第頁，共頁莆田第五中學2024—2025學年下學期高一數學期中考試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）1.若復數z在復平面內對應的點的坐標為，則的共軛復數（）A. B. C. D.2.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.83.已知邊BC上有一點D，且滿足，則（）A. B. C. D.4.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.在中，角的對邊分別是，若，則（）A.2 B.3 C. D.6.已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.7.釋迦文佛塔，又稱廣化寺塔，位于福建省莆田市城廂區廣化寺東側，建造年代尚無法確定，但早于南宋乾道元年（1165年），是一座仿木樓鬧式石塔．如圖，某同學為測量雷鋒塔的高度，在廣化寺的正西方向找到一座建筑物，高約為15m，在地面上點E處（A，C，E三點共線）測得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測得塔頂部D的仰角為，則廣化寺塔的高度約為（）A.25m B.31m C.30m D.44m8.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉動了45°之后，表面積增加了（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則下列敘述錯誤的是（）A.若，則B.若，則C.的最小值為5D.若向量與向量的夾角為鈍角，則且10.已知的內角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，，則三角形有兩解C.若，則等腰三角形D.若，則為鈍角三角形11.如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點，為側面正方形內一動點，且滿足平面，則（）A.動點軌跡是一條線段B.直線與的夾角為C.三棱錐的體積是隨點的運動而變化的D.平面截正方體所得截面的面積為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知復數z滿足，則________．13.已知圓柱的下底面圓的內接正三角形的邊長為3，為圓柱上底面圓上任意一點，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的體積___________．14.如圖，已知是邊長為2的等邊三角形，D是AB的中點，E是BC的一個靠近點B的三等分點，連接DE并延長至點F，連接AF交BC于點G．若，則的值是______；若，則的值是______．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.已知復數（1）若復數為純虛數，求實數的值；（2）已知是關于的方程的一個根，其中，，求的值．16.如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：（1）；（2）平面平面.17.設內角所對的邊分別為，已知，且．（1）求面積；（2）若為角的平分線，交于，求的長度．18.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為與的交點，為上一點，且．（1）求證：平面；（2）若為正三角形，，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若點到底面的距離為3，求三棱錐的體積．19.古希臘數學家托勒密給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知凸四邊形的四個