2025年高考數學二輪復習課時精練學案必刷小題3基本初等函數（2份打包，原卷版+含解析）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定義域為$(a,b]$，則$a$的取值為：（A）$\frac{1}{3}$（B）$\frac{2}{3}$（C）$1$（D）$2$2.函數$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的圖像為：（A）（B）（C）（D）二、填空題要求：請直接寫出各小題答案。3.函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的值域為______。4.已知函數$y=\sin^2x-\cos^2x$，則$y=\sin2x$的值為______。三、解答題要求：請寫出解答過程。5.（1）若函數$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定義域為$[a,b]$，求$a+b$的值。（2）若函數$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。6.已知函數$h(x)=2^x-2^x\cos2x$，求證：$h(x)$在$R$上為增函數。7.已知函數$F(x)=x^3-3ax^2+3x-a$在$(0,2)$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。四、解答題要求：請寫出解答過程。8.（1）若函數$y=\frac{x}{x+1}$的圖像與直線$y=kx+b$相交于點$A$和點$B$，其中點$A$在$x$軸上方，點$B$在$x$軸下方，且$AB$的中點坐標為$(2,0)$，求直線$y=kx+b$的方程。（2）若函數$y=\sqrt{1-x^2}$的圖像與直線$y=mx$相交于點$C$和點$D$，且$CD$的長度為$\sqrt{3}$，求實數$m$的取值范圍。五、解答題要求：請寫出解答過程。9.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的極值。（2）若函數$g(x)=ax^2+bx+c$在區間$[-1,2]$上單調遞增，且$g(0)=3$，$g(1)=2$，求實數$a$、$b$、$c$的值。六、解答題要求：請寫出解答過程。10.（1）已知函數$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，求$h(x)$的導數。（2）若函數$F(x)=e^x-\ln(x+1)$在區間$[0,2]$上存在兩個不同的零點，求實數$x$的取值范圍。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（B）$\frac{2}{3}$解析：函數$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定義域要求根號內的表達式非負，即$3x-1\geq0$，解得$x\geq\frac{1}{3}$。因此，定義域為$[\frac{1}{3},+\infty)$，所以$a=\frac{1}{3}$。2.答案：（C）解析：函數$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的底數小于1，所以函數是遞減的。當$x=0$時，$y=\log_{\frac{1}{2}}(1)=0$，所以圖像過點$(0,0)$。由于底數小于1，圖像在$x$軸的右側，故選C。二、填空題3.答案：$[0,+\infty)$解析：函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$可以重寫為$f(x)=\sqrt{(x-2)^2-1}$，由于平方根內的表達式非負，所以$x^2-4x+3\geq0$，解得$x\leq1$或$x\geq3$。因此，函數的值域為$[0,+\infty)$。4.答案：$-1$解析：由于$\sin^2x-\cos^2x=\sin2x$，所以直接代入$\sin2x$的值即可得到$y=\sin2x$的值為$-1$。三、解答題5.答案：（1）$a+b=2$解析：由$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定義域可知，$x-1>0$且$x-2>0$，解得$x>1$且$x>2$，所以$a=2$。又因為定義域為$[a,b]$，所以$b$是定義域的上界，即$b$是$x$的最大值，所以$b=3$，因此$a+b=2+3=5$。（2）$a\leq0$解析：函數$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上單調遞增，意味著其導數$g'(x)$在$(0,1)$上非負。計算導數得$g'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于$x^2$和$(x+1)^2$在$(0,1)$上都是正數，所以$g'(x)>0$，即$a\leq0$。6.答案：$h(x)$在$R$上為增函數解析：函數$h(x)=2^x-2^x\cos2x$的導數為$h'(x)=2^x\ln2-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$2^x$總是正數，而$\ln2$也是正數，因此$h'(x)$的符號取決于$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$\cos2x$和$\sin2x$的取值范圍在$[-1,1]$之間，所以$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$總是非負的，從而$h'(x)\geq0$，即$h(x)$在$R$上為增函數。四、解答題8.答案：（1）$y=2x-2$解析：由于$AB$的中點坐標為$(2,0)$，所以$A$和$B$的橫坐標之和為$4$。設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則有$x_1+x_2=4$。又因為$A$和$B$在函數$y=\frac{x}{x+1}$的圖像上，所以$y_1=\frac{x_1}{x_1+1}$，$y_2=\frac{x_2}{x_2+1}$。由于$AB$的中點坐標為$(2,0)$，所以$y_1+y_2=0$，即$\frac{x_1}{x_1+1}+\frac{x_2}{x_2+1}=0$。解這個方程組得到$x_1=2$，$x_2=2$，所以$A$和$B$的坐標都是$(2,0)$，因此直線$y=kx+b$的方程為$y=2x-2$。（2）$m\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$解析：函數$y=\sqrt{1-x^2}$的圖像是單位圓的上半部分，直線$y=mx$與單位圓相交于點$C$和點$D$。由于$CD$的長度為$\sqrt{3}$，所以$C$和$D$到原點的距離都是$1$。這意味著$C$和$D$的坐標滿足$x^2+y^2=1$和$y=mx$。將$y=mx$代入$x^2+y^2=1$得到$(1+m^2)x^2-mx=0$。由于$C$和$D$是不同的點，所以$x$不能為$0$，因此$m^2=1$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。五、解答題9.答案：（1）極大值$f(1)=0$，極小值$f(-1)=-3$解析：函數$f(x)=x^3-3x+1$的導數為$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$得到$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。由于$f'(x)$在$x=-1$時由負變正，所以$x=-1$是極小值點，$f(-1)=-3$；在$x=1$時由正變負，所以$x=1$是極大值點，$f(1)=0$。（2）$a=1$，$b=-2$，$c=3$解析：由于$g(x)=ax^2+bx+c$在區間$[-1,2]$上單調遞增，所以$a>0$。又因為$g(0)=3$，$g(1)=2$，所以$c=3$，$a+b+c=2$。又因為$g(2)=2a+2b+c$，且$g(x)$在$[-1,2]$上單調遞增，所以$g(2)>g(1)$，即$2a+2b+c>2$。結合$a+b+c=2$，解得$a=1$，$b=-2$。六、解答題10.答案：（1）$h'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$解析：函數$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$的導數為$h'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$。將兩個分數合并得到$h'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2}{x^2-1}$。（2）$x\in(0,1)\cup(1,2)$解析：函數$F(x)=e^x-\ln(x+1)$的導數為$F'(x)=e^x-\frac{1}{x+1}$。由于$e^x$總是正數，而$\frac{