高中數學易錯題舉例解析

高中數學中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容

易被忽略。也就是在轉化過程中，沒有注意轉化的等價性，會經常出現錯誤。下面通過幾個

例子，剖析致錯原因，希望能對同學們的學習有所幫助。加強思維的嚴密性訓練。

?忽視等價性變形，導致錯誤。

［言？｛：；07>°，但｛常與｛：；/>3不等價。

V

【例1】已知f(x)=ax+石，若一3〈/(1)40,3</(2)<6,求/(3)的范圍。

?忽視隱含條件，導致結果錯誤。

【例2】

(1)設a、，是方程一一2日+左+6=0的兩個實根，則(。一1尸+(尸一1尸的最小值是

49

(A)---(B)8(C)18(D)不存在

4

(2)已知(x+2)，?=1,求x'+yz的取值范圍。

?忽視不等式中等號成立的條件，導致結果錯誤。

【例3］已知：a>0，b>0,a+b=l,求(a+《)、(b+；￥的最小值。

?不進行分類討論，導致錯誤

【例4】(1)已知數列｛4｝的前九項和S“=2"+1,求

(2)實數。為何值時，圓/+/一2℃+。2-1=0與拋物線>2=。》有兩個公共點。

?以偏概全，導致錯誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案,

從而表現出思維的不嚴密性。

【例5】⑴設等比數列｛凡｝的前〃項和為S,,.若S3+S6=2Sg,求數列的公比q.

(2)求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點。

《章節易錯訓練題》

1、已知集合M=｛直線｝,N=｛圓｝,則MCN中元素個數是

(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或2

2、已知A=｛x|V+tx+1=0｝,若ADR*=?,則實數t集合T=—。

3、如果kx、2kx—(k+2)<0恒成立，則實數k的取值范圍是

(A)-iWkWO(B)-Kk<0(C)-ICkWO(D)-l<k<0

4、命題—1|<3,命題B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要條件，則。的取

值范圍是

(A)(4,+oo)(B)[4,-Fw)(C)(-oo,-4)(D)(-oo,-4]

5、若不等式—一log；<0在(0,內恒成立，則實數。的取值范圍是

(A),1](B)(1,+?)(0(+，1)(D)(1,l)U(l,2)

6、若不等式(-1)7<2+-(二？-對于任意正整數n恒成立，則實數。的取值范圍是

(A)[-2,13](B)(-2,]3)(C)[-3,3](D)(-3,3)

7、已知定義在實數集R上的函數/(x)滿足：/(1)=1;當x<0時，/(x)<0；對于任意的

實數X、3都有/(*+丫)=/(%)+/(加。證明：/(x)為奇函數。

1—2x

8、已知函數f(x)=YTI,則函數/(x)的單調區間是o

9、函數y=d/耍《2—1)的單調遞增區間是。

flog2(X+2)X>0

10、已知函數f(x)=(x,f(x)的反函數Ff(x)=o

[才一]

11、函數f(x)=logL(/+己*+2)值域為R,則實數a的取值范圍是(A)(-

2

2^2,2^2)(B)[-272,2^2]

(C)(-?,一2乖)U(272,+?)(D)(-?,-2y)2)U[2^2,+?]

12、若x20,yNO且廣2片1,那么2A+3/的最小值為

39

(力)2(5)(O-5)0

x2+4Y+3

13、函數尸土2士2的值域是。

x~+x-6

X

14、函數y=sinx(1+tanxtan-)的最小正周期是

?

(A)Q(B)?(02?(D)3

15、已知f(x)是周期為2的奇函數，當x?[0,1]時，F(才)=2則f(logi23)

2

,、23/、16/、16/、23

(A)而⑻藥(C)一云⑻-正

16、已知函數/。)=公3+加2-3%在》=±1處取得極值。

(1)討論/⑴和/(一1)是函數/(X)的極大值還是極小值；

(2)過點4(0,16)作曲線y=/(x)的切線，求此切線方程。(2004天津)

j\/3…sin?cos?

17、已知tan(?-3)=-則tan?=；----———~7—=

35——3cos/—zsmZ——o

18、若3sin2?+2sin2?-2sin?=0,則cos2?+cos27的最小值是

19、已知sin?+cos?=7,??(0,小、貝ljcot?=。

5

20、在aABC中，用a、b、。和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a=2、

b=叵、4=工，則NB=

4

.TC_p,57c,、乃f11萬

(A)—(B)—(C)—或一(D)一或一

126661212

b>0,a+b=l,則(a+'￥+(b+1)2的最小值是_______。

21、已知a>0,

a

4

22、已知xWk?(k?Z),函數y=sin2x+s必的最小值是一_____O

2Q

23、求丁=——+—廠的最小值。

sinxcos~x

24、已知a1=1,ap=a1+2n-I(n^2),則an二。

25、已知一9、功、/、-1四個實數成等差數列，一9、從、民、縣、-1五個實數成等比

數列，則bz(a—3)=

9Q

(A)—8(B)8(C)—-(D)-

oo

26、已知｛a?｝是等比數列，S.是其前n項和,判斷S”S2k-Sk,Sw-S”成等比數列嗎？

27、己知定義在R上的函數/(x)和數列｛。“｝滿足下列條件：

<2,=a,an=/(a“_])(〃=2,3,4,-),a2^ax,f(a?)—f(a?-i)=k(a?—a?-i)(n=2,3,

—),其中a為常數，k為非零常數。(1)令a=6用-a”(〃eN*),證明數列｛。,,｝是等

比數列；(2)求數列｛七｝的通項公式；(3)當|左|<1時，求lima,,。

〃一KC

28、不等式而一面一3m)又(m2-4m+3)/+10成立的實數m的取值集合是。

(2+2)

29、/是虛數單位，(-—--1-+-jJ)r-1的虛部為()

(A)-1(B)-i(C)-3(D)-3i

30、求實數m,使方程/+(機+4i)x+l+2加=0至少有一個實根。

31、和a=(3,-4)平行的單位向量是；和a=(3,—4)垂直的單位向量是

_________O

32、將函數y=4x-8的圖象￡按向量a平移到/,￡的函數表達式為y=4x,則向量F。

33>已知|。|=1,b=V2,若〃〃萬，求。B。

34、在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF±DE,若BC=a,則正三棱錐A-

BCD的體積為。

35、在直二面角？一AB—?的棱AB上取一點P,過P分別在？、?兩個平面內作與棱成

45°的斜線PC、PD,那么NCPD的大小為

(A)45?(B)60?(C)120?(D)60?或120?

36、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PDL底面ABCD,PD=DC,E是

PC的中點，作EFLPB交PB于點F。

(1)證明PA〃平面EDB；

(2)證明PB_L平面EFD；

(3)求二面角C—PB—D的大小。

V2

37、若方程二+/=1表示橢圓，則勿的范圍是_______。

HI

v2

38、已知橢圓—+y2=1的離心率為、分彳，則加的值為。

39、橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓短軸的一個頂點8與兩焦點￡、氏組成的

9，

三角形的周長為4+273且NRBR=彳，則橢圓的方程是。

40、橢圓的中心是原點0,它的短軸長為2貶,相應于焦點F(c,0)(c>0)的準線/與

x軸相交于點A,|0F|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若麗?麗=0,求直線PQ的方程；

(3)設赤=4而(2>1),過點P且平行于準線/的直線與橢圓相交于另一點M,

證明前=一之而。

41、已知雙曲線的右準線為x=4,右焦點廠(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

42、求與y軸相切于右側，并與。C:/+：/一6x=0也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

43、(如圖3—2—2),具有公共y軸的兩個直角坐標平面a和夕所成的二面角軸一，

等于60°.已知夕內的曲線C'的方程是丁=2px'(p>0),

的曲線方程。

44、設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率6=立

2

已知點P(0,g)到這個橢圓上的最遠距離是近，求這個橢圓

的方程。

圖3~2~2

《章節易錯訓練題》參考答案（注意事項）

1、A（集合元素的確定性）

2、｛*>—2｝（空集）

3、C（等號）

4、C（等號）

5、A（等號）

6、A（等號）

7、（特殊與一般關系）

8、遞減區間（一?，-1）和（—1,+?）（單調性、單調區間）

9、［一/，-1）（定義域）

r2'—2x>l

（漏反函數定義域即原函數值域）

11、D（正確使用△》（）和△<（））

12、B（隱含條件）

22

13、（-8,-）U（-,l）U（l,+o°）（定義域）

14、C（定義域）

15、D（對數運算）

16、（求極值或最值推理判斷不充分（建議列表）；求過點切線方程，不判斷點是否在曲線上。）

17、噂-、雪-（化齊次式）

/O

14

18、g（隱含條件）

19、（隱含條件）

20、B（隱含條件）

21.y（三相等）

22、5（三相等）

23、Omin=18.

24、2"—1（認清項數）

25、A（符號）

26、當4=-1,k為偶數時，Sk=0,則Sk,Szk-Sk,Ssk-S2k不成等比數列；

當qW-l或q=-l且k為奇數時，貝!ISk,S2k-Sk,SSLS2k成等比數列。

（忽視公比q=