北京市西城區2011年高三一模試卷

數學(理科)20H.4

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出

符合題目要求的一項.

1.已知集合4={為wZ|W<5},B={x\x-2>0],則等于

(A)(2,5)(B)[2,5)(C){2,3,4}(D){3,4,5}

2.下列給出的函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是

(A)(B)y=x2-x(C)y=2x(D)y=x3

3.設。=log23,b=log43,c=0.5,則

(A)c<b<a(B)b<c<a(C)b<a<c(D)c<a<b

4.設向量a=(l,sin<),〃=(3sin，,1),且?！āǎ瑒tcos2。等于

(A)--(B)--

33

5.閱讀右側程序框圖，為使輸出的數據為31,

則①處應填的數字為

(A)4

(B)5

(C)6

(D)7

6.已知函數①y=sinx+cosx,②y=2&sinxcos大，貝ij下列結論正確的是

TT

(A)兩個函數的圖象均關于點(-一,0)成中心對稱

4

1T

(B)兩個函數的圖象均關于直線工=-2成中心對稱

4

(C)兩個函數在區間(-二，二)上都是單調遞增函數

44

(D)兩個函數的最小正周期相同

7.已知曲線C:)，=’(x>0)及兩點4",0)和4(々,0)，其中％,>%>0.過A，A,分

x

別作x軸的垂線，交曲線C于與兩點，直線與當與五軸交于點4(七,0)，那么

(A),當成等差數列(B)對區,占成等比數列

2

（C）不，芻,工2成等差數列（D）5,知電成等比數列

8.如圖，四面體QABC的三條棱04,0氏OC兩兩垂直，Q4=OB=2,OC=3,D為

四面體OA4C外一點.給出下列命題.

①不存在點。，使四面體A3co有三個面是直角三角形

②不存在點D，使四面體48co是正三棱錐

③存在點。，使CD與A3垂直并且相等

④存在無數個點。，便點。在四面體A8C。的外接球面上

其中真命題的序號是

(A)①②(B)②③(C)③(D)③④

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.在復平面內，復數」對應的點到原點的距離為___.

1-i

10.如圖，從圓O外點尸引圓O的切線PA和割線PBC,已知PA=242,

PC=4,圓心。到6c的距禽為G，則圓O的半徑為.

1L已知橢圓C:《（夕￡1^）經過點（加,一），則用二__,離心

y=2sin。2

率6=.

12.一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積為.

13.某展室有9個展臺，現有3件展品需要展出，要求每件展品獨自占用1個

展臺，并且3件展品廳選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方

法有種；如果進一步要求3件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩

個展位，則不同的展出方法有一種.

14.已知數列｛4｝的各項均為正整數，對于〃=1,2,3,…，有

3。“+5,?！睘槠鏀?

CI當q=11時,4］慎）

M+I

甘,凡為偶數.其中改為使《用為奇數的正整數

2K**/fri

若存在〃?eN”，當〃＞加且凡為奇數時，4，恒為常數〃，則p的值為______.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

15.（本小題滿分13分）

4

設A48C中的內角力，B,。所對的邊長分別為〃，b,c,且cos8=—,b=2.

5

（I）當。=*時，求角A的度數；（II）求A48C面積的最大值.

3

16.(本小題滿分13分)

甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

且他們是否破譯出密碼互不影響.若三人中只有甲破譯出密碼的概率為1.

234

(I)求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；

(II)求〃的值；

(III)設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數為X,求X的分布列和數學期望EX.

17.(本小題滿分13分)

如圖，A3c。是邊長為3的正方形，OE_L平面A4C3,AF//DE,DE=3AF,

與平面A6CD所成角為60°.

(I)求證：

(II)求二面角F-BE—。的余弦值；

(山)設點M是線段B。上一個動點，試確定點M的

位置，使得AM〃平面并證明你的結論.

18.(本小題滿分14分)

已知函數其中〃>().

(I)求函數/(幻的單調區間;

(II)若直線x-y-l=0是曲線y=的切線，求實數。的值；

(III)?^(x)=x\nx-x2f(x),求g(x)在區間［l,e］上的最大值.

(其中e為自然對數的底數)

19.(本小題滿分14分)

已知拋物線y2=2/x(〃>0)的焦點為尸，過尸的直線交)，軸正半軸于點尸，交拋物

線于A3兩點，其中點幺在第一象限.

(I)求證：以線段￡4為直徑的圓與)，軸相切；

(II)若￡4=4A尸，BF=^FA,求4的取值范圍.

20.(本小題滿分13分)

定義丁(4，〃2,…，〃”)=1%-%|+&-/1++1%_[-qI為有限項數列｛%｝的波

動強度.

(I)當4=(-1