第頁，共頁2024-2025學年度第二學期高二數學期中考試卷考試時長：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某物體的運動路程（單位：），時間（單位：）之間的關系，求在時的瞬時速度（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】求導，求出，從而求出時的瞬時速度.【詳解】，故時，，故在時的瞬時速度為5.故選：B2.已知函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，不等式對任意的恒成立，結合參變量分離法可求得實數的取值范圍.【詳解】因為函數在區間上為增函數，所以，不等式對任意的恒成立，即，當時，，所以，，即實數的取值范圍是.故選：D.3.已知隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項分布的期望和概率性質計算即可.【詳解】，解得，所以.故選：B.4.若展開式的二項式系數之和為，則展開式中含項的系數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據二項式系數和為可得，利用通項公式計算可得結果.【詳解】∵展開式的二項式系數之和為，∴，故，∴展開式的第項為，由得，∴，即含項的系數為.故選：B.5.已知一道解答題共有兩小問，小李有0.6的概率可以解答出第一問．在第一問解答不出的情況下，解答出第二問的概率為0.1，第一問解答出來的情況下，第二問解答不出來的概率為0.7，則解答出第二問的概率為（）A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.04【答案】B【解析】【分析】令表示第一問解答出來，表示第二問解答出來，應用對立事件的概率求法得、，再應用全概率公式求解答出第二問的概率.【詳解】令表示第一問解答出來，表示第二問解答出來，則，，，故，，所以.故選：B6.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據的正負性排除B、D，再根據其單調性排除C.【詳解】或時；時，排除B、D；，則，得；得或，故在上單調遞增，在和上單調遞減，排除C.故選：A7.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑三個比賽場地進行現場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】【分析】由題意，分甲單獨與組隊兩種情況，利用特殊元素優先法以及分組分配的思想，可得答案.【詳解】當甲單獨一人進行現場報道時，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個地方，情況數為，則此時總的情況數為；當甲與人組隊進項現場報道時，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊，則情況數為，再在跳高、跳遠選一個去進行現場報道，則情況數，最后剩下的兩人安排去其他兩個地方，則情況數為，所以此時總的情況數為；綜上，符合題意的情況數為.故選：C.8.已知函數，若不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數的單調性奇偶性轉化為在上恒成立，再分離參數后，利用導數求出函數的最值即可得解.【詳解】顯然函數是上的增函數，也是奇函數，因為在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關于兩種股票，下列結論正確的是（）A. B.C.投資股票甲的期望收益較大 D.投資股票甲比投資股票乙風險高【答案】ACD【解析】【分析】計算期望以及方差，從而由期望和方差的意義判斷CD，由方差和期望的性質判斷AB.【詳解】，，，，則投資股票甲的期望收益較大，投資股票甲比投資股票乙風險高.，．故選：ACD10.若，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法即可逐一求解.【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯誤，故選：AC11.已知函數，則下列說法中正確的有（）A.函數有兩個極值點，且點和點關于點對稱B.若關于的方程有一解，則C.若在上有極小值，則D.若在上有最大值3，則【答案】ACD【解析】【分析】對求導，令，求出極值點，結合中點坐標公式，判斷A；根據單調性和函數值畫出簡圖，結合圖象判斷BCD.【詳解】對于A，，令，則，且，對應點為，因為，所以關于點對稱，故A正確；對于B，因為，所以當時，，所以在上單調遞減，當或時，，所以在上單調遞增，且，畫出簡圖為結合圖象知，有一解則或，故B錯誤；對于C，結合圖象，為極小值點，所以在上有極小值，則，故C正確；對于D，令，則或，結合圖象知，在上有最大值3，則，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某地開展黨史知識競賽活動，以黨支部為單位參加比賽，某黨支部在5道黨史題中（包含3道選擇題和2道填空題）不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則______．【答案】##【解析】【分析】方法一采用條件概率的公式，分別算出和；方法二是樣本點數法，分別算出和；方法三是縮小樣本空間法，第1次抽到選擇題后，其樣本空間有4個樣本點，滿足事件的樣本點有2個，由此可求得答案.【詳解】方法一：公式法，，由條件概率公式可得．方法二：樣本點數法不放回地依次隨機抽取2道題作答，樣本空間有個樣本點，則，所以．方法三：縮小樣本空間法第1次抽到選擇題后，第二次再抽一道題，其樣本空間有4個樣本點，滿足事件的樣本點有2個，所以．故答案為：.13.若曲線與曲線在交點處有公切線，則__________.【答案】6【解析】【分析】若曲線與曲線在交點處有公切線，則切點的坐標相等且切線的斜率（切點處的導函數值）均相等，由此構造關于，的方程，解方程可得答案．【詳解】，，曲線與曲線在交點處有公切線，且即，故答案為：614.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_______種.（用數字作答）【答案】96【解析】【詳解】試題分析：由題意知本題是一個分步計數問題，第一步：涂區域1，有4種方法；第二步：涂區域2，有3種方法；第三步：涂區域4，有2種方法（此前三步已經用去三種顏色）；第四步：涂區域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區域5涂第四種顏色；第二類，區域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區域5就可以涂區域1或區域2或區域3中的任意一種顏色，有3種方法．所以，不同的涂色種數有4×3×2×（1×1+1×3）=96.考點：排列組合的應用.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數在處取得極值.（1）求實數的值；（2）求函數在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求出導數，令導數在極值點處為0，得到，在驗證在左右兩邊導函數異號，即可的結論；（2）由（1）中結論得到導數，然后令導數大于0，求得函數的增區間，從而得到函數的減區間，由此知道函數在已知區間上的單調性，由單調性求出最大值與最小值.【小問1詳解】，∵函數在處取得極值，∴，即，即，當時，，當時，，符合題意，∴.【小問2詳解】由（1）知，則，令，解得或；令，解得；∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，則極大值，而，.故函數在上的最大值和最小值分別為，，.16.某商場舉行有獎促銷活動，顧客當日消費金額達366元及以上的均可抽獎.每次抽獎都是從裝有2個紅球，8個白球的箱子中一次性取出2個小球，若取出2個紅球，得200元本商場購物券；若取出1個紅球和1個白球，得80元本商場購物券；若取出2個白球，得10元本商場購物券.（1）求顧客抽一次獎獲得購物券金額的分布列；（2）為吸引更多的顧客，現在有兩種改進方案，甲方案：在原方案上加一個紅球和一個白球，其他不變.乙方案：在原方案的購物券上各加10元，其他不變；若你是顧客，你希望采用哪種方案.【答案】（1）分布列見解析；（2）顧客希望采用方案乙【解析】【分析】（1）設獲得購物券的金額為，先求得各個取值對應的概率，進而得到其分布列；（2）分別求得甲乙兩方案顧客所得購物券金額的數學期望，對二者進行大小比較，選擇數學期望較大者即可.【小問1詳解】設獲得購物券的金額為，則可以取200，80，10，，，.的分布列為：2008010【小問2詳解】方案甲，設獲得購物券的金額為，則可以取200，80，10，，，.則.方案乙，設獲得購物券的金額為，.因，所以顧客希望采用方案乙.17.工廠生產某種產品，每日的成本C（單位：元）與日產量（單位：噸）滿足函數關系式，每日的銷售額R（單位：元）與日產量滿足函數關系式：，已知每日的利潤，且當時．（1）求的值；（2）當日產量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．【答案】（1）（2）當日產量為90噸時每日的利潤可以達到最大值14300元【解析】【分析】（1）由題意列出利潤y與日產量滿足函數關系式，由當時，求出的值；（2）由利潤y與日產量滿足函數關系式，利用導數研究函數單調性，求出最大值及取最大值的條件.【小問1詳解】由題意可得，因為時，所以．解得.【小問2詳解】當時，，，由可得：，（舍）所以當時，，原函數是增函數，當時，，原函數是減函數，所以當時，取得最大值14300．當時，．所以當日產量為90噸時每日的利潤可以達到最大值14300元．18.某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗A?B?C，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為，引種樹苗B?C的自然成活率均為.（1）任取樹苗A?B?C各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）①；②700【解析】【分析】（1）依題意X的所有可能值為0，1，2，3.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.（2）①當時,取得最大值.然后求解一棵樹苗最終成活的概率.②記為棵樹苗的成活棵數，為棵樹苗的利潤，利用二項分布的概率以及期望求解即可.【小問1詳解】由題意知，X的所有可能值為0，1，2，3，則；；；.由此得X的分布列如下表：X0123P所以.【小問2詳解】根據,由（1）知當時，取得最大值.①一棵種樹苗最終成活的概率為.②記為棵種樹苗的成活株數，為株種樹苗的利潤，則，所以，所以，故，要使，則有.所以該農戶應至少種植700棵種樹苗，就可獲利不低于20萬元.19.已知函數且．（1）當時，判斷函數零點的個數；（2）討論函數的單調區間；（3）當時，證明：．【答案】（1）個（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，利用導數分析函數的單調性，結合零點存在定理可得出結論；（2）對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，即可得出函數的增區間和減區間；（3）當時，將所證不等式變形為，令，求出的取值范圍，令，其中，利用導數分析函數的單調性，求出該函數的最小值，證得即可.【小問1詳解】當時，，該函數的定義域為，則，令，可得或，列表如下：單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以，函數的增區間為、，減區間為，所以，函數的極大值為，極小值