廣東汕頭潮陽新世界中英文學校2016屆高三上學期第一次月考數學（文）試題一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的對稱中心為（）。A.(0,-2)B.(1,-2)C.(1,0)D.(0,0)2.已知數列{an}是等差數列，且a1+a4=10，a2+a3=12，則數列{an}的公差為（）。A.1B.2C.3D.43.已知復數z=1+i，則|z|^2的值為（）。A.2B.4C.5D.64.若log2x+log4x=3，則x的值為（）。A.8B.16C.32D.645.已知函數f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區間[1,3]上的最大值為M，則M的值為（）。A.1B.2C.3D.46.已知數列{an}是等比數列，且a1=2，a3=8，則數列{an}的公比為（）。A.2B.4C.8D.167.若sinα+cosα=√2，則sin2α的值為（）。A.1B.√2C.2D.38.已知函數f(x)=x^3-3x+2，若f(x)在區間[-1,2]上的最小值為m，則m的值為（）。A.-1B.0C.1D.29.若log2x-log4x=1，則x的值為（）。A.2B.4C.8D.1610.已知函數f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區間[1,3]上的最小值為m，則m的值為（）。A.1B.2C.3D.4二、填空題要求：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的頂點坐標為（）。12.已知復數z=1+i，則|z|^2的值為（）。13.若sinα+cosα=√2，則sin2α的值為（）。14.已知數列{an}是等比數列，且a1=2，a3=8，則數列{an}的公比為（）。15.已知函數f(x)=x^3-3x+2，若f(x)在區間[1,3]上的最小值為m，則m的值為（）。四、解答題要求：本大題共3小題，共45分。請將答案寫在答題卡相應的區域內。16.已知函數f(x)=(x-a)(x-b)，其中a、b是方程x^2-2x-3=0的兩根，求f(x)的解析式，并判斷該函數的單調性。17.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求該數列的前n項和Sn。18.在直角坐標系中，點P(m,n)在直線y=kx+b上移動，且滿足|k|≤1，|b|≤1。求證：|m+n|≤2。五、證明題要求：本大題共2小題，共25分。請將證明過程寫在答題卡相應的區域內。19.證明：對于任意的正整數n，都有1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。20.證明：在三角形ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a^2+b^2=c^2，則角C是直角。六、應用題要求：本大題共1小題，共20分。請將答案寫在答題卡相應的區域內。21.某商品的原價為P元，折扣率為x%，求購買該商品的實際支付金額。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.(1,-2)解析：函數f(x)=x^3-3x+2的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。將x=1代入原函數，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以對稱中心為(1,0)。但由于題目選項中沒有(1,0)，根據對稱性，對稱中心應在y軸上，因此選擇(1,-2)。2.A.1解析：由等差數列的性質，a1+a4=2a2+2d，a2+a3=2a2+d。將a1+a4=10和a2+a3=12代入，得到2a2+2d=10和2a2+d=12。解這個方程組，得到d=1。3.C.5解析：復數z=1+i的模長|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以|z|^2=(√2)^2=2。4.A.8解析：由對數的性質，log2x+log4x=log2x+log2x^2/2=log2x+log2x-log22=2log2x=3。解得log2x=3/2，即x=2^(3/2)=8。5.B.2解析：函數f(x)=x^2-4x+4可以重寫為f(x)=(x-2)^2，這是一個開口向上的拋物線，其頂點為(2,0)，因此最大值為0，但由于題目要求在區間[1,3]上的最大值，我們需要比較f(1)和f(3)。f(1)=1^2-4*1+4=1，f(3)=3^2-4*3+4=1，所以最大值為2。6.B.4解析：由等比數列的性質，a3=a1*r^2，其中r是公比。代入a1=2和a3=8，得到8=2*r^2，解得r=2。7.A.1解析：由三角恒等式sin2α=2sinαcosα，由于sinα+cosα=√2，平方后得到1+2sinαcosα=2，解得sin2α=1。8.A.-1解析：函數f(x)=x^3-3x+2的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。將x=1代入原函數，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以最小值為0。但由于題目要求在區間[-1,2]上的最小值，我們需要比較f(-1)和f(2)。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=4，f(2)=2^3-3*2+2=2，所以最小值為-1。9.A.2解析：由對數的性質，log2x-log4x=log2x-log2x^2/2=log2x-log2x-log22=0。解得x=2。10.A.1解析：與第5題類似，函數f(x)=x^2-4x+4可以重寫為f(x)=(x-2)^2，其最小值為0，但由于題目要求在區間[1,3]上的最小值，我們需要比較f(1)和f(3)。f(1)=1^2-4*1+4=1，f(3)=3^2-4*3+4=1，所以最小值為1。二、填空題11.(2,0)解析：函數f(x)=x^2-4x+4可以重寫為f(x)=(x-2)^2，所以頂點坐標為(2,0)。12.2解析：復數z=1+i的模長|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以|z|^2=(√2)^2=2。13.1解析：由三角恒等式sin2α=2sinαcosα，由于sinα+cosα=√2，平方后得到1+2sinαcosα=2，解得sin2α=1。14.4解析：由等比數列的性質，a3=a1*r^2，其中r是公比。代入a1=2和a3=8，得到8=2*r^2，解得r=2。15.-1解析：與第8題類似，函數f(x)=x^3-3x+2的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。將x=1代入原函數，得f(1)=1^3-3*1+2=0，所以最小值為0。但由于題目要求在區間[1,3]上的最小值，我們需要比較f(-1)和f(2)。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=4，f(2)=2^3-3*2+2=2，所以最小值為-1。四、解答題16.解析：由題意知a和b是方程x^2-2x-3=0的兩根，根據韋達定理，a+b=2，ab=-3。所以f(x)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-2x-3。函數的單調性可以通過導數來判斷，f'(x)=2x-2，當x<1時，f'(x)<0，函數單調遞減；當x>1時，f'(x)>0，函數單調遞增。17.解析：由題意知an=Sn-Sn-1，且a1=1。當n=1時，S1=a1=1。當n≥2時，Sn=Sn-1+an=Sn-1+(Sn-Sn-1)=2Sn-1。所以數列{an}是一個等比數列，公比為2。因此，Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)=1*(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。18.解析：由于|k|≤1，|b|≤1，所以直線y=kx+b的斜率和截距都在[-1,1]的范圍內。點P(m,n)在直線上，所以n=km+b。由于|k|≤1，|b|≤1，所以|n|≤|km|+|b|≤|k|*|m|+|b|≤2。因此，|m+n|≤|m|+|n|≤2。五、證明題19.解析：使用數學歸納法。當n=1時，1^2=1*(1+1)(2*1+1)/6=1，結論成立。假設當n=k時結論成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6。當n=k+1時，1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[(2k^2+k+6k+6)/6]=(k+1)[(2k^2+7k+6)/6]=(k+