教學素材/正弦函數、余弦函數的圖象和性質1/4教學素材/正弦函數、余弦函數的圖象和性質圖象和性質例題分析例1．畫出下列函數的簡圖：(1)(2)分析：這兩個例題的作用是鞏固和熟練“五點畫圖法及運用正弦函數和余弦函數的性質畫出與它們有關系的一些函數圖象”．解：（1）按五個關鍵點列表：x0sinx010－101+sinx12101利用正弦函數的性質描點畫圖（如圖4-24）這里利用正弦函數的性質主要是它的單調性．因為正弦函數和上都是增函數，所以函數，在這兩個區間上也是增函數，從而描點畫圖時要用光滑曲線畫成上升的曲線，同理在上要畫成下降的曲線．注：函數與，在上有什么關系呢？我們把后者的圖象用虛線畫在（圖4-24）中，可見函數，的圖象是通過把函數，的圖象上的每點向上平行移動1個單位長度而得到．這個例題還告訴我們，形如，的函數圖象當m>0時，可將正弦函數，的圖象整體向上平行動m個長度單位．當m<0時，可將，的圖象整體向下平行移動|m|個長度單位．（2）按五個關鍵點列表x0……sinx0↗1↘0↘－1↗0－sinx0↘－1↗0↗1↘0利用正弦函數的性質描點畫圖（如圖4-25）這里利用正弦函數的性質主要是它的單調性，因為正弦函數在和上都是增函數，而從列表中可看出函數在這兩個區間上都是減函數，所以要用光滑曲線畫成下降的曲線．又因為正弦函數在上是減函數，而從列表中可以看到函數在這個區間上是增函數，所以要用光滑曲線畫成上升的曲線．注，函數與正弦函數在上有什么關系呢？我們將后者的圖象用虛線畫在（圖4-8-7）中可見函數，上的圖象上的每一個點都是正弦函數，上的每一個對應點關于x軸的對稱點．由此可知欲畫函數，的圖象，只要將正弦函數，沿x軸整體翻轉1800即可．例2．求使下列函數取得最大值和最小值時的自變量x的集合，并說出最大和最小值是什么．（1）； （2）分析：這兩個小題都是與正弦函數的最大值和最小值有關的問題，我們可以利用正弦函數的最大值和最小值的結論來解決這些問題．解：（1）函數的解析式是由常量2與變量的差組成．當時，變量取得最大值1，而一個常量減去一個最大值得到的差是最小值，所以的最小值是．當時，取得最小值是－1，而一個常量減去一個最小值得到的差是最大值，所以的最大值是．∴｛｝，函數的最大值是3，｛｝，函數的最小值是1；（2）解決本題的關鍵是用輔助未知數法令，因為，所以．又使函數，取得最大值的ｚ的集合是：｛｝，再由，則這就是說，使函數，取得最大值時的x的集合是｛｝，此時函數的最大值是1．同理，使函數，取得最小值時的x的集合是：｛｝，此時函數的最小值是－1．例3．不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0．（1）； （2）分析：本題實際上是兩個三角函數值的比大小問題，這種問題需要用正弦函數的單調性來比大小．對于同名的三角函數比大小，只要角在同一個單調區間上就可以直接比大小，若不然則需用誘導公式將它們化到同一個單調區間上再比大小．對于非同名的三角函數比大小，則需用誘導公式將它們化為同名函數再按上面的辦法比大小．解：（1）∵，且函數，是增函數．∴∴（2）由誘導公式：∵且函數，上是減函數．∴，即∴本小題也可以按下面的解法