第頁，共頁高二數學A卷滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的展開式中的系數為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】【分析】根據二項展開式的通項公式求值.【詳解】因為展開式的第項為：.由.即.所以的系數為.故選：D2.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導，代入，計算出答案.【詳解】，令得，解得.故選：A3.等比數列的公比，前項和為，若成等差數列，則（）A.32 B.62 C.124 D.248【答案】B【解析】【分析】利用等差中項的性質結合等比數列通項公式求出首項，再根據等比數列前項和公式求值.【詳解】由題意，成等差數列，則，即，因為，所以，解得.則.故選：B.4.已知函數，則函數在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復合函數求導并根據導數的幾何意義即可求得切線方程.詳解】易知，可得，又，所以切線方程為，即.故選：D5.中國古代儒家提出的“六藝”是指：禮、樂、射、御、書、數，某校國學社團預計在周六開展“六藝”課程講座活動，周六這天準備排課六節，每藝一節，其中“禮”和“樂”均不排在第一和第六節，且“禮”和“樂”不相鄰，則排法有（）A.72種 B.144種 C.150種 D.240種【答案】B【解析】【分析】利用插空法計算可得.【詳解】先排射、御、書、數4節，有種排法，因為“禮”和“樂”均不排在第一和第六節，且“禮”和“樂”不相鄰，所以從射、御、書、數中間的3個空選2個空排“禮”和“樂”，有種排法.根據分步乘法計數原理，滿足條件的排列方法有：種.故選：B6.如圖，已知在長方體中，，點E在棱上，且，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而得到向量和的坐標，再利用向量的夾角公式求出兩向量夾角的余弦值，由于異面直線所成角的范圍是，所以取其絕對值即為異面直線所成角的余弦值．【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．已知，，則，．所以，，．因為點在棱上，且，，所以，，則．

所以，．

根據向量的夾角公式．先計算．．．則．

因為異面直線所成角的范圍是，所以直線與直線所成角的余弦值為．

直線與直線所成角的余弦值為．故選：C．7.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換底公式，作差法結合基本不等式，可比較的大小；在利用函數的單調性比較的大小.【詳解】因為，所以.又因，所以，而，所以.綜上.故選：A8.定義“鼎尖數列”滿足以下條件：是由4個1和4個2組成的有窮數列，且對任意的，前m項中1的個數不少于2的個數．則不同的“鼎尖數列”共有（）A.10個 B.12個 C.14個 D.18個【答案】C【解析】【分析】利用表格把滿足條件的數列一一列舉出來即可得到答案.【詳解】依次列舉，滿足條件的“鼎尖數列”如下：11112222212221221211222122121122121112221221211221可知：不同的“鼎尖數列”共有個.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知一元三次函數的圖象過點，其導函數，則下列說法正確的是（）A.B.C.函數的極小值點為D.函數的對稱中心是【答案】AB【解析】【分析】求原函數：已知導函數，得到含常數的原函數，再用已知點坐標確定的值．

判斷選項A：把代入已求出的原函數，計算函數值來判斷對錯．

判斷選項B：依據導數定義，就是，代入導函數計算．

判斷選項C：先求導函數的根，再分析根兩側導函數正負確定單調性，進而判斷極小值點，注意極小值點是的值．

判斷選項D：對原函數求二階導數，令二階導數為求出，再代入原函數求函數值，與所給對稱中心對比判斷．【詳解】已知，設原函數：（為常數）．因為函數的圖象過點，將代入可得：，解得．所以．

將代入可得：，所以選項A正確．

根據導數的定義，．將代入可得：，所以選項B正確．

令，即，解得或．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以是函數的極小值點，而不是點，所以選項C錯誤．

根據三次函數對稱中心為，對于，，所以函數的對稱中心是，選項D錯誤．故選：AB．10.已知直線的方程為，圓C的方程為．則下列說法正確的是（）A.直線恒過點B.直線的方向向量與向量共線C.若直線與C有公共點，則D.當時，則直線與圓C所交弦長為【答案】ACD【解析】【分析】A令即可；B求出直線的方向向量，再判斷與是否共線；C利用圓心到直線的距離；D利用公式即可.【詳解】當時，，則直線恒過定點，故A正確；直線的方向向量為，若與共線，則，得，故只有當時才與共線，故B錯誤；若直線與C有公共點，且圓的半徑，則圓心到直線的距離，解得或，故C正確；當時，圓心到直線的距離，因圓的半徑，則弦長為，故D正確.故選：ACD11.如圖，“楊輝三角”是我國古代的偉大發明，其中表示第i行的第j個數表示第i行所有數字之和，例如．則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則數列的前n和為D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據二項式系數的概念可判斷AB的真假；根據二項式系數的性質結合等比數列的求和公式可判斷CD的真假.【詳解】對A：因為，故A正確；對B：因為，故B錯誤；對C：因為，所以，所以數列的前項和為：，故C正確；對D：當，時，，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某學校為培養學生的動手能力、合作能力和環保意識，在新的學期建立了一塊勞動基地（形狀如圖），并進行花卉種植活動．現有4種不同的花卉，在基地的5個區域種植，只要求相鄰區域種植不同的花卉，則不同的種植方法共有___________種．【答案】72【解析】【分析】按照分類加法和分步乘法計數原理計算可得結果.【詳解】依題意可按照的順序分為5步進行種植，則區域1，2，3各有4種、3種、2種不同的花卉供選擇，若區域4與區域2種植相同的花卉，則區域4有一種選擇，區域5有2種；若區域4與區域2種植不同的花卉，則區域4有一種選擇，區域5有1種；再由分類分步計數原理計算可得.故答案為：7213.如圖，雷達接收器的工作原理是將接收信號匯集到同一焦點，從而獲取信息；已知雷達接收器的截面曲線可看作拋物線，則水平光信號入射到拋物線上點A，經拋物線反射到點B，反射光線與x軸的交點為F，則的最小值為___________．【答案】9【解析】【分析】設，利用焦半徑公式計算可得的表達式，再由三角函數值域計算可得結果.【詳解】根據題意可知，直線過拋物線的焦點，作，垂直于拋物線的準線，垂足分別為，如下圖所示：設，易知，可得，即，可得，同理可得，因此，由因為，所以，因此,即的最小值為9.故答案為：914.已知函數，則函數與函數的公切線有___________條．【答案】2【解析】【分析】分別設出切點坐標，求出兩切點處的切線方程聯立方程組并得出關系式，構造函數，利用導數求得其單調性得出零點個數即可求得切弦條數.【詳解】設在函數函數與函數處的切點分別為，則，因此，可得切線方程為，即；由，則，因此切線方程為，即；令，因此可得，設，則，令，解得，即在上單調遞增，令，解得，即在上單調遞減；當，，又，；因此函數上有兩個零點，即公切線有2條.故答案為：2【點睛】方法點睛：求解公切線條數問題首先設出切點坐標，求出切線方程并得出切點間的關系式，再構造函數轉化為求解方程根的個數（或函數零點個數）即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知二項式，且滿足．求：（1）n的值和所有項的系數之和；（2）二項式系數最大的項．【答案】（1），；（2）和.【解析】【分析】（1）利用組合數的計算可求得，再利用賦值法求所有項的系數之和；（2）利用二項式系數的性質得出二項式系數最大的項，根據展開式的通項公式求解即可.【小問1詳解】由可得，因為，經整理可得，即，解得或（舍去），所以，.令，二項式所有項的系數之和為.【小問2詳解】二項式的展開式的通項公式為，因為是奇數，所以二項式系數最大的項是和，當時，，當時，，所以二項式系數最大的項是和.16.某商場在“五一”勞動節期間，要對某商品進行調價，已知該商品的每日銷售量y（單位：）與銷售價格x（單位：百元/）滿足，其中，該商品的成本為1百元/．（1）將該商場每日銷售該商品所獲利潤表示為銷售價格x的函數；（2）當每日銷售該商品所獲利潤最大和最小時，銷售價格分別是多少？（參考數據：）【答案】（1），（）（2）當銷售單價（百元）時，利潤最大；當銷售單價（百元）時，利潤最小.【解析】【分析】（1）根據“利潤銷售量單位利潤”可列出函數關系.（2）求導，分析函數的單調性，進而可得函數的最大、最小值.【小問1詳解】由題意：，（）.【小問2詳解】因為，（）.設，（）則，因為，所以.所以函數在上單調遞增.又，，又當時，，所以，所以在上單調遞減；當時，，所以，所以在上單調遞增.又，，.所以當銷售單價（百元）時，利潤最大；當銷售單價（百元）時，利潤最小.17.已知數列滿足，且．（1）求證：數列為等差數列；（2）已知，記數列的前n項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據等差數列的概念證明數列為等差數列.（2）根據數列的通項公式，寫出數列的通項公式，分析數列的項滿足，所以，即可證明.【小問1詳解】因為當時，，所以，所以，所以，又，所以數列為以3為首項，以3為公差的等差數列.【小問2詳解】由（1）得：.所以.所以.18.已知函數．（1）當時，求函數的極值；（2）當時，討論函數的單調性；（3）若函數恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】（1）極小值；極大值（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導，利用導函數的符號判斷函數的單調性，再求函數的極值.（2）分情況解一元二次不等式，可得函數的單調區間.（3）分情況討論，求函數的最大值，根據最大值不大于0，可求a的取值范圍.【小問1詳解】當時，，.所以.由或；由.所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.所以當時，函數取得極大值，且；當時，函數取得極小值，且.【小問2詳解】當時，，.所以.當時，由或；由.所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增.當時，由或；由.所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.【小問3詳解】若，當時，，故不合題意；若，則，所以，由；由.所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以函數的最大值為：.所以恒成立；若，則，.由；由.所以函數的最大值為：.由，所以.綜上可知.故取值范圍是.19.已知橢圓的離心率為，短軸長為，直線的方向向量．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相切．（i）求直線的方程；（ii）若是橢圓上關于原點對稱的兩點，過分別作橢圓的切線，其中一條交直線l于兩點，求的最小值．（附：已知點在橢圓上，則橢圓在該點處的切線方程為）【答案】（1）（2）（i）或；（ii）【解析】【分析】（1）根據橢圓離心率以及短軸長可解得，即可得橢圓的標準方程；（2）（i）聯立直線和橢圓方程利用交點個數由判別式計算可得直線方程；（ii）求得切線方程并解得交點坐標，得出的表達式再利用換元法構造函數，由導數判斷出函數單調性計算可得結果.【小問1詳解】