河北省滄州市運東七縣聯考20232024學年高一上學期期中數學（解析版）（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15題，45分）1.若復數$z=a+bi$滿足$z^2=4$,則$a+b=$（）A.2B.2C.0D.42.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向下，且過點$(1,2)$，則$a+b+c=$（）A.1B.0C.1D.23.若等差數列$\{a_n\}$的公差為2，且$a_1+a_3+a_5=21$，則$a_2=$（）A.5B.6C.7D.84.若直線$l$的方程為$y=2x+1$，則直線$l$與$x$軸的交點坐標為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,0)5.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta=$（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$6.若點$P(x,y)$在圓$x^2+y^2=4$上，則$x+y$的最大值為（）A.2$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.4D.27.若$\log_23=a$，則$\log_29=$（）A.$2a$B.$3a$C.$a^2$D.$\frac{a}{2}$8.若函數$f(x)=\ln(x^21)$的定義域為$D$，則$D$=（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(\infty,1]\cup[1,+\infty)$C.$(1,1)$D.$[1,1]$9.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.11B.10C.9D.810.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^2=$（）A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}$11.若函數$f(x)=\frac{1}{x1}$的反函數為$f^{1}(x)$，則$f^{1}(2)=$（）A.3B.2C.1D.012.若函數$f(x)=|x1|$在區間$[0,2]$上的最小值為$m$，則$m=$（）A.0B.1C.2D.313.若等比數列$\{a_n\}$的公比為2，且$a_1+a_2+a_3=14$，則$a_1=$（）A.2B.4C.6D.814.若直線$l$的斜率為2，且過點$(1,3)$，則直線$l$的方程為（）A.$y=2x+1$B.$y=2x1$C.$y=2x+5$D.$y=2x+3$15.若$\tan\theta=\frac{1}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta=$（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{2}{5}$二、填空題（每題3分，共5題，15分）16.若函數$f(x)=x^22x+3$的頂點坐標為$V(a,b)$，則$a=$_______，$b=$_______。17.若等差數列$\{a_n\}$的公差為3，且$a_1=2$，則$a_5=$_______。18.若$\triangleABC$的三個內角分別為$A=60^\circ$，$B=70^\circ$，則$C=$_______$^\circ$。19.若$\log_35=a$，則$\log_325=$_______。20.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，則$\vec{a}\times\vec{b}=$_______。三、解答題（每題10分，共5題，50分）21.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且過點$(1,2)$和$(1,6)$。（1）求函數$f(x)$的解析式。（2）求函數$f(x)$的頂點坐標。（3）求函數$f(x)$的對稱軸方程。22.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為2，且$a_1=3$。（1）求$a_3$和$a_5$的值。（2）求$S_7$的值。23.已知$\sin\theta=\frac{1}{2}$，其中$\theta$是第二象限的角。（1）求$\cos\theta$的值。（2）求$\tan\theta$的值。24.已知直線$l$的方程為$y=2x+1$，直線$m$的方程為$y=\frac{1}{2}x+3$。（1）求直線$l$和$m$的交點坐標。（2）求直線$l$和$m$的夾角。25.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，矩陣$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$。（1）求$AB$的值。（2）求$A+B$的值。四、填空題（每題2分，共10題，20分）26.若復數z34i，則z的模為_______。27.已知函數f(x)x22x1，則f(x)的頂點坐標為_______。28.若等差數列an的公差為3，且a12，則a4的值為_______。29.若直線l的方程為y3x2，則直線l與y軸的交點坐標為_______。30.若sinthetafrac12，且theta是第三象限的角，則costheta的值為_______。31.若點P(x,y)在圓x2y29上，且P在第一象限，則xy的最小值為_______。32.若log25a，則log225的值為_______。33.若向量veca(1,2)，vecb(3,4)，則vecaplusvecb的坐標為_______。34.若矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，則A的行列式值為_______。35.若矩陣Abeginpmatrix1&00&1endpmatrix，則A的特征值為_______。五、計算題（每題5分，共5題，25分）36.已知函數f(x)ax2bxc的圖象開口向下，且過點(1,2)，(2,5)和(1,6)。（1）求函數f(x)的解析式。（2）求函數f(x)的頂點坐標。（3）求函數f(x)的對稱軸方程。37.已知等差數列an的公差為2，且a13。（1）求a3和a5的值。（2）求S7的值。38.已知sinthetafrac12，其中theta是第二象限的角。（1）求costheta的值。（2）求tantheta的值。39.已知直線l的方程為y2x1，直線m的方程為yfrac12x3。（1）求直線l和m的交點坐標。（2）求直線l和m的夾角。40.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，矩陣Bbeginpmatrix2&00&2endpmatrix。（1）求AB的值。（2）求AB的值。六、證明題（每題10分，共3題，30分）41.已知ab是正實數，且a2b21。證明：abab1。42.已知函數f(x)在區間[a,b]上連續，且在(a,b)內可導。證明：存在c(a,b)，使得f(b)f(a)f'(c)(ba)。43.已知向量veca，vecb，vecc是空間中的三個向量，且滿足vecatimesvecbvecc。證明：veca，vecb，vecc三向量共面。七、應用題（每題15分，共2題，30分）44.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為c元，銷售價格為p元。已知該產品的需求函數為D(p)kp，其中k為正常數。求：（1）該產品的銷售收入函數R(p)。（2）該產品的利潤函數P(p)。（3）當c2時，求使得利潤最大的銷售價格p。45.已知某地區的海拔高度與該地區的年降水量之間存在線性關系。根據歷史數據，得到如下兩個樣本點：(200,40)和(500,70)。求：（1）該地區的海拔高度與年降水量之間的線性回歸方程。（2）當海拔高度為300時，預測該地區的年降水量。（3）當海拔高度為600時，預測該地區的年降水量。一、選擇題答案：1.B2.A3.C4.D5.B6.C7.A8.D9.B10.A11.C12.D13.A14.B15.C二、填空題答案：26.527.(1,2)28.829.(0,2)30.frac1231.032.233.(4,6)34.235.1,1三、計算題答案：36.(1)a1,b3,c2(2)(2,1)37.(1)15(2)1038.(1)2(2)139.(1)1(2)040.(1)2(2)4四、證明題答案：41.證明：由已知得a2b21，即a21b2。又因為ab是正實數，所以a1b。同理可得b1a。因此ab1ab。42.證明：由拉格朗日中值定理可知，存在c(a,b)，使得f(b)f(a)f'(c)(ba)。43.證明：由已知得vecatimesvecbvecc。又因為vecatimesvecb與vecc共線，所以vecc可由veca和vecb線性表示，即vecckvecalvecb，其中k和l是常數。因此，veca，vecb，vecc三向量共面。五、應用題答案：44.(1)R(p)kp2(2)P(p)kp2c(3)p345.(1)y0.12x7.9(2)45.1(3)67.71.復數：復數的模、共軛復數、復數的運算。2.函數：函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、最值、函數圖像的變換。3.數列：等差數列、等比數列的通項公式、求和公式。4.向量：向量的坐標表示、向量的加減法、數乘、向量的內積、外積。5.矩陣：矩陣的加減法、數乘、矩陣的乘法、矩陣的逆