甘肅省嘉峪關市酒鋼三中2013屆高三上學期第一次考試（數學理）一、選擇題要求：從每小題給出的四個選項中，選出一個正確答案。1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，則函數的對稱中心為（）A.$(1,-1)$B.$(1,0)$C.$(0,1)$D.$(0,-1)$2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1+a_5=12$，$S_9=72$，則該數列的公差為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：直接寫出答案。3.函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的導數為______。4.若復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復數$z$在復平面上的幾何意義為______。三、解答題要求：寫出解題過程。5.（本題滿分12分）已知函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，且$f(1)=0$，$f'(1)=2$，$f(2)=8$，$f(3)=27$。求函數$f(x)$的解析式。（1）求$a$的值；（2）求$b$的值；（3）求$c$的值；（4）求$d$的值。四、解答題要求：寫出解題過程。6.（本題滿分12分）在三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6，點D是邊BC上的一點，且AD垂直于BC。求證：$BD^2+DC^2=2AD^2$。五、解答題要求：寫出解題過程。7.（本題滿分15分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$，求函數$f(x)$的極值點，并說明極值的性質。六、解答題要求：寫出解題過程。8.（本題滿分10分）在等比數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公比$q=2$，求前$n$項和$S_n$的表達式，并求出數列中第10項$a_{10}$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$的對稱中心可以通過求導數找到極值點，然后計算極值點對應的函數值。求導得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1$，代入原函數得$f(1)=-1$，所以對稱中心為$(1,-1)$。2.C解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_n=a_1+(n-1)d$。由$a_1+a_5=12$得$a_1+a_1+4d=12$，即$2a_1+4d=12$。又因為$S_9=72$，代入公式得$\frac{9}{2}(2a_1+8d)=72$，解得$d=4$。二、填空題3.$6x^2-6x+4$解析：函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的導數可以通過對每一項分別求導得到，即$f'(x)=6x^2-6x+4$。4.點$z$位于實軸上，且到點$1$和點$-1$的距離相等解析：復數$z=a+bi$，由$|z-1|=|z+1|$得$|a+bi-1|=|a+bi+1|$，即$\sqrt{(a-1)^2+b^2}=\sqrt{(a+1)^2+b^2}$。平方后化簡得$a=0$，所以$z=bi$，$z$位于實軸上。三、解答題5.（1）$a=1$解析：由$f(1)=0$得$a+b+c+d=0$，由$f'(1)=2$得$3a+2b+c=2$，由$f(2)=8$得$8a+4b+2c+d=8$，由$f(3)=27$得$27a+9b+3c+d=27$。解這個方程組得$a=1$。（2）$b=-1$解析：將$a=1$代入$3a+2b+c=2$得$2b+c=-1$，將$a=1$代入$8a+4b+2c+d=8$得$4b+2c+d=6$，將$a=1$代入$27a+9b+3c+d=27$得$9b+3c+d=20$。解這個方程組得$b=-1$。（3）$c=0$解析：將$a=1$和$b=-1$代入$2b+c=-1$得$c=0$。（4）$d=-1$解析：將$a=1$，$b=-1$，$c=0$代入$a+b+c+d=0$得$d=-1$。四、解答題6.解析：由勾股定理得$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-DC^2$。因為$AB=AC$，所以$AD^2=BD^2+DC^2$，即$BD^2+DC^2=2AD^2$。五、解答題7.解析：求導得$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=-3$。通過判斷$f'(x)$的符號變化確定極值點，得$x=1$為極大值點，$x=-3$為極小值點。六、解答題8.解析：等比數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(