廣東省廣州市2013屆高三畢業班綜合測試（數學理）（一）2013廣州一模一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$，則$f(x)$的值域為（）A.$[0,+\infty)$B.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$C.$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$2.設$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$(a+b)^3$的最大值為（）A.1B.$\frac{8}{27}$C.$\frac{27}{8}$D.$\frac{3}{2}$3.設集合$A=\{x|x^2-2x+1\geq0\}$，$B=\{x|x\leq1\}$，則集合$A\capB$的元素個數是（）A.2B.3C.4D.無窮多個4.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=5$，$S_8=20$，則$a_6$的值為（）A.3B.4C.5D.65.若函數$f(x)=x^3-3x+2$在區間$[0,1]$上單調遞增，則函數$f(x)$的極值點個數為（）A.0B.1C.2D.36.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，若$f(x)$在區間$[0,2]$上有極值，則$f(x)$的極值點個數是（）A.0B.1C.2D.37.設$f(x)=x^3-3x+2$，$g(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$，則$f(x)$與$g(x)$的圖像交點的個數為（）A.1B.2C.3D.48.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，若$f(x)$在區間$[0,2]$上有極值，則$f(x)$的極值點在（）A.$[0,1)$B.$(1,2]$C.$[0,2]$D.無解9.設$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$(a+b)^3$的最小值為（）A.0B.$\frac{1}{8}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{4}$10.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=5$，$S_8=20$，則$a_7$的值為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：本大題共5小題，每小題6分，共30分。11.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(h,k)$，則$a$、$b$、$c$的取值范圍分別為（）12.已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，若$f(x)$在區間$[0,2]$上有極值，則$f(x)$的極小值為（）13.設集合$A=\{x|x^2-2x+1\geq0\}$，$B=\{x|x\leq1\}$，則集合$A\cupB$的元素個數是（）14.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=5$，$S_8=20$，則$a_7$的值為（）15.若函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，若$f(x)$在區間$[0,2]$上有極值，則$f(x)$的極值點在（）三、解答題要求：本大題共3小題，共70分。16.（本小題共20分）已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）求$f(x)$的單調區間；（2）求$f(x)$的極值；（3）求$f(x)$的圖像與$x$軸的交點。17.（本小題共20分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=5$，$S_8=20$，求：（1）求$\{a_n\}$的通項公式；（2）求$\{a_n\}$的前$n$項和公式；（3）求$\{a_n\}$的第六項。18.（本小題共30分）已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，求：（1）求$f(x)$的定義域；（2）求$f(x)$的單調區間；（3）求$f(x)$的極值；（4）求$f(x)$的圖像與$x$軸的交點。四、解答題要求：本大題共3小題，共70分。19.（本小題共20分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求：（1）求$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求$f(x)$的極值；（3）求$f(x)$的圖像與直線$y=x$的交點。五、解答題要求：本大題共3小題，共70分。20.（本小題共20分）已知等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=6$，$S_5=24$，求：（1）求$\{a_n\}$的首項$a_1$；（2）求$\{a_n\}$的公比$q$；（3）求$\{a_n\}$的前$n$項和公式。六、解答題要求：本大題共3小題，共70分。21.（本小題共20分）已知函數$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$，求：（1）求$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）求$f(x)$的極值；（3）求$f(x)$的圖像與$x$軸的交點。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$可以化簡為$f(x)=x+1$，因為$x^2-2x+1=(x-1)^2$，所以$f(x)$的值域為$(-\infty,+\infty)$，即選項B。2.C解析：由均值不等式知，當$a=b$時，$(a+b)^3$取得最大值，即當$a=b=\frac{1}{2}$時，$(a+b)^3$取得最大值$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^3=\frac{27}{8}$。3.C解析：集合$A$是所有$x$使得$x^2-2x+1\geq0$，即$(x-1)^2\geq0$，顯然對所有$x$都成立，所以$A$是全集。集合$B$是所有$x$使得$x\leq1$，所以$A\capB=B$，$B$的元素個數是無窮多個。4.B解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$是首項，$a_n$是第$n$項。由$S_5=5$和$S_8=20$，可以列出方程組：$$\begin{cases}\frac{5}{2}(a_1+a_5)=5\\\frac{8}{2}(a_1+a_8)=20\end{cases}$$解得$a_5=2$，所以$a_6=a_5+d=2+d$，其中$d$是公差。5.B解析：函數$f(x)=x^3-3x+2$在區間$[0,1]$上單調遞增，意味著導數$f'(x)=3x^2-3$在區間$[0,1]$上非負。由于$f'(x)$是一個二次函數，它在$x=1$處取得最小值，因此$f'(x)$在區間$[0,1]$上只有一個零點，即$f(x)$的極值點個數為1。6.B解析：函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$。要找極值點，需要令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{4}$。因為$f'(x)$在$x=\frac{1}{4}$左側為正，在右側為負，所以$f(x)$在$x=\frac{1}{4}$處取得極大值。7.C解析：函數$f(x)=x^3-3x+2$和$g(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$實際上是同一個函數，因為$g(x)$可以化簡為$g(x)=x+1$。所以$f(x)$和$g(x)$的圖像有3個交點。8.A解析：由第6題的解析可知，$f(x)$的極值點在$[0,1)$區間內。9.B解析：與第2題類似，由均值不等式知，當$a=b$時，$(a+b)^3$取得最小值，即當$a=b=\frac{1}{2}$時，$(a+b)^3$取得最小值$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$。10.C解析：與第4題類似，由$S_5=5$和$S_8=20$，可以列出方程組求解得到$a_7=4$。二、填空題11.$a>0$，$b\in\mathbb{R}$，$c\in\mathbb{R}$解析：函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，意味著$a>0$。頂點坐標為$(h,k)$，由頂點公式$k=-\frac{b}{2a}$可知$b$可以取任意實數。12.$-1$解析：由第5題的解析可知，$f(x)$的極小值為$f(1)=-1$。13.無窮多個解析：與第3題類似，集合$A$是全集，