A-Level數學（PureMath1）2024-202學年秋季考試試卷：函數與三角函數難題攻克一、函數（一元函數）要求：掌握函數的基本概念，函數的圖像，函數的單調性，奇偶性，周期性，以及函數的極限和連續性。1.設函數f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的極值點和拐點。2.已知函數f(x)=(x^2-4x+3)/(x-1)，求f(x)的定義域，并畫出f(x)的圖像。二、三角函數要求：掌握三角函數的基本概念，三角函數的圖像，三角函數的性質，以及三角函數的恒等變換。3.設角α的正弦值為1/2，求角α的正切值。4.若cos(2α)=-3/5，求sin(α)的值。5.已知tan(α)=2/3，求sin(2α)的值。6.設函數f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的周期。7.若sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)，求證：cos(α-β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)。8.已知sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，求sin(2α)和cos(2α)的值。四、數列要求：掌握數列的定義，數列的通項公式，數列的極限，以及數列的收斂與發散。9.設數列{an}滿足an=2an-1+3，且a1=3，求an的通項公式。10.已知數列{bn}是一個等差數列，且b1=5，公差d=2，求b10的值。11.設數列{cn}是一個等比數列，且c1=4，公比q=3/2，求cn的通項公式。12.已知數列{dn}是一個調和數列，且d1=1，公差h=-1/2，求d5的值。13.求數列{en}=(n^2-1)/(2n+1)的前5項和。五、不等式要求：掌握不等式的性質，不等式的解法，以及不等式的應用。14.解不等式組：{x-3>2，x+5≤8}。15.若a>0，b>0，且a+b=10，求ab的最大值。16.解不等式：x^2-4x+3>0。17.若x≥0，求不等式x^2+4x+3≥0的解集。18.設函數f(x)=x^2-4x+3，求不等式f(x)<0的解集。六、復數要求：掌握復數的概念，復數的運算，復數的幾何表示，以及復數的應用。19.求復數z=3+4i的模和輻角。20.解方程：z^2+z+1=0。21.求復數w=2-3i的共軛復數。22.設復數u=1+i，v=1-i，求復數u-v的值。23.若復數x+yi滿足x^2+y^2=25，求復數x-yi的模。本次試卷答案如下：一、函數（一元函數）1.解析：首先求導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。然后計算f(1)=0，f(-1)=4，所以極值點為(1,0)和(-1,4)。拐點通過二階導數f''(x)=6x計算得出，f''(1)=0，f''(-1)=0，因此拐點為(1,0)和(-1,4)。2.解析：首先將分子分解為(x-1)(x-3)，所以f(x)在x=1時無定義，定義域為(-∞,1)∪(1,+∞)。然后通過除法得到f(x)=x-3，畫出圖像。二、三角函數3.解析：由于正弦值為1/2，角α在第一或第二象限，因此正切值為正負根號3。所以tan(α)=±√3。4.解析：利用二倍角公式cos(2α)=1-2sin^2(α)，得到sin^2(α)=1/5，因此sin(α)=√5/5。5.解析：使用雙角公式sin(2α)=2sin(α)cos(α)，由于tan(α)=2/3，可以構造一個直角三角形，其中對邊為2，鄰邊為3，斜邊為√13，所以sin(α)=2/√13，cos(α)=3/√13，進而得到sin(2α)=4/√13。6.解析：由于sin(x)和cos(x)的周期都是2π，所以f(x)的周期也是2π。7.解析：利用三角函數的和差公式，左邊可以寫為sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)，這正是右邊的表達式，所以證明成立。8.解析：使用二倍角公式sin(2α)=2sin(α)cos(α)和cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)，代入已知的sin(α)和cos(α)的值計算得到sin(2α)=12/25，cos(2α)=7/25。四、數列9.解析：首先找到an-1的表達式，即an-1=(2an-2+3)/2。然后遞推計算得到an=2an-1+3=2(2an-2+3)+3=4an-2+9。由于a1=3，可以通過遞推公式計算出an的通項公式。10.解析：等差數列的第n項公式為bn=b1+(n-1)d，代入b1=5和d=2，計算得到b10=5+(10-1)*2=23。11.解析：等比數列的第n項公式為cn=c1*q^(n-1)，代入c1=4和q=3/2，計算得到cn=4*(3/2)^(n-1)。12.解析：調和數列的第n項公式為dn=d1/(1-(h/n))，代入d1=1和h=-1/2，計算得到d5=1/(1-(-1/2)/5)=6。13.解析：直接計算數列的前5項，然后求和得到1/3+3/5+5/7+7/9+9/11=(2/6)+(6/10)+(10/14)+(14/18)+(18/22)=2。五、不等式14.解析：解不等式x-3>2得到x>5，解不等式x+5≤8得到x≤3，因此不等式組的解集為空集。15.解析：使用算術平均數-幾何平均數不等式，即(a+b)/2≥√(ab)，代入a+b=10得到5≥√(ab)，因此ab≤25，最大值為25。16.解析：分解不等式x^2-4x+3>0得到(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3。17.解析：將不等式x^2+4x+3≥0分解得到(x+1)(x+3)≥0，解得x≥-1或x≤-3。18.解析：同樣分解不等式得到(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3。六、復數19.解析：復數的模為|z|=√(3^2+4^2)=5，輻角為θ=arctan(4/3)。20.解析：使用配方法或求根公式解方程，得到兩