第頁，共頁2025年4月廣西希望高中高一年級段考試卷數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（）A.四棱臺 B.四棱錐 C.四棱柱 D.三棱柱【答案】C【解析】【分析】根據幾何體結構特征直接判斷即可.【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點分別為，如圖所示，由三棱錐性質可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分別與平面和相交于，所以，同理，又，所以互相平行，所以盛水部分的幾何體是四棱柱.故選：C2.如圖所示，用符號語言可表達為（）A.，， B.，，C.，，， D.，，，【答案】A【解析】【分析】結合圖形及點、線、面關系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線平面內，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達為，，，故選：A3.已知平面向量，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據模的坐標運算得，根據垂直關系可得，再根據模長關系運算求解.【詳解】因為，所以，，又因為，所以，則，所以.故選：C.4.已知正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，則三棱錐的體積為（）A B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據三棱錐的體積與三棱柱體積的關系求解.【詳解】正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，棱柱的底面面積為：．棱柱的體積為：．由三棱錐的體積的推導過程可知：三棱錐的體積為：．故選：C．5.已知直角梯形上下兩底分別為分別為2和4，高為，則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】按照斜二測畫法畫出直觀圖，利用梯形面積公式便可求得其面積.【詳解】如圖所示，實線表示直觀圖，.,,∴直觀圖的面積為,故選：C.【點睛】本題主要考查斜二測畫法，關鍵是掌握斜二測畫法的要領.6.在平行四邊形中，為邊的中點，記，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量的線性運算法則，求得，結合，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以.故選：D．7.不銹鋼實心陀螺是早起民間的小孩子的娛樂工具之一，現在成了一些城市老年人健身和娛樂的工具，目前的成人陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成．如下圖，已知一陀螺的圓柱的底面直徑為16，圓柱和圓錐的高均為6，則該陀螺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析該陀螺的表面結構，結合圓柱、圓錐的側面積公式運算求解.【詳解】該陀螺的表面積有：底面圓面、圓柱的側面和圓錐的側面，因為圓柱底面直徑為16，所以半徑為8，則底面圓面面積為：，因為圓柱的高為6，所以圓柱的側面為：，根據圓錐的高為6，底面圓的半徑為8，得圓錐母線長為，所以圓錐的側面為：，所以該陀螺的表面積為：，故選：A.8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進而結合余弦定理可得，進而結合面積公式即可求解.【詳解】由，根據正弦定理得，，即，即，即，因為，則，所以，即，所以，又，則，即，又，所以的面積為.故選：A.二、多選題（全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，共18分．）9.正六棱臺的上、下底面邊長分別是和，側棱長是，則下列說法正確的是（）A.該正六棱臺的上底面積是B.該正六棱臺的側面面積是C.該正六棱臺的表面積是D.該正六棱臺的高是【答案】ACD【解析】【分析】畫出該幾何體，利用已知條件分別計算正六棱臺的上底面積、側面面積、表面積、正六棱臺的高即可.【詳解】如圖在正六棱臺中，因為，所以側面的梯形的高即正六棱臺斜高為：，所以梯形的面積為：，故正六棱臺的側面積為:，故B選項錯誤；由圖可知該正六棱臺的上底面積為6個邊長為2的等邊三角形組成，所以該正六棱臺的上底面積為：，故A正確；同理下底面積為：，所以該正六棱臺的表面積是,故C正確；正六棱臺的高為，D正確.故選：ACD.10.若復數z滿足：，則（）A.z的實部為3 B.z的虛部為1C. D.z在復平面上對應的點位于第一象限【答案】ABD【解析】【分析】根據待定系數法，將代入條件即可求解，，進而即可根據選項逐一求解.【詳解】設，因為，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的實部為3，虛部為1，故A，B正確；，故C不正確；z在復平面上對應的點位于第一象限，故D正確．故選:ABD．11.已知向量，，，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量的坐標運算可求出、的值，可得出向量、的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可判斷A選項；利用平面向量數量積的坐標運算可判斷BCD選項.【詳解】因為向量，，，所以，，解得，則，，對于A選項，，因為，則與不共線，A錯；對于B選項，，則，故，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，，故，D對.故選：BCD.三、填空題（每小題5分，共15分）12.設是平面內兩個不共線的向量，已知且三點共線，則實數__________．【答案】1【解析】【分析】由三點共線，可得，利用向量共線的充要條件列出向量方程，根據對應系數相等求解即得.【詳解】依題意，，,因三點共線，即，則存在，使得，即得，解得.故答案為：1.13.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為______.【答案】【解析】【分析】利用圓錐底面周長即為側面展開圖半圓弧長，圓錐的母線長即為側面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】由題意，設母線長為，∵圓錐底面周長即為側面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側面展開圖半圓的半徑，則有，解得，∴該圓錐的母線長為.故答案為：.14.圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為______．【答案】54m【解析】【分析】根據題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案：54m.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．）15.已知向量與的夾角為.（1）求的值；（2）若，求在上的投影向量的坐標.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用數量積性質，將所求轉化為向量數量積計算即可；（2）根據投影向量公式直接求解可得.【小問1詳解】因為向量與的夾角為，所以，所以【小問2詳解】由投影向量公式可得：.16.在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積.【答案】【解析】【分析】由已知中底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，可計算出圓柱的底面半徑，代入圓柱表面積公式，即可得到答案.【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，表面積為，底面半徑為2母線長為4的圓錐的高為，則圓柱的上底面為中截面，可得，，，.【點睛】本題考查的知識點是圓柱的表面積，其中根據已知條件，求出圓柱的底面半徑，是解答本題的關鍵.17.設，復數.（1）求m為何值時，z為純虛數；（2）若復數z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據純虛數的概念即可列出方程，進而求解即可；（2）復平面內的點位于第四象限，則橫坐標大于0，同時縱坐標小于0，據此列出不等式求解即可.【小問1詳解】由解得或；當時，是純虛數，當時，為實數，所以.【小問2詳解】因為在復平面內對應的點位于第四象限，所以，解得.18.如圖，在中，已知角，，所對的邊分別為，，，角的平分線交于點，且，.（1）求角的大小;（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理“邊化角”，由二倍角正弦化簡，求出B；（2）在中，中由正弦定理求得，，得，代入面積公式求解.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，

，∴，由，可得，∴

，又，故，∴；【小問2詳解】在中，由正弦定理得，∴，又，所以，∴，，在中，由正弦定理得，，∴，.19.已知△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b