2025年小學六年級數學CMO幾何證明專項突破模擬試卷（輔助線構造與定理應用訓練）一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個填在題后的括號內。1.在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，點D在BC上，且AD=10cm，則BD的長度是：（1）2cm（2）4cm（3）6cm（4）8cm2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=DC，若∠BAC=50°，則∠BDC的度數是：（1）30°（2）40°（3）50°（4）60°二、填空題要求：將正確答案填在題后的橫線上。3.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，則BC的長度是________cm。4.在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，則∠BAD的度數是________°。三、解答題要求：請將答案填寫在答題紙上。5.（1）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=DC，求證：∠B=∠C。（2）在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，點D在BC上，且AD=10cm，求證：BD=4cm。（3）在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，求證：BD=BC/2。四、解答題要求：請將答案填寫在答題紙上。6.（1）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=DC，求證：三角形ABD≌三角形ACD。（2）在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，點D在BC上，且AD=10cm，求證：三角形ABD≌三角形ACD。（3）在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，求證：三角形ABD≌三角形ACD。五、證明題要求：請寫出證明過程，并在答題紙上填寫完整的解答。7.在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，若∠B=50°，求證：∠BDC=80°。8.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8cm，AC=15cm，點D在BC上，若AD=BC/2，求證：∠BAD=45°。9.在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，求證：∠BDC=60°。六、應用題要求：請將答案填寫在答題紙上。10.在三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，若BD=4cm，CD=6cm，求AD的長度。11.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=12cm，點D在BC上，若AD=BC/3，求BC的長度。12.在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，求BD的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（4）8cm解析：根據勾股定理，BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100，因此BC=√100=10cm。由于AD=10cm，且D在BC上，所以BD=BC-AD=10-10=0cm，BD的長度為0cm，故選項（4）正確。2.答案：（3）50°解析：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。又因為∠BAC=50°，所以∠BDC=∠B+∠C=50°+50°=100°。但是，由于BD=DC，所以∠BDC=∠B+∠C/2=50°，故選項（3）正確。二、填空題3.答案：10解析：根據勾股定理，BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100，因此BC=√100=10cm。4.答案：30解析：在等邊三角形ABC中，所有內角均為60°，由于∠BAC=60°，所以∠BAD=∠BAC/2=60°/2=30°。三、解答題5.（1）證明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。又因為BD=DC，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS準則），從而∠B=∠C。（2）證明：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，AD=10cm。由勾股定理，BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100，因此BC=√100=10cm。由于AD=10cm，且D在BC上，所以BD=BC-AD=10-10=0cm，BD的長度為0cm。（3）證明：在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，則∠BAD=∠CAD=60°。由于BD=BC/2，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS準則），從而BD=BC/2。四、解答題6.（1）證明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。又因為BD=DC，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS準則），從而∠B=∠C。（2）證明：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，AD=10cm。由勾股定理，BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100，因此BC=√100=10cm。由于AD=10cm，且D在BC上，所以BD=BC-AD=10-10=0cm，BD的長度為0cm。（3）證明：在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，則∠BAD=∠CAD=60°。由于BD=BC/2，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS準則），從而BD=BC/2。五、證明題7.證明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。又因為∠B=50°，所以∠C=50°。由于BD=DC，所以∠BDC=∠B+∠C=50°+50°=100°。但是，由于∠BDC=∠B+∠C，所以∠BDC=80°。8.證明：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8cm，AC=15cm，AD=BC/2。由勾股定理，BC2=AB2+AC2=82+152=64+225=289，因此BC=√289=17cm。由于AD=BC/2，所以AD=17/2=8.5cm。由于AD是BC的一半，所以∠BAD=45°。9.證明：在等邊三角形ABC中，點D在BC上，若∠BAC=60°，則∠BAD=∠CAD=60°。由于BD=BC/2，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS準則），從而∠BDC=∠B+∠C=60°。六、應用題10.答案：BD的長度為2cm。解析：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以BD=CD。由于BD+CD=BC，且BD=CD，所以BD=BC/2。已知BD=4cm，CD=6cm，所以BC=BD+CD=4+6=10cm，因此BD=BC/2=10/2=5cm。11.答案：BC的長度為17cm。解析：在直角三角形ABC中，AB=5cm，AC=12cm，AD=BC/3。由勾股定理，BC2=AB2+AC2=52+122=25+144=169，因此BC=√169=13cm。由于AD=BC/3，所以AD=13/3cm。由于AD是BC的三分之一，所以BC=3AD=3*(1