數學上把相差為2的兩個素數叫做“孿生素數”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不大于30的正整數中，隨機選取兩個不同的數，記事件：這兩個數都是素數；事件：這兩個數是孿生素數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據條件概率的計算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數有個，其中素數有共個，孿生素數有和，和，和，和，共組，所以，，所以故選：B.8.對任意，不等式恒成立，則正數的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將所求不等式變形為，構造函數，利用導數分析該函數的單調性，可得出，參變分離得出，利用導數求出函數的最小值，可得出關于實數的最大值.【詳解】對任意的，不等式恒成立，則，可得，，令，其中，則，所以，函數在上為增函數，由可得，則，故對任意的，，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，故，解得，即正實數的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某工廠生產的個零件中，有件合格品，件不合格品，從這個零件中任意抽出件，則抽出的個零件中（）A.都是合格品的抽法種數為B.恰有件不合格品的抽法種數為C.至少有件不合格品的抽法種數為D.至多有件不合格品的抽法種數為【答案】BCD【解析】【分析】利用組合計算原理逐項判斷即可.【詳解】某工廠生產的個零件中，有件合格品，件不合格品，從這個零件中任意抽出件，則抽出的個零件中，對于A選項，都是合格品的抽法種數為，A錯；對于B選項，恰有件不合格品的抽法種數為，B對；對于C選項，至少有件不合格品即為：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，抽法種數，C對；對于D選項，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法種數為，D對.故選：BCD.10.已知函數及其導函數的部分圖象如圖所示，設函數，則（）A.在區間上是減函數 B.在區間上是增函數C.在時取極小值 D.在時取極小值【答案】AD【解析】【分析】根據圖象得到的符號，即可得到的符號，進而得到的單調性和極值.【詳解】結合圖象可知，當時，，當時，，當時，，，因，故當時，，在區間上單調遞增，當時，，在區間上單調遞減，當時，，在區間上單調遞增，故在時取極大值，在時取極小值.故選：AD.11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A.2次傳球后球在丙手上的概率是B.3次傳球后球在乙手上的概率是C.3次傳球后球在甲手上的概率是D.n次傳球后球在甲手上的概率是【答案】ACD【解析】【分析】列舉出經2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計算作答可判斷ABC，n次傳球后球在甲手上的事件即為，則有，利用全概率公式可得，再構造等比數列求解即可判斷D.【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個結果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個結果，所以概率是，故A正確；第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結果為:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個結果，所以概率為，故B錯誤；3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個結果，所以概率為，故C正確；n次傳球后球在甲手上的事件記為，則有，令，則于是得，故，則，而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即，則有，數列是以為首項，為公比的等比數列，所以即，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設隨機變量服從正態分布，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用正態密度曲線的對稱性可得出關于的等式，解之即可.【詳解】因為隨機變量服從正態分布，若，則，解得.故答案為：.13.已知函數，則______.【答案】【解析】【分析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，因此，.故答案為：.14.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3的三個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將三個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規則是主持人請抽獎人在三個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由抽獎人獲得.按照游戲規則當抽獎人選擇了一個箱子后，主持人會打開了另外兩個箱子中的一個空箱子，主持人只打開抽獎人選擇之外的空箱子，當兩個都是空箱子時，他隨機選擇其中一個打開.這時，主持人會給抽獎人一次重新選擇的機會，抽獎人可以重新選擇，也可以堅持原來的選擇.甲、乙兩人先后參加抽獎游戲，甲在抽獎過程中，當主持人給重新選擇的機會時，甲重新選擇了另一個箱子，乙在抽獎過程中，主持人給重新選擇的機會時，乙堅持原來的選擇.那么甲、乙兩人都獲得獎品的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據相互獨立事件的概率計算公式求解.【詳解】首先，甲、乙獲獎是相互獨立的，設甲獲得獎品為事件，乙獲得獎品為事件，甲、乙都獲得獎品為事件，則：.對甲：當甲第一次抽獎抽到無獎品的箱子（概率為）時，重新選擇必定中獎，所以,對乙：乙因為沒有重新選擇，所以乙只有在第一次選擇時，選中有獎品的箱子，才能獲得獎品，所以.所以.故答案為：四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知二項展開式中，第4項的二項式系數與第3項的二項式系數的比為.（1）求的值；（2）求展開式中項的系數.【答案】（1）；（2）180.【解析】【分析】（1）結合二項式的展開式中的二項式系數可得，解組合數方程即可求出結果；（2）結合（1）的結論，以及二項式的展開式的通項公式，得，令即可求出結果.【詳解】（1）由第4項的二項式系數與第3項的二項式系數的比為，可得，化簡可得，求得.（2）由于二項展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中項的系數為.16.在甲、乙、丙三個地區爆發了流感，這三個地區分別有、、的人患了流感，假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任意選取一個人.（1）求這個人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人選自甲地區的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自甲地區，記事件此人來自乙地區，記事件此人來自丙地區，利用全概率公式可求得的值；（2）利用條件概率公式可求得的值.【小問1詳解】記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自甲地區，記事件此人來自乙地區，記事件此人來自丙地區，則，且、、彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.【小問2詳解】由條件概率公式可得.17.已知函數．（1）討論的單調性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函數的導數，討論導數零點的大小關系，從而判斷函數的單調性；（2）參變分離可得對恒成立，令，，利用導數求出函數的最小值，即可得解.【小問1詳解】定義域為，，當時，令，得或，令，得，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，令，得或，令，得，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，恒成立，函數在單調遞增.綜上可知，當時，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，函數的單調遞增區間是，無減區間.【小問2詳解】若函數，對恒成立，即對恒成立，令，則，當時，當時，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，即實數的取值范圍為.18.某高中學校在一次高二數學監測后，為了解本次監測的成績情況，在整個年級中隨機抽取了200名學生的數學成績，將成績分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分數不低于130分為優秀.（1）從樣本中隨機選取一名學生，已知這名學生的分數不低于90分，問這名學生數學成績為優秀的概率；（2）在樣本中，采取等比例分層抽樣的方法從成績在內的學生中抽取13名，再從這13名學生中隨機抽取3名，記這3名學生中成績為優秀的人數為，求的分布列與數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先根據頻率和為1，求出的值.再利用頻率取估計概率即可.（2）先明確13名同學的構成，再利用超幾何分布，寫出的概率分布，并求其期望.【小問1詳解】依題意，得，解得，則不低于90分的人數為，成績在內的，即優秀的人數為；故這名學生成績是優秀的概率為.【小問2詳解】成紗在內的有人；成纜在內的有人；成績在內的有20人；故采用等比例分層抽樣抽取的13名學生中，成績在內的有6人，在內的有5人，在內的有2人，所以由題意可知，的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：012故.19.已知函數.（1）若時，曲線與直線相切，求實數的值；（2）若是的極值點，函數有且僅有一個零點，設和為兩個不相等的正數，且滿足.①求的取值范圍；②求證：【答案】（1）1（2）①或；②證明見解析【解析】【分析】（1）設切點坐標為，根據導數的幾何意義知即為切線的斜率，用點斜式求得切線方程，根據切線過點，列式求得，即可得的值.（2）①先根據極值點求出，再把有一個零點轉化結合函數圖形求出參數范圍即可；②構造函