第12頁，共13頁2024-2025學年第二學期期中考試鹽田高級中學高一數學試題卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確選項的序號填在括號內，每小題5分，共40分）1．在復平面內，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因為，所以對應的點的位于在第四象限，故D正確.故選：D2．下列結論正確的是（

）A．兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線.B．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.C．如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.D．若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內的所有直線與a異面.【答案】B【詳解】對選項A，由基本事實3，兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過A點的公共直線，而不是任意一條過點的直線都是兩平面的交線，故A項錯誤；對于B，若兩兩相交的三條直線交于一點，則三條直線最多可以確定三個平面，故B正確；對選項C，若這三個公共點共線，兩平面可能相交，不一定重合，故C項錯誤；對選項D，若直線不平行于平面，且，則直線與平面相交，設交點為，則平面內所有過點的直線都與相交于點，而不是異面，故D項錯誤.故選：B.3．如圖，是水平放置的的直觀圖，則的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形，其中，，所以.故選：C4．已知與是兩個不共線的向量，，若三點共線，則實數的值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【詳解】因為，所以，因為三點共線，必存在一個實數，使得，所以，而不共線，所以，解得：.故選：B.5．在中，下列命題不正確的是（

）A．若，則B．若，則一定為等腰三角形C．若，則為鈍角三角形D．若，，，則有兩解【答案】B【詳解】對于：若，則，所以，所以，故正確；對于：，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；對于：，則，所以角為鈍角，所以為鈍角三角形，故正確；對于：，因為，，所以角可能是銳角，也可能是鈍角，故有兩解，故正確.故選：.6．如圖，在海面上有兩個觀測點，，點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某商船在處，此時測得，5分鐘后該船行駛至處，此時測得，，，則該船行駛的距離（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】,，在中，，，則，又因為，所以km.在中，，，則.由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，即.故選：A.7．已知正三棱柱的所有棱長相等，且六個頂點都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設正三棱柱的所有棱長均為2，由正弦定理可知底面三角形外接圓半徑為：，則正三棱柱的外接球的半徑為，∴球的體積為，又正三棱柱的體積為，∴.故選：A.8．如圖，已知正方形的邊長為4，若動點P在以為直徑的半圓上（正方形內部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】取的中點，連接，則，，兩式分別平方再相減得，設中點為，連接交圓弧于點，則當與重合時，最小，最小值為2，當當與或重合時，最大，最大值為，所以.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的部分分，有選錯的得0分）9．已知為虛數單位，則以下四個說法中正確的是（

）A．復數的虛部為B．C．復數與分別對應向量與，則向量對應的復數為D．若復數z滿足條件，則復數z對應點的集合是以原點為圓心，分別以和為半徑的兩個圓所夾的圓環，且包括圓環的邊界【答案】BCD【詳解】對于A：對于復數的虛部為，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：復數與分別表示向量與，因為，所以表示向量的復數為，故C正確;對于D：對于D，設復數，若復數滿足條件，則有，故復數對應點的集合是以原點為圓心，分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環，且包括圓環的邊界，故D正確.故選：BCD.10．是邊長為3的等邊三角形，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】BCD【詳解】如圖：對于A，，故A錯誤；對于B，，所以，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.11．如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內一動點，則下列結論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【詳解】對于A：當為中點時，因為是的中點，所以，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：因為，分別是，的中點，所以，在正方體中，易證，所以，過三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形，故B錯誤；對于C：因為，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D：三棱錐的外接球可以補形為長方體（長為，寬為，高為）的外接球，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積，故D正確，故選：ACD.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12．已知為虛數單位，設，若為純虛數，則的值為.【答案】3【詳解】由題意可得，解得所以.故答案為：3.13．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【答案】【詳解】設為與的夾角，則，因為為銳角，所以，解得，且，所以的取值范圍是．故答案為：.14．我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術”，即在中，角所對的邊分別為，則的面積為，若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為.【答案】【詳解】由得：，即，故，所以，而,所以，則，當且僅當時取等號，故，即面積的最大值為，故答案為：四、解答題（本大題共5個小題，共77分）15．（13分）已知復數.(1)求復數的模；(2)若，求，的值.【答案】(1)(2)，【詳解】（1），.（2），又，，解得，.16．（15分）已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求與的夾角的余弦值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，可得，即．又，，所以，，所以，解得．（2）因為，，所以，又，所以，解得，所以.又，所以，所以與的夾角的余弦值為．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2為菱形，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是的中點.(1)求證：平面；(2)設為的中點，過三點的截面與棱交于點，指出點的位置并證明.【答案】(1)證明見解析(2)為的中點，證明見解析【詳解】（1）如圖，取中點，連接，因為為中點，所以，且，又因為四邊形為菱形，且為中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面；（2）為的中點，因為且，故為平行四邊形，故，平面，平面，故平面，又平面，平面平面，所以，又，所以，因為為的中點，所以點為的中點.18．（17分）已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.(1)求該圓錐的側面積；(2)求圓錐的內切球的表面積；(3)求該圓錐的內接正四棱柱(正四棱柱的一個底面在圓錐底面上)的側面面積的最大值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，又，所以，又因為的面積為，，解得（負值舍去），又，所以，圓錐的側面積.（2）作出軸截面如圖所示：根據圓錐的性質可知內切球球心在上，設球心為，切于點，設內切球半徑為，即，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，所以圓錐的內切球的表面積；（3）由（1）知圓錐的高，令正四棱柱的底面邊長為，高為，則，由得，，所以正四棱柱的側面積，當且僅當，即時等號成立，所以該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值為.19．（17分）如圖，設中角所對的邊分別為為邊上的中線，已知且.（1）求b邊的長度；（2）求的面積；（3）設點分別為邊上的動點，線段交于G，且的面積為面積