高二數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊第五～七章，選擇性必修第二冊第一章～第二章第6節.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某人進行投籃訓練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數為，則表示的試驗結果是（）A.第4次投籃命中 B.第4次投籃未命中C.前3次投籃均未命中 D.投籃命中4次【答案】C【解析】【分析】根據變量的意義進行判斷.【詳解】根據變量的意義可知：表示前3次投籃均未命中，可以進行第四次投籃，則投籃次數為4次.故選：C2.在等比數列中，，，則的公比為（）A B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據等比數列的通項公式列式計算.【詳解】因為數列為等比數列，所以且，，，所以.故選：B3.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導后令即可求解.【詳解】因為，所以，從而，解得.故選：C.4.已知的二項展開式中，常數項為240，且只有第4項的二項式系數最大，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由只有第4項的二項式系數最大可求出n，再出寫二項展開式的通項，根據題意列方程求解即可.【詳解】的二項展開式中只有第4項的二項式系數最大，為偶數，且解得，的二項展開式的通項為令，解得，常數項為，解得，故選：．5.現有兩位游客去四川旅游，他們分別從成都、九寨溝、黃龍、峨眉山、樂山大佛、熊貓基地、都江堰這7個景點中隨機選擇1個景點游玩．記事件“兩位游客中至少有一人選擇九寨溝”，事件“兩位游客選擇的景點不同”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求和，再利用條件概率公式求值.【詳解】事件的對立事件為：“兩位游客無人人選擇九寨溝”，所以，又，所以.故選：D6.曲線上的點到直線的最短距離是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出導函數，再根據切線斜率得出切點，進而應用點到直線距離計算求解.【詳解】因為，所以當切點滿足時，曲線上的點到直線的距離是最短距離，所以，所以切點為，所以點到直線的距離是，所以曲線上的點到直線的最短距離是.故選：A.7.已知奇函數在上單調遞增，且是可導函數，．若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件判斷函數的奇偶性和單調性，再比較自變量的大小，即可比較函數值的大小.【詳解】因為奇函數在上單調遞增，所以時，，且，，所以是偶函數，時，，所以在單調遞增，，所以，即.故選：C8.用藍色和紅色給一排10個方格染色，則藍色使用次數不少于紅色且至多兩個藍色相鄰的方法種數為（）A.71 B.126 C.171 D.175【答案】D【解析】【分析】根據藍色、紅色的使用次數分類討論，逐一求解.【詳解】第一類：藍色5個，紅色5個的情況：先排5個紅色，出現6個空，若藍色互不相鄰，有種方法；若藍色為，則先從6個空中選1個空，排雙藍，再從剩余5個空總共選3個，排單藍，共有種方法；若藍色為，則先從6個空中選1個空，排單藍，再從剩余5個空中選2空，排雙藍，共有種方法.這種情況下總方法種數為：種.第二類：藍色6個，紅色4個的情況：先排4個紅色，出現5個空，若藍色為，則先從5個空中選1個，排雙藍，再把4個單藍排到剩余4個空中，有種排法；若藍色為，則先從5個空中選2個，排雙藍，再從剩余3空中選2個，排單藍，有種排法；若藍色為，則先從5個空中選3個，排雙藍，有.這種情況下總方法種數為：種.第三類：藍色7個，紅色3個：先排3個紅色，出現4個空，藍色必為形式，先從4個空中選1個，排單藍，再把3個雙藍排到剩余3空中，有種排法.藍色再多就不能有滿足條件的排法了.故滿足條件的排法共有：.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在研究某個特殊的路口闖紅燈與發生交通事故的關系時，同學甲向有關部門申請并分別調取了2024年7月份至2024年12月份該路口行人是否闖紅燈以及經過的汽車是否發生交通事故的有關數據，隨機抽取了經過該路口的1000個行人是否闖紅燈以及1000輛汽車是否發生交通事故的相關數據．同學甲針對自己獲得的數據，利用列聯表計算出卡方的值，經查表知．同學甲同時發現每月行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數具有線性相關的關系，并分別求出了相關系數的值以及線性回歸方程，則下列說法正確的是（）A.有95%的把握認為“發生交通事故與闖紅燈有關”B.行人如果不闖紅燈，該路口就不會發生交通事故C.越大時，每月行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數相關程度越高D.每月行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數具有正相關關系【答案】ACD【解析】【分析】根據卡方和臨界值比較判斷A，行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數具有線性相關的關系判斷B，C，D.【詳解】因為卡方的值，同學有95%的把握認為“發生交通事故與闖紅燈有關”，A選項正確；行人如果不闖紅燈，該路口就不會發生交通事故，B選項錯誤；越大時，每月行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數相關程度越高，C選項正確；每月行人闖紅燈次數與汽車發生交通事故次數具有正相關關系，D選項正確；故選：ACD.10.已知等差數列前項和為，若，且對于任意正整數都有，則（）A.B.是公差為的等差數列C.D.，【答案】ABC【解析】【分析】根據等差數列的通項公式、求和公式、性質逐一判斷故選項.【詳解】因為數列為等差數列，，由得數列的前項的和最小，根據等差數列的性質，可得：數列為遞增數列，且，，，.對A：，故A正確；對B：因為，所以，所以是公差為的等差數列，故B正確；對C：因為，故C正確；對D：若，則，，則不存在，使得，故D錯誤.故選：ABC11.已知函數，，，則（）A.當時，有且只有一個零點B.當時，有兩個零點C.無論為何實數，都存在正數使得D.當時，與零點個數相同【答案】ABD【解析】【分析】求導，分析函數的單調性，求函數的極值，可判斷AB的真假；舉反例，可以說明C是錯誤的；轉化為函數，的單調性和極值的問題，利用數形結合，判斷D的真假.【詳解】對A：當時，，，則，由；由，所以在上單調遞減，在上單調遞增.又，所以有且只有一個零點，故A正確；對B：當時，，所以，由；由，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.又，因為，所以，且當和時，，所以函數有兩個零點，故B正確；對C：當時，，，設，則，因為，所以，即在上單調遞增，且，所以在上無零點.所以時，不存在正數使得，故C錯誤；對D：當時，由；由.設，.因為，由；由.所以在上單調遞增，在上單調遞減.且.因為，由；由.所以在上單調遞增，在上單調遞減.且.作出函數，的圖形如下：可知：當時，與零點個數相同，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某批產品分別來自甲，乙，丙三條生產線，甲生產線生產的產品占，次品率為；乙生產線生產的產品占，次品率為；丙生產線生產的產品占，次品率為．現從這批產品中隨機抽取一件進行檢測，則抽到的產品是次品的概率是______．【答案】【解析】分析】利用全概率公式進行求值.【詳解】設抽到的產品來自甲生產線為事件，來自乙生產線為事件，來自丙生產線為事件，抽到的產品為次品時事件，則，，，，，.所以.故答案為：13.若在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先求函數的單調遞減區間，再根據集合的包含關系求實數的取值范圍.【詳解】因為，所以.由或.所以函數的單調減區間為和.又函數在上單調遞減，所以或.解得：.故答案為：14.若是公比為的等比數列的前項和，且對都成立，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據等比數列的前項和公式，討論的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意可知，，當時，，成立當時，，當時，，，，則恒成立，當時，，，，則恒成立，當時，，，，則恒成立，當時，當為偶數時，，則，不滿足條件，當時，當為偶數時，，，則，不滿足條件.所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求時，的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義，即可求解；（2）首先利用導數判斷函數的單調性，再求函數的值域.【小問1詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】，，當，得或（舍），當，，單調遞減，當，，單調遞增，所以當時，取得最小值，，，，所以函數的值域是.16.天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，是我國空間站的重要組成部分．為了能順利地完成航天任務，挑選航天員的要求非常嚴格．經調研，在挑選航天員的過程中有一項必檢的身體指標服從正態分布），航天員在此項指標中的要求為．為了宣傳我國航天事業取得的巨大成就，某校特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動，共有307名學生參加了這次模擬選拔活動．這些學生首先要進行身體指標的篩查，篩查合格的學生再進行另外4個環節選拔．假設學生通過另外4個環節的概率依次為，，，，且每個環節的選拔相互獨立．（1）估計這307名學生中符合“”這個指標的學生人數（四舍五入到個位）；（2）如果符合“”這個指標的學生，繼續進行另外4個環節的選拔，求最終通過學校航天員選拔活動的人數的方差．參考數據：若，則，，．【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用正態分布密度曲線的性質先求，再求人數.（2）利用二項分布的方差公式求方差.【小問1詳解】.因為，所以估計這307名學生中符合“”這個指標的學生人數為7.【小問2詳解】學生符合“”這個指標，進行另外4個環節的選拔且能通過的概率為：，由題意，，所以.17.已知數列的前項和為，．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和，并證明．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用與的關系求數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求解.【小問1詳解】當時，，用代替得：，兩式相減得：.所以.又時，，上式也成立.所以數列的通項公式為：【小問2詳解】由題意：，所以，因為，所以，且.所以.18.稀土不是土，而是一種重要的戰略資源和“工業維生素”，以稀土磁性材料為主的永磁電機，是新能源車、風電、工業機器人等領域的核心組成，隨著這些高景氣度領域需求的持續爆發，帶動了稀土需求的高速增長．某企業為了對其開發的稀土進行合理定價，調研了本企業2019年~2024年開發該稀土每千克的成本，得到一組數據，如下表所示：年份201920202021202220232024年份代碼123456開發成本（元/千克）9186827370已知是實數，，．（1）求的值；（2）經探究知，之間具有線性相關關系，求開發成本（元/千克）關于年份代碼的回歸直線方程，并預測2026年開發該稀土每千克的成本是多少?（計算時，的值精確到整數位）（3）表示由（2）中求出的回歸直線方程得到的與對應的每千克稀土開發的成本預測值，當其對應的殘差的絕對值小于1時，則將已知的開發成本的數據稱為一個“有效數據”．現從已經給出的這6組數據中任取3組，求“有效數據”個數的分布列和數學期望．參考公式：，．【答案】（1）（2），預測2026年開發該稀土每千克的成本是元.（3）分布列見解析，期望是2【解析】分析】（1）由均值求；（2）將數據代入參考公式，和，求解回歸直線方程，再代入，即可求解；（3）首先求解“有效數據”的個數，再代入超幾何分布概率公式，即可求解.【小問1詳解】由條件可知，，得；【小問2詳解】，，，，，所以，2026年是，此時.所以預測2026年開發該稀土每千克的成本是元.【小問3詳解】，，，，，，這6個數據中，有4個是“有效數據”，，，，，隨機變量的分布列，123.19.已知函數的導函數為．若對于區間上的任意實數都有，且的值不恒為0，則稱為區間上的“絕對正函數”，區間稱為的“絕對正區間”．（1）若，判斷是否為區間上的“絕對正函數”，并說明你的理由；（2）已知（Ⅰ）求時，的“絕對正區間”；（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）不是；答案見解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）求導后由二倍角的正弦公式和正弦函數的值域可得；（2）（i）求導后換元令，結合函數新定義和對數的運算性質可得；（ii）根據函數的定義域先將問題轉