東莞市海德實驗學校2024-2025學年第二學期高二年級第一次月考數學試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡上交監考老師．4．測試范圍：人教A版2019，選擇性必修第二冊第五章．5．難度系數：0.5-0.55．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知函數的導函數是，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據導數定義，將增量化成即可得到.【詳解】因為所以故選：B2.函數的導數為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用積的導數和復合函數的求導法則，求出函數的導數作答.【詳解】函數，求導得.故選：B3.若函數恰好有三個單調區間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得有兩個不相等的零點，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選：D.4.已知函數，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在等式兩邊求導，令，可求得的值，可得出的表達式，代值計算可得出的值.【詳解】因為，則，所以，，解得，所以，，因此，.故選：A.5.已知函數在處有極大值，則的值為（）A.6 B.6或2 C.2 D.4或2【答案】A【解析】【分析】根據在處有極大值，得出，解出的值，代入檢驗，即可得出答案．【詳解】因為函數，所以，因為在處有極大值，所以，即，解得或，當時，，令，解得或，當時，，即在單調遞減，當時，，即在單調遞增，所以時取得極小值，不合題意，舍去；當時，，令，解得或當時，，即在單調遞增，當時，，即在單調遞減，所以時取得極大值，符合題意.所以的值為6，故選：A．6.已知函數的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數圖象的特殊點以及單調性逐一判斷可得解.【詳解】由圖象可知，故BD不成立；對于A選項：，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，不符合圖象，故A不成立；故選：C7.我們熟悉的網絡新詞，有“yyds”、“內卷”、“躺平”等，定義方程的實數根叫做函數的“躺平點”．若函數，，的“躺平點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據“躺平點”新定義，可解得，，利用零點存在定理可得，即可得出結論.【詳解】根據題意，，又，則，解得；同理，即，令，則，所以在上單調遞增，又，，所以在上存在唯一零點，；又，則，解得；所以.故選：C.8.已知函數，若對任意，有成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據導函數求出函數單調遞減，結合函數是偶函數得出，最后應用結合函數的單調性求解即可.【詳解】因為，所以,令,因為，所以單調遞減，單調遞減，因為，所以為偶函數，因為，所以，當時，單調遞增，單調遞增，所以.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖顯示物體甲、乙在時間到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是（）A.在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度B.在到范圍內，甲的平均速度等于乙的平均速度C.在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC【解析】【分析】根據平均速度的公式結合條件即可判斷.【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故A錯誤,B正確；在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故C正確，D錯誤．故選：BC．10.已知是自然對數的底數，函數的定義域為，是的導函數，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】構造函數，借助新函數的單調性，即可判斷.【詳解】令函數，則，所以在上單調遞增，又，所以，即，所以，而的大小不確定．故選：AC.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.有極大值B.有極小值C.無最大值D.在上單調遞增【答案】BCD【解析】【分析】分析可知，函數的定義域為，且，利用導數分析函數的單調性與極值，即可得出合適的選項.【詳解】對于函數，該函數的定義域為，且，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數的極小值為，無極大值，當時，，故函數無最大值，函數在上單調遞增，BCD都對，A錯.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數的單調遞減區間為__________．【答案】【解析】【分析】通過求導，得到導函數小于零的不等式，結合定義域求解集即可.【詳解】由題意，函數的定義域為，求導可得，令，因為，所以解得.所以函數的單調遞減區間為.故答案為：.13.已知函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用函數單調性與導數的關系，列出不等式即可求解.【詳解】函數的定義域為，求導得，依題意，不等式在上有解，等價于在上有解，而，當且僅當時取等號，則，

所以實數a的取值范圍是.故答案為：．14.已知兩個函數和.（其中為實數），若對，，使成立，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由題設將問題化為在上，并利用導數求區間上最大值，即可得參數范圍.【詳解】由題設，則在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調遞增，在上單調遞減，而，要使對，，使成立，所以，只需在上，則，可得.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：在上為解題的關鍵.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數在處取得極大值2．（1）求的值；（2）求函數在區間上的最值．【答案】（1），（2）最大值為6，最小值為【解析】【分析】（1）求導，根據函數的極值列方程即可求得的值；（2）由（1）確定函數在區間上單調性即可得最值.【小問1詳解】函數，解得，所以，得所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以函數在處取得極大值，符合題意則，【小問2詳解】由（1）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以的最大值為6，最小值為16.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的極值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當時，求出，然后利用點斜式即可求出切線方程；（2）分類討論，當時、當時，的正負情況，再判斷單調性，從而確定極值.小問1詳解】函數的定義域為，.當時，，，因而，所以曲線在點處的切線方程為，即.小問2詳解】由，①當時，，函數為上的增函數，函數無極值；②當時，令，解得，所以時，，在上的單調遞減，時，，在上的單調遞增.所以函數在處取得極小值，且極小值為，無極大值.綜上所述，當時，函數無極值；當時，函數在處取得極小值，且極小值為，無極大值.17.設函數，.（1）當（為自然對數的底數）時，求的極小值；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用極小值點的定義求解即可；（2）原不等式可轉化為對任意，恒成立，令，則在上單調遞減，利用導數求的取值范圍即可.【小問1詳解】當時，，，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得極小值，極小值為.【小問2詳解】因為對任意，恒成立，即對任意，恒成立，所以在上單調遞減，令，則，所以在上恒成立，又因為的對稱軸為，所以恒成立只需，解得，所以的取值范圍為.18.已知函數．（1）若1是函數的極值點，求的值；（2）若，試問是否存在零點．若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）求導，結合極值點的定義可得，計算驗證即可求解；（2）利用二次求導和零點的存在性定理討論函數的單調性，求出即可下結論.【小問1詳解】，定義域是，．1是函數的極值點，，解得，經檢驗符合題意，.【小問2詳解】令，即，令，則．令，則，令解得，而，且為增函數，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，當x趨向于0時，趨向于，即，，，故存，使得，即，故當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，故，因為，所以，且，故，即無零點．【點睛】方法點睛：對于函數極值點問題，通常先對函數求導，再根據極值點處導數為的性質列方程求解，最后要進行檢驗，確保該點兩側導數異號.研究函數零點問題，可通過構造新函數，利用導數研究其單調性、極值情況，結合零點存在性定理進行判斷.當無法直接求出零點時，分析函數的最小值與的大小關系是常用方法.19.已知函數．（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；（2）設是函數的兩個極值點，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）函數有兩個零點轉化為直線與函數的圖象有兩個不同的交點，利用導數研究函數單調性與最值，數形結合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設，要證，即證，只需證，結合單調遞增只需證，再根據單調性可得答案.【小問1詳解】，則，令，得，若函數有兩個零點，則直線與函數的圖象有兩個不同的交點．設，則．當時，單調遞減，當時，單