2025年中國數學奧林匹克競賽數論與組合優化模擬試卷（高階解析）一、數論要求：解答下列數論問題，展示對數論基本概念的理解和應用。1.已知正整數n，證明對于任意的正整數k，都有\(n^k-1\)能被\(n-1\)整除。-a.證明當k=1時，命題成立。-b.假設當k=m時命題成立，即\(n^m-1\)能被\(n-1\)整除，證明當k=m+1時命題也成立。2.設p是質數，且p>3，證明\(\frac{p^2-1}{2}\)是偶數。-a.利用質數的性質進行證明。-b.舉例說明存在質數p>3，使得\(\frac{p^2-1}{2}\)是奇數的情況。二、組合優化要求：解答下列組合優化問題，展示對組合優化理論和方法的理解和應用。3.有n個任務需要完成，每個任務有固定的完成時間，任務之間有先后順序限制。現有m個機器可以同時工作，每個機器完成一個任務需要的時間相同。求最小化所有任務完成所需的總時間。-a.給出問題的數學模型。-b.證明該問題是一個組合優化問題。-c.提出一種解決該問題的算法，并簡要說明算法的步驟。4.設有n個物品，每個物品有一個重量和一個價值。現有容量為C的背包，求在不超過背包容量的前提下，使得背包中物品的總價值最大。-a.給出問題的數學模型。-b.證明該問題是一個組合優化問題。-c.提出一種解決該問題的算法，并簡要說明算法的步驟。四、概率論要求：解答下列概率論問題，展示對概率論基本概念的理解和應用。5.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機從袋子里取出兩個球，求取出的兩個球顏色相同的概率。-a.計算取出兩個紅球的概率。-b.計算取出兩個藍球的概率。-c.計算取出兩個球顏色相同的概率。6.拋擲一枚公平的六面骰子三次，求三次拋擲結果都不相同的概率。-a.計算第一次拋擲得到任意一個面的概率。-b.假設第一次拋擲得到1，計算第二次拋擲得到不同于1的概率。-c.假設前兩次拋擲分別得到1和2，計算第三次拋擲得到不同于前兩次的概率。-d.計算三次拋擲結果都不相同的概率。五、離散數學要求：解答下列離散數學問題，展示對離散數學基本概念的理解和應用。7.設集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，求集合A與集合B的笛卡爾積。-a.列出集合A與集合B的笛卡爾積的所有元素。-b.計算集合A與集合B的笛卡爾積的元素個數。8.設函數f:A→B，其中A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，且f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c，f(4)=a。求函數f的逆映射。-a.列出函數f的逆映射的所有元素。-b.判斷函數f是否是雙射，并給出理由。六、圖論要求：解答下列圖論問題，展示對圖論基本概念的理解和應用。9.給定一個無向圖G，其中頂點集合V={A,B,C,D,E}，邊集合E={AB,BC,CD,DE,EA}。求圖G的度序列。-a.計算每個頂點的度。-b.列出圖G的度序列。10.設有5個城市的交通網絡，每個城市之間至少有一條道路相連。求該交通網絡的最小生成樹。-a.列出所有可能的邊及其權重。-b.利用克魯斯卡爾算法求出最小生成樹，并標出每條邊的權重。本次試卷答案如下：一、數論1.-a.當k=1時，\(n^1-1=n-1\)，顯然能被\(n-1\)整除。-b.假設當k=m時，\(n^m-1\)能被\(n-1\)整除，即存在整數k使得\(n^m-1=k(n-1)\)。則當k=m+1時，\(n^{m+1}-1=n\cdotn^m-1=n(k(n-1))+(n-1)=(kn+1)(n-1)\)，也能被\(n-1\)整除。2.-a.因為p是質數，所以\(p^2\)是偶數，\(p^2-1\)是奇數，而\(\frac{p^2-1}{2}\)是奇數除以2，所以是偶數。-b.例如，當p=5時，\(\frac{p^2-1}{2}=\frac{25-1}{2}=12\)，是偶數。二、組合優化3.-a.數學模型：設任務集合為T={t1,t2,...,tn}，機器集合為M={m1,m2,...,mm}，每個任務ti的完成時間為ti，機器mi的完成時間為mi，任務之間的順序限制為R。總時間最小化問題可以表示為：\(\min\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_{ij}\cdott_i\)其中，\(x_{ij}\)是一個0-1變量，表示任務ti是否在機器mi上完成。-b.該問題是一個組合優化問題，因為它涉及到從多個可能的組合中選擇一個最優解。-c.解決該問題的算法可以是貪心算法，步驟如下：1.將任務按照完成時間從小到大排序。2.從最早的機器開始，按照任務排序依次分配任務到機器上，直到所有任務都被分配。4.-a.數學模型：設物品集合為I={i1,i2,...,in}，每個物品ij的重量為wij，價值為vij，背包容量為C。背包問題的目標函數是最大化總價值：\(\max\sum_{i=1}^{n}v_{ij}\cdotx_{ij}\)其中，\(x_{ij}\)是一個0-1變量，表示物品ij是否被放入背包。-b.該問題是一個組合優化問題，因為它涉及到從多個可能的物品組合中選擇一個最優解。-c.解決該問題的算法可以是動態規劃，步驟如下：1.初始化一個二維數組dp，其中dp[i][j]表示在前i個物品中，總重量不超過j時能夠達到的最大價值。2.遍歷每個物品和每個可能的重量，更新dp數組。3.從dp數組的最后一個元素開始回溯，找出放入背包的物品。三、概率論5.-a.取出兩個紅球的概率為：\(P(\text{兩個紅球})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}\)-b.取出兩個藍球的概率為：\(P(\text{兩個藍球})=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}\)-c.取出兩個球顏色相同的概率為：\(P(\text{顏色相同})=P(\text{兩個紅球})+P(\text{兩個藍球})\)6.-a.第一次拋擲得到任意一個面的概率為：\(P(\text{第一次任意面})=\frac{6}{6}=1\)-b.假設第一次拋擲得到1，計算第二次拋擲得到不同于1的概率為：\(P(\text{第二次不同于1})=\frac{5}{6}\)-c.假設前兩次拋擲分別得到1和2，計算第三次拋擲得到不同于前兩次的概率為：\(P(\text{第三次不同于前兩次})=\frac{4}{6}\)-d.三次拋擲結果都不相同的概率為：\(P(\text{三次都不相同})=P(\text{第一次任意面})\cdotP(\text{第二次不同于1})\cdotP(\text{第三次不同于前兩次})\)四、離散數學7.-a.集合A與集合B的笛卡爾積為：\{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(4,10),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(5,10)\}-b.集合A與集合B的笛卡爾積的元素個數為25。8.-a.函數f的逆映射為：\{(a,1),(b,2),(c,3),(a,4)\}-b.函數f不是雙射，因為它不是一一對應的。例如，1和4都映射到a。五、圖論9.-a.每個頂點的度分別為：\(\text{度}(A)=2,\text{度}(B)=2,\text{度}(C)=2,\text{度}(D)=2,\text{度}(E)=2\)-b.圖G的度序列為：\{2,2,2,2,2\}